浙江省嘉兴市海盐高级中学2023-2024学年高二数学上学期返校测试试题（Word版附解析）

海盐高级中学高二返校评估测试数学试卷（2023.8）（考试时间120分钟试卷总分150分）一、单选题（40分）1.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的除法运算求解.【详解】由题意可得：.故选：B.2.已知平面向量，，，若∥，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出的坐标，再由∥，列方程可求出的值，从而可求出的坐标，进而可求出【详解】因为，，所以，因为∥，，所以，解得，所以，所以，故选：C3. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（）甲乙丙丁平均成绩8.68.98.98.2方差3.55.62.13.5A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】C【解析】【分析】分别从平均成绩最高和方差最小两方面找到最佳人选即可.【详解】由题中数据可知，甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，又甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，所以综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定，所以丙是最佳人选，故选：C.4.从长度为的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用列举法，列出5条线段中任取3条线段的所有情况，然后找出能构成三角形的情况，再利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】从5条线段中任取3条，可能的情况有：，，，，，，，，，共有10种可能，其中，能构成三角形的只有，，共3种可能，所以能构成三角形的概率为.故选：A.5.如图，若直线的斜率分别为，则（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.【详解】解析设直线的倾斜角分别为，则由图知，所以，即．故选：A6.已知直线过，且，则直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用，求出直线斜率，利用可得斜率乘积为，即可求解.【详解】设直线斜率为，直线斜率为，因为直线过，，所以斜率为，因，所以，所以，即直线的斜率为. 故选：B.7.已知，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式，再结合同角三角函数基本关系式，即可求解.【详解】因为，所以，又，所以故选：D8.在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，则锐二面角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.75°【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求解.【详解】因为平面，平面，所以，，又是矩形，所以两两垂直，故以为坐标原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 又，，，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为，而,设平面的法向量为，则，取，则，，所以30°，所以锐二面角的大小为30°，故选：A.二、多选题（20分）9.若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，乙组样本数据的平均数为5，下列说错误的是（）A.的值不确定B.乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍C.两组样本数据的极差可能相等D.两组样本数据的中位数可能相等【答案】ABC【解析】【分析】由甲组平均数为，则乙组平均数为，解得值，又乙组方差为甲组方差的倍，可判断选项AB，再利用极差与中位数定义判断CD项.【详解】对选项A，由题意可知，，故A错误；对选项B，易知乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的倍，故B错误；对选项C，不妨设， 则甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，又已知甲组数据各不相同，所以两组样本数据的极差不相等，故C错误；对选项D，设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，当时，，所以两组样本数据的中位数可能相等，故D正确.故选：ABC.10.下列说法正确的是（）A.从五名同学中选三名同学去听专家讲座，不同的选法有10种B.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为C.从装有2个红球，3个白球的不透明袋子中任取3个球，则事件“所取的3个球中至少有1个红球”与事件“3个都是白球”互为对立事件D.设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是【答案】ABC【解析】【分析】根据排列组合的公式以及相互独立事件乘法公式逐一判断即可．【详解】A选项，从五名同学中选三名同学去听专家讲座，不同选法有种，故A正确；B选项，甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为，故B正确；C选项，从装有2个红球，3个白球的不透明袋子中任取3球，有以下情形：3白，1红2白，2红1白，则事件“所取的3个球中至少有1个红球”与事件“3个都是白球”互为对立事件，C正确；D选项，∵，即，∴，得， 又，∴，故D错误，故选：ABC．11.已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.函数为偶函数B.C.D.函数的图象的对称轴方程为【答案】ACD【解析】【分析】整理可得，根据平移整理得，结合余弦函数得对称轴求解．【详解】对于A，由已知得，函数为偶函数，故A正确；对于B，C，可得，故C正确；对于D，令，，可得，，故D正确.故选：ACD.12.在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），则下列说法正确的是（）A.存在点，使得平面B.对于任意点，都有平面平面C.异面直线与所成角的余弦值的取值范围是D.若平面，则平面截该正方体的截面图形的周长最大值为 【答案】AB【解析】【分析】利用线面平行的判定判断A；利用面面垂直的判定判断B；求出异面直线夹角的余弦范围判断C；举例说明判断D作答.【详解】在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），对于A，当点与重合时，由，得，有，而平面，平面，因此平面，即平面，A正确；对于B，由平面，平面，得，又，平面，则平面，而平面，因此平面平面，B正确；对于C，由平面，平面，得，因为，显然是锐角，则是异面直线与所成的角，而，，C错误；对于D，当点与重合时，与选项B同理得平面，当平面为平面时，平面截正方体所得截面图形为矩形，其周长为，D错误.故选：AB三、填空题（20分）13.已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=______.【答案】 【解析】【详解】∵平面向量与的夹角为，∴.∴故答案为.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2)常用来求向量的模．14.若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________．