浙江省嘉兴市2022-2023学年高二数学下学期期末考试试题（Word版附解析）

嘉兴市2022~2023学年第二学期期末检测高二数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的基本运算进行计算即可.【详解】解：由，得，由，得，所以.故选：B.2.设（为虚数单位），则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法法则进行运算，再利用共轭复数的概念求解.【详解】因为，所以复数的共轭复数．故选：A3.已知为非零向量，且满足，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】运用平面向量数量积及投影向量公式计算即可.【详解】因为，所以，即：， 所以在上的投影向量为.故选：D4.设函数，则“”是“在上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】运用复合函数单调性求得a的范围，再运用集合的包含关系即可求得结果.【详解】因为在上单调递增，所以由复合函数的单调性可知，，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.5.已知且满足，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用配凑角，代入已知等式中可得，再结合角范围可求得的值，进而可求得、的值.【详解】因为，，，所以，又因为，， 所以，，所以，所以，所以，又因为，所以，所以所以.所以，故选：B.6.设.这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】运用正态分布密度曲线的对称性求解即可.【详解】对于A项，由图可知，，故A项不成立； 对于B项，由图可知，，，所以，故B项不成立；对于C项，因为，，，所以，故C项不成立；对于D项，由图可知，，所以，故D项正确.故选：D.7.某校一场小型文艺晩会有6个节目，类型为：2个舞蹈类､2个歌唱类､1个小品类､1个相声类.现确定节目的演出顺序，要求第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，则不同的排法总数有（）A.336种B.360种C.408种D.480种【答案】C【解析】【分析】先求第一个节目不排小品类不同的排法种数，再求第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻的排法种数，再相减即可.【详解】利用间接法：第一个节目不排小品类，共有种不同的排法，第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻，共有种不同的排法，所以第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，有种不同的排法，故选：C.8.在三棱锥中，，平面平面，则该三棱锥体积的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用面面垂直的性质定理得出平面，分析知当时三棱锥体积最大，令，则体积 ，换元构造函数，利用导数求得其最值即可.【详解】因为平面平面，为两平面交线，取中点，因为，所以，又平面，所以平面，所以三棱锥的体积，因为，所以当长度确定时，长度不变，此时当时面积达到最大，故求出当时三棱锥体积的最大值即可.当时，令，则，则，由可得，令，则，从而，当时递增， 当时递减，所以，即最大体积为.故选：B二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某校一支田径队有男运动员12人，女运动员8人，全队中身高最高为，最低为，则下列说法正确的有（）A.该田径队队员身高数据的极差为B.用不放回简单随机抽样的方法从田径队中抽取一个容量为10的样本，则每位运动员被抽到的概率均为C.按性别用分层抽样的方法从田径队中抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，则男､女运动员抽取的人数分别为7人与3人D.若田径队中男､女运动员的平均身高分别为和，则该田径队的运动员总体平均身高为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，身高的最大值减最小值即可；对于B，不放回的简单随机抽样中每个个体被抽取的概率相等，等于抽取的人数与总体人数的比；对于C，利用分层抽样的方法按比例抽取即可；对于D，根据男女生的比例及平均数公式求得结果.【详解】对于A，由于全队中身高最高为，最低为，该田径队队员身高数据的极差为，故A正确；对于B，由已知田径队共有人，用不放回简单随机抽样的方法从田径队中抽取一个容量为10的样本，则每位运动员被抽到的概率均为，故B正确；对于C，田径队有男运动员12人，女运动员8人，男女生比例为，若抽取一个容量为10的样本，男､女运动员抽取的人数分别为6人与4人，故C错误；对于D，若田径队中男､女运动员的平均身高分别为和，男生占，女生占 ，则该田径队的运动员总体平均身高为，故D正确.故选：ABD.10.