浙江省嘉兴市秀水高级中学2022-2023学年高二数学下学期5月月考试题（Word版附解析）

秀水高中2022-2023学年度第二学期5月考试高二年级数学试卷考试时间：120分钟第I卷（选择题）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据集合交集运算可得.【详解】因为所以.故选：B2.已知为虚数单位，复数，则（）A.2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由复数的乘、除法运算化简复数，再由复数的模长公式计算即可得出答案.【详解】，则.故选：C. 3.（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式及三角恒等变换化简求值即可.【详解】已知可化为：.故选：A4.保家卫国是每个公民应尽的义务，是一种神圣的职责，捍卫国家安全是每个公民的使命．防止外敌入侵，是中国军人的最高责任、最神圣的任务和最明确的目标，为增强学生爱国意识，激发学生爱国热情，某校组织学生进行爱国观影活动，备选影片有《建军大业》《我的1919》《湄公河行动》《空天猎》《厉害了我的国》5部，若甲、乙、丙三位同学每人只能选择观看其中一部影片，则不同的选择结果共有（）A.10种B.27种C.60种D.125种【答案】D【解析】【分析】利用分步乘法计数原理求解.【详解】解：由题意知，甲、乙、丙三位同学每人只能选择观看其中一部影片，所以每个人有5种选择，由分步计数原理得共有（种）．故选：D．5.已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意知是方程的两实数根，由韦达定理可求出，代入不等式中，解不等式即可求出答案.【详解】由不等式的解集为， 知是方程的两实数根，由根与系数的关系，得，解得：，所以不等式可化为，解得：或，故不等式的解集为：.故选：D.6.端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等.端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀.小华的妈妈为小华煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”，事件B“取到的两个都是艾香粽”，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.【详解】由题意，，，所以.故选：B.7.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得答案.【详解】由题意得，，，即， 故问题转化为在上有解，设，则，，对于，当且仅当时取等号，则，故，故选：A8.如图，一块三角形铁片，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点，，.如果过点作一条直线分别交，于点，，并沿直线裁掉，则剩下的四边形面积的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析可将问题转化为求面积的最小值，利用正弦定理及基本不等式即可解决.【详解】设则=化简得：，当且仅当，即时取得等号，故而当面积的最小时，剩下的四边形面积的最大为 故选：A【点睛】本题考察平面图形的面积最值，可转化为求三角形面积最值，一般情况都可以转化为利用基本不等式或者同一变量的函数值域问题，属于压轴题.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，则下列等式正确的有（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用赋值法即可求解AC,求导后结合赋值法可判断D，利用通项的特征可判断B.【详解】对于A,令，则，故A正确，对于B,，因此，故B错误，对于C,令，则，令，则，两式相加可得，故C正确，对于D,对两边求导得，令得，故D正确，故选:ACD10.随机变量且，随机变量，若，则（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】对AB，根据正态分布的期望方差性质可判断；对C，根据 及二项分布期望公式可求出；对D，根据二项分布方差的计算公式可求出，进而求得.【详解】对AB，因为且，所以，故，，选项A正确，选项B错误；对C，因为，所以，所以，解得，选项C正确；对D，，选项D错误.故选：AC.11.近年来，网络消费新业态､新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为万人，从该县随机选取人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下组：、、、，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，且，，，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.则（）A.由直方图可估计样本的平均数约为B.由直方图可估计样本的中位数约为C.由正态分布可估计全县的人数约为万人D.由正态分布可估计全县的人数约为万人【答案】ABD【解析】 【分析】利用频率分布直方图计算出样本的平均数与中位数，可判断AB选项；利用正态分布原则可判断CD选项.【详解】对于A选项，由直方图可估计样本的平均数为，A对；对于B选项，前两个矩形的面积为，前三个矩形的面积之和为，设样本的中位数为，则，由中位数的定义可得，解得，B对；对于C选项，因为，，，所以，，所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，C错；对于D选项，因为，，所以，，所以，由正态分布可估计全县人数约为万人，D对.故选：ABD.12.已知函数（其中），恒成立，且在区间上单调，则（）A.是偶函数．B.C.是奇数D.的最大值为3【答案】BCD 【解析】【分析】根据得到，根据单调区间得到，得到或，故CD正确，代入验证知不可能为偶函数，A错误，由函数的对称性可判断B，得到答案.【详解】∵，，∴，，故，，，由，则，故，，，当时，，，∵在区间上单调，故，故，即，，故，故，综上所述：或，故CD正确；或，故或，，不可能为偶函数，A错误；由题可知是函数的一条对称轴，故成立，B正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.第II卷（非选择题）三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数，若，则a=___________. 【答案】【解析】【分析】先令，则，求解的值，然后再分类讨论，求解的值.【详解】令，则，当时，有，无解，当时，有，解得，或，所以或，当时，，，故无解；当时，若，则，得，若，则，即，无解，综上所述：.故答案为：.【点睛】本题考查分段函数的应用，考查根据函数值求参，难度一般，解答时注意分类讨论思想的运用.14.若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为______.【答案】【解析】【分析】令求得，写出的展开式的通顶公式分别求出它的系数与常数项，再与的系数相结合即可得展开式中的系数.【详解】因为的展开式中各项系数之和为,令,得,所以6.因为展开式的通顶公式为, 令,得;令,得,所以展开式中的系数为.