浙江省嘉兴市秀水高级中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

嘉兴市秀水高级中学2023-2024学年高二10月月考数学试题一、单选题1.圆的圆心坐标为（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据圆的标准方程即得.【详解】因为圆，所以圆的圆心坐标为.故选：B.2.下列向量中，与向量，平行的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量共线的等价条件判断即可.【详解】对于A，因为，所以两向量不平行；对于B，因为，所以两向量不平行；对于C，因为，所以两向量平行；对于D，因为，所以两向量不平行.故选：C. 3.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的标准方程得到方程组，解得答案.【详解】方程表示椭圆，则，解得.故选：B4.若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设直线的倾斜角为，根据题意得到，结合正切函数的图象与性质，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为，其中，可得，因为，即，结合正切函数的图象与性质，可得直线的倾斜角．故选：B.5.不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案.【详解】由可得：，令，解得：，所以，设直线关于点的对称直线方程为：，则到直线与的距离相等，所以，解得：，即（舍去）或.故直线关于点对称直线方程为：.故选：D.6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解， 【详解】记，则为直线的斜率，故当直线与半圆相切时，得k最小，此时设，故，解得或（舍去），即．故选：C7.已知直线上存在点，使得到点和为的距离之和为4.若为正数，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义求出点的轨迹方程，根据直线与椭圆有交点，联立直线与椭圆方程，根据求出的取值范围，再根据为正数，求出的范围，即可得到，则，再根据对勾函数的性质求出的取值范围.【详解】解：因为到点和为的距离之和为，且，所以点的轨迹是以和为焦点的椭圆，且，，所以，所以椭圆方程为，又直线与有交点，所以，消去得，所以，解得，又，所以又为正数，所以，解得或，所以， 所以，令，则，因为在上单调递减，所以，即，即的取值范围是.故选：C8.在直角坐标系内，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，则的最大值为（）A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】【分析】利用圆的性质先确定圆，结合向量数量积得出三点共圆，再利用两圆的位置关系数形结合即可.【详解】由题意可得圆心在两折痕方程上，联立方程得，即圆心，半径，，即三点共圆，该圆以为直径，故圆心为原点.如图所示连接交圆C于B点，当重合时此时两圆相内切，最大，即. 故选：B二、多选题9.已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的取值可以是（）A.－1B.－3C.1D.3【答案】ABCD【解析】【分析】由题意可知两圆外切或内切，则圆心距等于两半径的和或两半径的差，列方程可求出a的值.【详解】由题意得两圆的圆心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，解得a＝3或a＝－3或a＝1或a＝－1，所以a的所有取值构成的集合是{1，－1，3，－3}．故选：ABCD10.已知直线，则下列选项中正确的有（）A.直线的倾斜角为B.直线的斜率为C.直线不经过第三象限D.直线的一个方向向量为【答案】CD【解析】【分析】由直线，可以得到直线的斜率和倾斜角，从而判断A和B的正误；通过计算直线的斜率和截距，从而判断是否经过第三象限，判断C选项的正误；取直线上两点，得到直线的一个方向向量，从而判断D选项的正误.【详解】因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A和B错误；因为直线，故斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，故选项C正确；取直线上两点,，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确.故选：CD11.在平面直角坐标系中，已知圆，点，，点，为圆上的 两个动点，则下列说法正确的是（）A.圆关于直线对称的圆的方程为B.分别过，两点所作的圆的切线长相等C.若点满足，则弦的中点的轨迹方程为D.若四边形为平行四边形，则四边形的面积最小值为2【答案】AD【解析】【分析】由题意求出直线AB的方程，设，则解之即可判断A；由A、B到原点的距离不相等判断B；设，由题意得，结合计算化简，即可判断C；由点到直线的距离公式和几何法求弦长，求出直线AB的方程，求出面积即可判断D.【详解】A：，则直线AB方程为，设的圆心，则，解得，所以的方程为，故A正确；B：易知A、B到原点(圆心)的距离不相等，所以切线长不相等，故B错误；C：设，由，且P在圆O内部，得，又Q为弦CD的中点，则，有，即，整理得，即，故C错误；D：由题意，，若四边形ABCD为平行四边形，则，设AB直线方程为， 则O到直线AB的距离为，所以，即，解得，所以AB直线方程为或.当AB直线方程为即时，四边形ABCD的面积最小，且最小值为2，故D正确.故选：AD.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（）A.的最小值为B.椭圆的短轴长可能为2C.椭圆的离心率的取值范围为D.若，则椭圆的长半轴长为【答案】AC【解析】【分析】利用椭圆的定义计算判断A；点在椭圆内建立不等式，推理计算判断BC；求出点的坐标，列出方程计算判断D作答.【详解】对于A，由，得，则，当三点共线时取等号，A正确；对于B，由点在椭圆内部，得，则，有，椭圆的短轴长大于2，B错误； 对于C，因为，且，于是，即，解得，即，因此，椭圆的离心率的取值范围为，C正确；对于D，由，得为线段的中点，即，则，又，即，解得，则，椭圆的长半轴长为，D错误.故选：AC【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．三、填空题13.直线：与圆相交、两点，则______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，联立方程求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算作答.