浙江省嘉兴市桐乡市高级中学2022-2023学年高二数学上学期9月检测试题（Word版附解析）

高二年级数学检测（9月）一、单选题1.已知是虚数单位，则复数的虚部是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，由此可得出结果.【详解】，因此，复数的虚部为.故选：B2.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式和对数不等式求得集合A，B，再求交集即可得解.【详解】解得：，于是得，解得：，于是得，所以.故选：C3.在中，内角为钝角，，，，则A.2B.3C.5D.10【答案】A【解析】【分析】先根据同角三角函数平方关系求，再根据余弦定理求 【详解】因为为钝角，所以因此由余弦定理得（负值舍去），选A.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.4.若直线与直线平行，则的值等于（）A.B.C.或D.或【答案】A【解析】【分析】若直线平行,可得,求解即可【详解】解：∵直线和直线平行,∴,解得或,当时,两直线重合故选:A5.“”是“直线的斜率不存在”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先求直线斜率不存在时的的值，然后再验证即可得到答案.【详解】直线的斜率不存在，则，，解得．“”是“直线的斜率不存在”的充要条件，故选：C．6.用函数表示函数和中的较大者，记为：．若 ，，则的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】在同一直角坐标系中作出两个函数和的图象，结合函数的定义得出该函数的图象.【详解】在同一直角坐标系中作出两个函数和的图象，如下图所示：由图象可知，，因此，函数的图象为A选项中的图象.故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，理解函数的定义是关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.已知，，，若对任意实数，（）恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据条件由进行数量积的运算即可求出，然后根据可得出对任意实数，即可得到恒成立，然后根据及解出的范围即可．【详解】解：，，，，对任意实数，，对任意的实数，，对任意的实数，恒成立，，解得或，因为，所以实数的范围为：．故选：．8.已知函数，若方程恰有个实根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式计算得出，由题意可知，关于的方程有两个不等的实根、，且、，然后作出函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】，，设当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.所以，.当时，.作出函数的图象如下图所示：由于方程恰有个实根，则关于的方程有两个实根、，设.若，则，此时关于的方程的另一实根，直线与函数的图象只有一个交点， 直线与函数的图象有两个交点，此时，关于的方程恰有个实根，不合乎题意；若，则，则关于的方程的另一实根，直线与函数的图象有且只有一个交点，直线与函数的图象有两个交点，此时，关于的方程恰有个实根，不合乎题意；所以，关于的方程有两个不等的实根、，且、，由图象可知，或.故选：D.【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数与外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）然后确定直线与内层函数的交点个数，最后得到原函数的零点个数为.二、多选题 9.下列选项正确的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】CD【解析】【分析】对于A选项，，，故A错误；对于B选项，令，根据函数的单调性可得：在上，，故B选项错误；对于C选项，作差变形，结合配方法即可得C选项正确；对于D选项，当或时，成立，正确.【详解】对于A选项，，，故A选项错误；对于B选项，令，则，故函数在上单调递增，，故在上，，故B选项错误；对于C选项，，故，，即C选项正确；对于D选项，显然当或时，成立，故D选项正确.故选：CD.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是偶函数B.有最小值C.D.方程有两个不相等的实数根【答案】ABD【解析】【分析】A．利用函数奇偶性定义判断的奇偶性；B．根据的奇偶性和单调性确定出的最小值；C．根据的单调性，采用举例的方式进行分析；D．利用零点的存在性定理判断出的零点个数，即可分析出方程的实根个数. 【详解】A．因为的定义域为关于原点对称，且，所以为上的偶函数，故正确；B．当时，单调递增，所以在单调递增，所以在上单调递减，所以，故正确；C．因为在上递减，在上递增，所以，所以，所以此时不成立，故错误；D．记，且在上递减，在上递增，所以在上递减，在上递增，又偶函数，所以为偶函数，因为，所以在上有一个零点，所以在上也有一个零点，所以在上有两个零点，所以方程有两个不相等的实数根，故正确，故选：ABD.【点睛】结论点睛：奇、偶函数在对称区间上的单调性和最值：（1）奇函数在对称区间上的最值互为相反数；（2）偶函数在对称区间上的最值相等；（3）奇函数在对称区间上的单调性相同；（4）偶函数在对称区间上的单调性相反.11.下列说法正确的是（）A.在中，若，则为锐角三角形B.若，则在方向上的投影向量为C.若，且与共线，则D.设是所在平面内一点，且则【答案】BD【解析】【分析】根据向量数量积为负，确定其夹角为钝角，从而判断；求向量投影判断；用反证法判断； 用向量加法几何意义判断．【详解】解：对于，因为，所以，于是，所以为钝角三角形，所以错；对于，因为，则在方向上的投影向量为，所以对；对于，假设对，则，从而，于是，所以与不共线，所以与与共线矛盾，所以错；对于，取中点，连接、，延长到，使，连接、，则四边形为平行四边形，于是，又因为，所以，所以、、共线，且，所以，所以对．故选：．12.如图，在矩形中，，，、分别为边、的中点，沿将折起，点折至处（在平面外），若、分别为线段、的中点，则在折起过程中（）A.存在某个位置，B.直线始终与面平行C.点在某个圆上运动 D.直线、与平面所成角分别为、，、能够同时取得最大值【答案】BCD【解析】【分析】由反证法可判断A；由面面平行可判断B；取的中点为，由可判断C；由平面平面可判断D.【详解】对于选项A：如图，取的中点为，连接，因为，所以，即.若，又，则平面，从而，显然矛盾，故A错误；对于选项B：如图，连接，则，，又，，所以可证平面平面，又平面，所以平面，故B正确；对于选项C：如图，取的中点为，连接，又是的中点，则，所以点在以为圆心，为半径的圆上，故C正确；对于选项D：如图，当平面平面时，与平面所成角取得最大值 ，因为平面平面，所以平面平面，此时与平面所成角也取得最大值，故D正确.故选：BCD.三、填空题13.直线过原点，与平行.若角的终边落在直线上，则___________.【答案】【解析】【分析】先求出直线的方程，再根据三角函数的定义求的值，化弦为切即可求解.【详解】因为直线过原点，与平行，所以直线的方程为：，当时，取终边上的点，可得，当时，取终边上的点，可得，所以若角的终边落在直线上，则，，故答案为：.14.