故答案为：15.已知集合.若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围为__________________.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的性质化简集合，根据题意能得到，根据包含关系列出不等式即可得到答案【详解】因为，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，所以因为“”是“”的充分条件，，所以，所以，解得或，所以实数m的取值范围为，故答案：16.如图，一个筒车按逆时针方向旋转，每分钟转5圈，若从盛水筒P刚出水面开始计时，则盛水筒到水面的距离y（单位：m）（水面下则y为负数）与时间t（单位：s）之间的关系式为，盛水筒至少经过________s能到达距离水面的位置． 【答案】【解析】【分析】计算，得到，取，解得答案.【详解】当时，，即，，故，，故，故，取，即，设盛水筒第一次达到的时间为，则，解得.故答案为：四、解答题:本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数．（1）求的最小正周期及对称轴方程；（2）求，求的最大值及相对应的x的值；（3）讨论在的单调性．【答案】（1）；（2）当时，取得最大值为.（3）在上的单调递增区间为，单调递减区间为【解析】【分析】（1）先化简函数的的解析式，再利用公式即可求得的最小正周期，令 即可求出对称轴方程；（2）由的范围求出，可知当时，即可求出的最大值；（3）确定，根据正弦函数的单调性计算得到答案.【小问1详解】则的最小正周期，令，则.的最对称轴方程为；【小问2详解】，，所以，所以当即时，取得最大值为：.【小问3详解】由，可得，由，得，则在单调递增；由，得，则在单调递减故在上的单调递增区间为，单调递减区间为18.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为、、，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率； （2）求的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；（2）由题意可知随机变量可取的值为、、、，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列及其数学期望的值.【详解】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件，则甲，乙两人击中，丙没有击中的概率为：；（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、、、，，，，.所以，随机变量的分布列如下：因此，随机变量的数学期望为.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.已知函数（a，b，）有最小值，且的解集为．（1）求函数的解析式；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据韦达定理列出方程组解出即可；（2）分离参数得，，利用基本不等式求出右边最值即可.【小问1详解】令，则为方程的两根，则，则由题有，解得，.【小问2详解】由（1）得对，，即，，，，令，，则，当且仅当，即时等号成立，故，则.20.在2023年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．（1）现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：选择甲公司直播间购物选择乙公司直播间购物合计用户年龄段19—24岁4050 用户年龄段25—34岁30合计是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？（2）若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能他从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率；（3）元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为，每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取五人，记五人中恰有2人下单成功的概率为，求的最大值点．参考公式：，其中．独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910828【答案】（1）有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关；（2）（3）【解析】【分析】（1）完善列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论；（2）应用独立事件乘方公式、互斥事件概率加法，求小李第二天去乙直播间购物的概率；（3）由题设可得，利用导数研究其单调性求上的最大值即可.【小问1详解】列联表如下：选择甲公司直播间购物选择乙公司直播间购物合计用户年龄段19—24岁401050 用户年龄段25—34岁203050合计6040100所以，故有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关.【小问2详解】由题设，小李第二天去乙直播间的基本事件：{第一天去甲直播间，第二天去乙直播间}；{第一天去乙直播间，第二天去乙直播间}，两种情况，所以小李第二天去乙直播间购物概率.【小问3详解】由题设，设五人中下单成功的人数为，则，所以，令，所以，令，所以，开口向下，且在上递增，上递减，又，故上，递减；上，递增；由，，故上，即，上，即，所以在上递增，上递减，即在上递增，上递减，所以，即.21.已知不等式（1）若不等式的解集为或，求实数的值；（2）若，解该不等式.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得和是方程的两个根，根据韦达定理列方程即可求解； （2）若，不等式为，分别讨论、、、、解不等式即可求解.【详解】（1）因为不等式的解集为或，所以和是方程的两个根，由根与系数关系得，解得；（2）当时，不等式为，当时，不等式为，可得：；当时，不等式可化为，方程的两根为，，当时，可得：；当时，①当时，即时，可得：或；②当即时，可得：；③当，即时，可得或；综上：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为或. 22.在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且.（1）求证：；（2）已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，结合整理可得角关系；（2）由正弦定理得，又因为为锐角三角形且，结合三角函数值域可求得线段长度的取值范围.【小问1详解】由题意得，由正弦定理得，因为，则，即，可得，整理得，由余弦定理得，整理得，由正弦定理得，故，整理得，又因为为锐角三角形，则，可得，所以，即.【小问2详解】在中，由正弦定理得，所以， 因为为锐角三角形，且，所以，解得.故，所以.因此线段长度的取值范围.