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（）A.B.C.在区间上单调递减D.为偶函数【答案】AC【解析】【分析】由图列方程组可判断A项，代入点可判断B项，结合图象及其周期可判断C项，令计算可判断D项.【详解】由图可知，，，所以， 所以，将点代入可得：，，又因为，所以，所以，故A项正确，B项错误；对于C项，因为，所以，由图可知，在上单调递减，即：上单调递减，故C项正确；对于D项，因为，所以，当时，，所以不是偶函数，故D项错误.故选：AC.11.一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔向左或向右移动一个单位，向左移动的概率为，向右移动的概率为.则下列结论正确的有（）A.第八次移动后位于原点0的概率为B.第六次移动后位于4的概率为C.第一次移动后位于-1且第五次移动后位于1的概率为D.已知第二次移动后位于2，则第六次移动后位于4的概率为【答案】BCD【解析】 【分析】运用二项分布可判断A项、B项，运用分步乘法计算可判断C项，运用条件概率公式计算可判断D项.【详解】对于A项，在8次移动中，设变量X为质点向右运动的次数，则，若移动8次后，质点位于0的位置，则质点向右移动4次，向左移动4次，所以第八次移动后位于原点0的概率为，故A项错误；对于B项，在6次移动中，设变量X为质点向右运动的次数，则，若移动6次后，质点位于4的位置，则质点向右移动5次，向左移动1次，所以第八次移动后位于原点0的概率为，故B项正确；对于C项，记“第一次移动后位于”为事件A，“第五次移动后位于1”为事件B，由题意知，质点先向左移动1次，剩余的4次中质点向右移动3次，向左移动1次，所以第一次移动后位于且第五次移动后位于1的概率为，故C项正确；对于D项，记“第二次移动后位于2”为事件M，“第六次移动后位于4”为事件N，当第二次移动后位于2且第六次移动后位于4时，质点先向右移动2次，剩余的4次中质点向右移动3次，向左移动1次，所以，，所以已知第二次移动后位于2，则第六次移动后位于1的概率为，故D项正确.故选：BCD.12.定义域为的函数满足，则（）A.B.C.D.【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值法对进行赋值结合函数的周期可得答案.【详解】令可得选项正确；令，则，即，则为上的偶函数；令，则，即①；令，则②，由①②得，即；若，则，与条件不符，故，此时有，因为，所以，B选项错误；令，则，即，所以，从而，故为函数的一个周期，所以选项正确；因为，所以，此时有，则选项正确，故选：ACD.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某学生在对50位同学的身高（单位：）与鞋码（单位：欧码）的数据进行分析后发现两者呈线性相关，得到经验回归方程.若50位同学身高与鞋码的均值分别为，则__________.【答案】【解析】【分析】利用回归方程必过样本中心，代入求解即可.【详解】因为经验回归方程为，，所以.故答案为：.14.的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 【答案】80【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于2，求出的值，即可求得含的系数．【详解】的展开式的通项公式为，令，求得，可得的系数为，故答案为：80.15.某校团委组织了一场“承五四精神，谱青春华章”的学生书画比赛，评出一､二､三等奖作品若干，其中二等奖和三等奖作品数量相等，高二年级作品分别占.现从获奖作品中任取一件，记事件“取出一等奖作品”，“取出获奖作品为高二年级”，若，则__________.【答案】【解析】分析】设出一、二、三等奖作品件数，由可得，进而可求得，结合条件概率公式计算可得结果.【详解】设一、二、三等奖作品分别有x，y，y件，所以，解得：，所以0.46，所以.故答案为：.16.若，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】构造函数研究其在上单调性，运用其单调性可得 ，解不等式即可.【详解】原不等式等价于，令，则不等式等价于，因为，所以当时，，所以在上单调递减，又因为，所以，即，即，解得或，又因为，所以.故答案为：.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.记为数列的前项和，且，已知.（1）若，求数列的通项公式；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得为公差为的等差数列，求得，利用与的关系求得，再利用累乘法即可得到结果.（2）利用等差数列前项和公式表示出，即可得出，然后利用裂项相消法求得其前项的和，即可得到结论. 【小问1详解】由题意得为公差为的等差数列，则，即，两式作差得，即，所以，即，，因为，所以.【小问2详解】由题知，，所以，则，当时，有，因为，所以恒成立等价于，从而.18.