2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第31讲平面向量的综合应用（达标检测）（Word版附解析）

第31讲平面向量的综合应用（达标检测）[A组]—应知应会1．（2020春•肥城市期中）已知作用在坐标原点的三个力，，，则作用在原点的合力的坐标为　　A．B．C．D．【分析】根据平面向量的坐标运算公式，计算即可．【解答】解：，，，则，，．故选：．2．（2020春•松山区校级月考）如图在平行四边形中，已知，，，，则　　A．6B．C．3D．【分析】将结合，将中的向量用来表示，即可解出的值．【解答】解：因为平行四边形中，，，．所以，，故由得，即，解得．故选：．3．（2020春•泸州期末）如图，边长为1的等边中，为边上的高，为线段上的动点，则 的取值范围是　　A．，B．，C．，D．，【分析】可设，且，它们的夹角为，然后设，，，然后结合向量的加减法运算，将表示为关于的函数的形式，问题即可解决．【解答】解：由已知设，则，且，由等边三角形的性质可知：，故可设，所以，所以，，．易知时，原式取最小值；或1时，原式取最大值0．故则的取值范围是．故选：．4．（2020•石家庄模拟）设圆的半径为1，，，是圆上不重合的点，则的最小值是　　A．B．C．D．【分析】用表示出，作，垂足为，设，，用，表示出即可得出最值． 【解答】解：，由题意可知，，均为单位向量，故，连接，作，垂足为，设，，则，，，，，，当，时，取得最小值．故选：．5．（2020•河南模拟）在中，，，，且，，则　　A．3B．5C．D．【分析】根据已知，可得出，在三角形上的位置，则，通过化简代入数值，即可得结论．【解答】解：由题，中，，，，，，，是线段的中点．可得如图： ．故选：．6．（2019秋•岳麓区校级期末）在内使的值最小的点是的　　A．外心B．内心C．垂心D．重心【分析】令，，设，根据．结合二次函数的性质即可求解【解答】解：令，，设，则，，于是．所以当时，最小，此时，则点为的重心． 故选：．7．（2020春•焦作期末）在中，点，在线段上，，当点在线段上运动时，总有，则一定有　　A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，设，由，得，代入，再令，结合已知转化为关于的不等式，再由判别式恒小于等于0求得的值，然后利用数量积的几何意义可得，则答案可求．【解答】解：如图，设，由，得，又，，即有，，令，则，即恒成立．可得．化为，则．，即在上的投影为的中点． ．故选：．8．（2020春•丰台区期末）点，，在所在平面内，满足，，且，则，，依次是的　　A．重心，外心，内心B．重心，外心，垂心C．外心，重心，内心D．外心，重心，垂心【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案．【解答】解：，，设的中点，则，，，三点共线，即为的中线上的点，且．为的重心．，，为的外心；，，即，，同理可得：，，为的垂心；故选：．9．（2020•浙江模拟）已知是半圆的直径，，等腰三角形的顶点、在半圆弧上运动，且，，点是半圆弧上的动点，则的取值范围　　 A．B．C．D．【分析】由圆的参数方程设出，，点的坐标，进而找出与角的关系，通过三角化简转化成三角函数，结合角的范围可求最值．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得，，设，则，，设，其中，，，，所以，，，所以，因为，，，，所以，，，，所以．故选：．10．（2020春•东城区期末）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为 ．给出以下结论：①越大越费力，越小越省力；②的范围为，；③当时，；④当时，．其中正确结论的序号是　　．【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可．【解答】解：对于①，由为定值，所以，解得；由题意知时，单调递减，所以单调递增，即越大越费力，越小越省力；①正确．对于②，由题意知，的取值范围是，所以②错误．对于③，当时，，所以，③错误．对于④，当时，，所以，④正确．综上知，正确结论的序号是①④．故答案为：①④．11．（2019春•贺州期末）设为内一点，且满足关系式，则　　． 【分析】化简可得，设，分别为、的中点，则，再根据等底的三角形面积之比等于高之比即可求解．【解答】解：由题可得，，则，即，设，分别为、的中点，则，设，为的中位线，，是的中点，，又，，是的中点，，又，，故．故答案为：．12．（2019秋•亭湖区校级月考）在平面直角坐标系中，已知点，、为圆上的两动点，且，若圆上存在点，使得，则的取值范围为　　． 【分析】作图，可得，由弦长、弦心距及半径之间的关系可得点的轨迹方程，进而得到的几何意义，由此即可得解．【解答】解：取的中点，连接，则，又圆上存在点，使得，所以，因此，故，因为、为圆上的两动点，且，所以，设，则，即点的轨迹方程为，表示圆上的点与定点之间的距离，因此，即，即．故答案为：．13．（2019秋•马鞍山期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．（1）求点，点的坐标；（2）求四边形的面积． 【分析】（1）设，，根据题中条件，得到，，再由向量的坐标表示，根据，即可求出点的坐标；（2）先用向量的方法，证明四边形为等腰梯形；连接，延长交轴于点，得到，均为等边三角形，进而可求出四边形面积．【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，，，，又，设，，则，，点；又，，即点；（2）由（1）可得，，，，即，又，四边形为等腰梯形．连接，延长交轴于点，则，均为等边三角形，．14．（2019春•来宾期末）在中，是线段上靠近的一个三等分点，是线段上靠近的一个四等分点，，设，．（1）用，表示；（2）设是线段上一点，且使，求的值．【分析】（1）利用已知条件，通过向量的三角形法则与平行四边形法则，转化求解即可．（2）通过向量关系，结合向量共线，转化求解向量的模的关系，推出结果．【解答】解：（1）因为是线段上靠近的一个三等分点，所以．因为是线段上靠近的一个四等分点，所以， 所以．因为，所以，则．又，，所以．（2）因为是线段上一点，所以存在实数，使得，则，因为，所以存在实数，使，即，整理得解得，故．15．（2020春•金凤区校级期末）如图，在正方形中，点是边上中点，点在边上．（1）若点是上靠近的三等分点，设，求的值．（2）若，当时，求的长．【分析】（1）用表示出，得出，的值即可得出的值；（2）设，用表示出，根据计算，从而可得的长． 【解答】解：（1）点是边上中点，点是上靠近的三等分点，，，，，，故．（2）设，则，又，，，故，．[B组]—强基必备1．（2019秋•常州期中）已知点，，倾斜角为的直线与单位圆在第一象限的部分交于点，与轴交于点，与轴交于点．（1）设，，试用表示与；（2）设，试用表示；（3）求的最小值．【分析】（1）由题意知点的坐标为，利用坐标表示，，得出、的表达式；（2）由，利用、、三点共线得出，、、三点共线得出； 联立方程组求得的解析式；（3）由的解析式，利用三角函数的性质求出的最小值．【解答】解：（1）由题意知点为倾斜角为的直线与单位圆在第一象限的交点，所以，；又因为与轴交于点，与轴交于点，由，，且，，所以，；（2）由，由、、三点共线，所以，即，①同理，由、、三点共线，所以，②由①②得，，从而得；（3）由，当时，取得最小值为．