【详解】由解得或，不妨令，所以.故答案为： 14.直线与直线平行，则_________.【答案】－2【解析】【分析】利用两直线平行：斜率相等，纵截距不等即可求出结果.【详解】由，得到，因为，所以，由，得到所以，即，解得，故答案为：.15.已知点，，点在直线：上运动，则的最小值为______.【答案】7【解析】【分析】结合图象，求出点关于直线的对称点为，的最小值即为，解出即可.【详解】如图：设点，关于直线的对称点为，则，解得则，则,故答案为： 16.椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线与椭圆C交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为___________．【答案】【解析】【分析】设，再在中根据余弦定理结合椭圆的定义可得，再分别在与列出余弦定理，根据化简即可.【详解】由椭圆的性质可得，设，在中根据余弦定理结合椭圆的定义可得，即，整理可得，即，故.又，故，，故，即，，故，故离心率.故答案为： 四、解答题17.如图所示，已知是椭圆的两个焦点．（1）求椭圆的焦点坐标；（2）过作直线与椭圆交于两点，试求的周长．【答案】（1）．（2）40【解析】【分析】（1）根据椭圆的标准方程计算即可；（2）由椭圆的定义计算即可.【小问1详解】设焦距为，由得，所以椭圆的焦点坐标为．【小问2详解】设椭圆长轴长，则易得，又的周长为,由椭圆的定义可知，故.18.已知，过点且与直线垂直的直线为l．（1）求l的方程；（2）设l与坐标轴的交点分别为M和N，求．【答案】（1） （2）.【解析】【分析】（1）先求出直线的斜率，再由直线与直线垂直求出直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线的方程，（2）分别令求出直线与坐标轴的交点，再利用两点间的距离公式可求得结果.【小问1详解】因为，所以，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，因为直线过点，所以直线方程为，即，【小问2详解】由（1）可知直线为，当时，，当时，，不妨令，则.19.已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为k的直线与椭圆M有两个不同的交点A，B.（1）求椭圆M的方程；（2）若直线过椭圆上顶点，且，求的值.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）由题意可得，解出，进而求解.（2）由题意可得直线的方程，将其与椭圆方程联立后，再结合韦达定理及弦长公式求解即可.【小问1详解】由题意得，，解得，，，∴椭圆M的方程为.【小问2详解】因为，椭圆上顶点为，所以直线的方程为，设，.联立，得，又直线与椭圆有两个不同的交点，所以，∴，，∴. 20.如图，在四棱台中，底面，M是中点.底面为直角梯形，且，，.（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意可证，可知四点共面，进而可得，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）过点作于点，连，根据垂直关系分析可得为与平面所成角，运算求解即可.【小问1详解】连接， 因为是中点，且，，则，又因为，则，可知四点共面，由，，可得，，则四边形是平行四边形，故，且平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为底面，底面，则，且，，平面，所以平面，由（1）可知：，则平面，且平面，所以平面平面，过点作于点，连，平面平面，平面，所以平面，所以为与平面所成角，因为，则，可得，所以直线与平面所成角的正弦值.21.已知圆，直线l过点且与圆C相交A，B两点.（1）若为等腰直角三角形，求l的方程；（2）当时，求的外接圆方程. 【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）由题意可得圆心到直线l的距离为，考虑直线l的斜率存在和不存在，由点到直线的距离公式即可得出答案；（2）先求出直线l的方程，设的外接圆方程为：，将代入即可求出，即可求出的外接圆方程.小问1详解】将圆化简为：，则圆心，，因为，，所以，因此圆心到直线l的距离为：若直线l的斜率不存在，所以，圆心到直线的距离为，满足题意；若直线l的斜率存在，设直线l为：，即，即，解得：，所以直线l为：，综上：l的方程为：或.【小问2详解】因为，，所以，因为，则，因为直线l过点，则直线l的方程为：，化简为：， 因为的外接圆过直线l与圆的交点，设其方程为：，因为圆过点，代入可得，解得：，得，即，经经验，故所求的方程为：.22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆：相切，另外，椭圆：的离心率为，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于C，D两点．且．（1）求圆的方程与椭圆的方程；（2）经过圆上一点P作椭圆的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆相交于M，N两点（异于点P），求△OAB的面积的取值范围．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由直线与圆的相切关系及点线距离公式求参数r，即可得圆的方程，根据椭圆离心率、及椭圆参数关系求出a、b、c，即可得椭圆的方程.（2）设、、，讨论直线PA，PB斜率存在性，则直线PA为、直线PB为，联立椭圆方程并结合所得一元二次方程求、，进而得直线PA为、直线PB为，结合在直线PA，PB上有AB为 ，联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式，结合三角形面积公式得求面积范围.【小问1详解】由题设，圆：的圆心为，因为直线与圆相切，则，所以圆的方程为，因为椭圆的离心率为，即，即，由，则，又，所以，解得，，所以椭圆的方程为．综上，圆为，椭圆为.【小问2详解】设点，，．当直线PA，PB斜率存在时，设直线PA，PB的斜率分别为，，则直线PA为，直线PB为．由，消去y得：．所以．令，整理得，则， 所以直线PA为，化简得：，即．经验证，当直线PA斜率不存在时，直线PA为或也满足．同理，可得直线PB为．因为在直线PA，PB上，所以，．综上，直线AB为．由，消去y得：．所以，．所以．又O到直线AB的距离．所以．令，，则，又，所以△OAB面积的取值范围为．【点睛】关键点点睛：第二问，设点及直线PA，PB的方程，联立椭圆结合相切关系求参数关系，进而确定PA，PB的方程，由在直线PA，PB上求直线的方程，再联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求三角形面积的范围.