如图，在三棱锥中，已知平面，平面平面. （1）求证：平面；（2）若是的中点，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质可得线面垂直；（2）几何法和向量法都是先根据线面角求出的长，然后找到二面角的平面角或者利用法向量求解二面角.【小问1详解】过点作于点，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为平面，所以，又，平面，所以平面.【小问2详解】几何法：因为平面，所以，又因为平面，所以为与平面的所成角， 令，则，则，解得；因为，且平面平面，所以为的平面角，.坐标法：因为平面，所以，则以为轴，为轴建立空间直角坐标系，轴，取，则，;设平面的法向量为，由可得：；取，则，平面的一个法向量为，设与平面所成角为，则，解得，此时，则，设平面与平面的夹角为，则. 19.记的内角的对边分别为.已知.（1）求角的大小；（2）若为线段上的一点，且满足，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知，利用正弦定理结合辅助角公式可得，从而可得答案；（2）利用正弦定理求得，可得，从而得，再由三角形面积公式可得答案.【小问1详解】因为由正弦定理可得，因为，所以，则，即，因为.【小问2详解】 因为，所以，，所以，.20.某校学生每一年需要进行一次体测，体测包含肺活量､50米跑､立定跳远等多个项目，现对该校的80位男生的肺活量等级（优秀､良好､合格､不合格）进行统计，得到如下列联表：身高肺活量等级合计良好和优秀不合格和合格低于175公分222244不低于175公分30636合计522880（1）能否有的把握认为男生的身高与肺活量的等级划分有关联？（2）某体测小组由6位男生组成，其中肺活量等级不合格的有1人，良好的有4人，优秀的有1人，肺活量等级分按如下规则计算：不合格记0分，合格记1分，良好记2分，优秀记3分.在该小组中随机选择 2位同学，记肺活量等级分之和为，求的分布列和均值.附：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）有的把握认为男生的身高与肺活量的等级划分有关联（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）计算判断即可.（2）分析出的可能取值为2、3、4、5，分别计算各自概率即可求得结果.【小问1详解】零假设：认为男生的身高与肺活量的等级划分无关联，，所以假设不成立，所以我们有的把握认为男生的身高与肺活量的等级划分有关联.【小问2详解】由题意知，的可能取值为：2、3、4、5.，，，，则的分布列如下：2345所以. 21.已知椭圆的左右顶点分别为，上顶点为为椭圆上异于四个顶点的任意一点，直线交于点，直线交轴于点.（1）求面积的最大值；（2）记直线的斜率分别为，求证：为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）方法1：设出点M的坐标，计算点到直线的距离，运用辅助角公式转化为求三角函数的最大值，进而可求得结果.方法2：联立椭圆方程及与平行的直线的方程，令，进而可求得结果.（2）分别求出交点M、Q、P坐标，计算即可.【小问1详解】方法1：如图所示，由题意知，，，，设，则， 点到直线的距离为：，所以，所以.故△MBD面积的最大值为：.方法2：设与平行的直线，联立得，令，显然当时与椭圆的切点与直线的距离最大，，所以.故△MBD面积的最大值为：.【小问2详解】如图所示，设直线，联立得， 则点的坐标为，设点为，则，所以，即，所以，联立得点的坐标为，所以，，所以.故为定值.【点睛】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略（1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．（2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．（3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．22.已知函数为自然对数的底数（1）当时，求函数的最大值；（2）已知，且满足，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）运用导数研究的单调性，进而求得其最大值. （2）同构函数，转化为，结合换元法，分别讨论与，当时运用不等式性质即可证得结果，当时运用极值点偏移即可证得结果.【小问1详解】当时，，定义域为，则，，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.故的最大值为.【小问2详解】由题意知，，由可得，所以.令，由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，则，令，又，所以，则①若，则，即，所以；②若，设，且满足，如图所示， 则，所以，下证：.令，则，所以在上单调递增，所以，所以，即，又因为，所以，所以，即，又因为，所以，即.由①②可知，得证.【点睛】极值点偏移问题的方法点睛：(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．