【答案】，【解析】【分析】根据倾斜角为钝角斜率为负，结合直线斜率公式，解不等式即可得到所求范围．【详解】因为直线的倾斜角是钝角，所以斜率，解得．所以的取值范围是，．故答案为：，．15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且a＝1，，则△ABC外接圆的半径为____________．【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式和余弦定理，求解角，再根据正弦定理求半径.【详解】因为，所以，即，所以，由为三角形内角得，因为a＝1，由正弦定理得，所以． 故答案为：16.直四棱柱的底面正方形边长为，侧棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与直四棱柱的表面相交所得到的所有弧长之和等于______．【答案】【解析】【分析】分别求出球面与面、面、面、面的交线长，相加即可得出结果.【详解】如下图所示：①因为正方形的边长为，所以，以顶点为球心，为半径的球与面的交线是以为圆心，半径为，且圆心角为的圆弧，其长度为；②因为底面，且，所以，以顶点为球心，为半径的球与面的交线是以点为圆心，半径为，圆心角为的圆弧，其长度为；③设以顶点为球心，为半径的球与棱的交点为点，因为，，则，所以，，从而可得，故以顶点为球心，为半径的球与侧面的交线是以点为圆心，半径为，且圆心角为的圆弧，其长度为； ④同③可知，以顶点为球心，为半径的球与侧面的交线是以点为圆心，半径为，且圆心角为的圆弧，其长度为.因此，球面与直四棱柱的表面相交所得到的所有弧长之和等于.故答案为：.四、解答题（10+12+12+12+12+12）17.已知平面向量.（1）若与垂直，求的值；（2）若向量，若与共线，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求向量与的坐标，利用向量垂直的坐标运算，求的值；（2）求向量与的坐标，利用向量共线的坐标运算求的值，得向量的坐标，利用公式求.【小问1详解】，则，，由与垂直，则，解得.【小问2详解】，则有，由与共线，故，即，解得，可得， 18.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.（1）求第七组的频率；（2）估计该校的800名男生的身高的中位数；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中任取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求.【答案】（1）；（2）174.5；（3）.【解析】【分析】（1）求出第六组的频率后，根据频率和为1可求得结果；（2）根据前三组频率和小于0.5，前四组的频率大于0.5可知中位数位于第四，再根据中位数的概念列式可求得结果；（3）将事件转化为随机抽取的两名男生在同一组，根据列举法以及古典概型的概率公式可求得结果.【详解】（1）第六组的频率为，所以第七组的频率为；（2）身高在第一组的频率为，身高在第二组的频率为，身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为，由于，估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则由得所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5.（3）第六组的人数为4人，设为a，b，c，d，第八组的人数为2人，设为A，B，则有共15种情况，因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为共7种情况，故.【点睛】关键点点睛：将事件转化为随机抽取的两名男生在同一组是解题关键.19.在中，内角，，的对边分别是，，，且满足.（1）求角的值；（2）若，，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再用余弦定理即可求得结果；（2）由正弦定理结合已知求得，利用面积公式即可求得结果.【详解】（1）因为故，故可得，即可得，又， 故可得.（2）由（1）中所求，故可得，则由，可得.故可得三角形面积【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，属综合基础题.20.四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=2，E为AD的中点.（1）求证：平面PCE⊥平面PAD；（2）求PC与平面PAD所成的角的正切值；（3）求二面角A-PD-C的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）推导出，，，从而平面，由此能证明平面平面；（2）斜线在平面内的射影为，是与平面所成角的平面角，推导出，，由此能求出与平面所成角的正切值；（3）过点作，垂足为，连结，推导出，平面，，是二面角的平面角，由此能求出二面角的正弦值．【详解】（1）四边形为菱形，， ，为等边三角形，，在中，是中点，，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面，平面平面．（2）平面，斜线在平面内的射影为，即是与平面所成角的平面角，平面，平面，，在中，，在中，，平面，平面，，在中，，与平面所成角的正切值为．（3）在平面中，过点作，垂足为，连结，平面，平面，， ，平面，，是二面角的平面角，在中，，，，在中，，，，在中，，由余弦定理得，二面角的正弦值为．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正切值、二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．21.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）证明：；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）见解析（2）2【解析】【详解】试题分析：（1）由，根据正弦定理可得，利用两角和的正弦公式展开化简后可得，所以，；（2）由，根据余弦定理可得，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得，由，解得.试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得：，展开得：，整理得：，所以，. （2）由已知得：，∴，由，得：，，∴，由，得：，所以，，由，得：.22.如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，．（1）求点B到平面ECD的距离；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）推导出，，，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解点面距离（2）利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．【小问1详解】取中点，连接，，，，，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，，又，，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则,,,,0,,,0,,,,，,设平面的一个法向量为，，，，,则，取，得，又,所以点B到平面ECD的距离为【小问2详解】由题意可知：平面的一个法向量为,0,，设平面的一个法向量为，,0,，,,，则，取，得,0,，设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则．平面与平面所成锐二面角的余弦值为．