已知，，过点且斜率为的直线与线段相交，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】直线与线段相交，分别求过端点、时的斜率，即可得的范围. 【详解】由题意，过点且斜率为的直线与线段相交，当过点时，；当过点时，；∴由图知：的取值范围为.故答案为：15.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线对称，则的最小正值为__________.【答案】【解析】【分析】先求得函数变换后的解析式，根据所得解析式对应的图像关于直线对称，求得的最小正值.【详解】由题意得，的图象向右平移个单位， 变为，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得解析式为，因为所得图象关于直线对称，所以，，当时，取得最小正值为.故答案为：16.已知，，直线：，：，且，则最小值为___________【答案】【解析】【分析】根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为，所以，即，因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故答案为：.四、解答题17.设的内角，，的对边分别为，，，向量， ，已知为锐角．（1）若，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，，且，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由平面向量数量积的坐标表示、二倍角公式和辅助角公式化简，再根据结合正弦函数的性质即可求解；（2）由可求出角，结合已知条件由余弦定理即可求边，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1），因为，则，所以，，所以的取值范围是；（2）由（1）知，，所以，因为为锐角，所以，因为，由余弦定理可得：即，解得：或（舍）所以的面积.18.已知直线． （1）求证：无论为何实数，直线恒过一定点；（2）若直线过点，且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）解方程组，可得定点的坐标；（2）设直线的方程为，分析可得，求出该直线与两坐标轴的交点坐标，可得出三角形面积关于的关系式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立可求得的值，即可得出直线的方程.【详解】（1）证明：将直线的方程化为，解方程组，解得，故直线恒过定点；（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，令，可得，令，可得，由已知可得，解得，所以，三角形面积为，当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.19.如图，已知是边长为2的正三角形，点四等分线段 (1)求(2)为线段上一点，若，求实数的值；(3)为边上一点，求的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)．【解析】【分析】先根据题目条件确定为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，，再由是正三角形，得.(1)利用向量数量积的运算律与向量加法法则，化简可得，再在中利用勾股定理求出的长；(2)根据为线段上一点，设，再利用向量的加减法与数乘运算，求出结合列方程组求解，可得；(3)根据为边上一点，设，，再利用向量的加减法与数乘运算，求出，进而得出，从而当时，取得最小值.【详解】由题知，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，因为是正三角形，所以.(1)，因为，，，所以，故.(2)因为为线段上一点，所以可设， 又，所以.又，且向量，不共线，所以，解得，所以实数的值为.(3)因为为边上一点，所以可设，.，因为，，所以，当时，取得最小值.20.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【解析】 【详解】（Ⅰ）由已知得.取的中点，连接，由为中点知，.又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，，，.设为平面的一个法向量，则即可取.于.【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2 ）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．21.如图①所示，平面五边形ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，∠B=90°且AD∥BC，若AD=2BC=2，AB=，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，现将△ADE沿AD折起，连接EB，EC得如图②的几何体．（1）若点M是ED的中点，求证：CM∥平面ABE；（2）若EC=2，在棱EB上是否存在点F，使得二面角E-AD-F的大小为60°？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在；点为的中点．【解析】【分析】（1）作出辅助线，证得，结合线面平行的判定定理即可证出结论；（2）证出面，建立空间直角坐标系，假设存在点，然后利用空间向量的夹角公式建立方程，解方程即可判断.【详解】（1）证明：取的中点为，连接，，∵是的中点，，∴是的中位线，∴且，所以为平行四边形，∴，因为面，面，所以平面． （2）解：取的中点为，连接，，其中，，由可得，显然面，故以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴；如图建立空间直角坐标系，则，，，，设存在点，，，，易知面的法向量可取，另外，，设面的一个法向量为，则，可取一个法向量为， 则，为的中点．故存在点为的中点．22.已知函数（1）若，解不等式；（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；（3）记函数在上最大值为，求的最小值.【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）由，先化简函数解析式，再讨论和两种情况，分别解所求不等式，即可得出结果；（2）先将函数解析式，写出分段函数的形式，分别讨论，，三种情况，根据函数单调性，即可求出结果；（3）讨论或，，，四种情况，结合函数单调性，即可得出最大值，进而可求出最小值.【详解】（1）时，，当时，可化为，解得：当时，可化为，解得，综上，不等式的解集为.（2），因为是开口向上，对称轴为的二次函数，当，即时，在上显然单调递增，满足题意； 当，即时，在上为增函数，满足题意；当，即时，为使函数在上单调递增，需满足：，解得；综上，或；（3）由（2）知：当或，则在上单调递增，所以；当，则，对称轴，所以；当时，；当时，，因，所以.综上，，当时，.【点睛】方法点睛：求解含参二次函数在给定区间的最值问题时，通常需要利用分类讨论的的方法进行求解，考虑对称轴在给定区间左侧、右侧或位于区间内的情况，结合函数单调性，即可求解.