安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

阜阳三中2023～2024学年度高一年级第一学期一调考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：必修第一册第一章～第三章3.2.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】存在量词命题的否定，存在变任意，否定结论即可.【详解】因为命题“，”，所以其否定为：，.故选：A.2.已知，，则的非空子集的个数为（）.A.6B.7C.8D.9【答案】B【解析】【分析】先求出补集，再根据元素个数求子集数.【详解】根据题意可得，则非空子集有个．故选：B．3.下列各组函数相等的是（） A，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】函数相等要求定义域，解析式，值域都相等.【详解】A、B、C选项中的定义域为R，而A选项的定义域为，B、C选项中的定义域为，所以A、B、C选项中两个函数的定义域不一样，不是同一函数，故A、B、C选项都错误；对于D选项，定义域都为，解析式，值域都相同，D正确.故选：D4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】解不等式得到，根据范围的大小关系得到答案.【详解】，，故“”是“”的必要不充分条件.故选：C.5.若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由“，”为假命题，可得“”，，为真命题，可知A，B，D不正确，即可得出答案.【详解】若“，”为假命题，所以“”，，为真命题，所以A，B，D不正确，排除A，B，D． 故选：C．6.已知函数，则函数的解析式是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】利用配凑法求解析式即可.【详解】，且，所以，.故选：B.7.设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（）A.B.CD.【答案】A【解析】【分析】根据函数为偶函数，得到，，再利用时，是增函数求解.【详解】解：因为函数为偶函数，所以，，因为当时，是增函数，又，所以，即，故选：A.8.函数，若对任意，（），都有成立，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】确定函数单调递减，根据单调性得到不等式，解得答案.【详解】因为对任意，（），都有成立，所以是减函数，则，解得.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数值域中的每一个数在定义域中都有数与之对应B.函数的定义域和值域一定是无限集合C.对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同D.表示当时，函数的值，这是一个常量【答案】AD【解析】【分析】结合函数的定义，对各选项逐项分析作答即可.【详解】函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，所给出的对应是否可以确定为y是x的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征，A正确；函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数定义域为，值域为，B错误；当x不同时，函数y的值可能相同，如函数，当和时，y都为1，C错误；表示当时，函数的值是一个常量，D正确.故选：AD10.如果，，那么下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D. 【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式性质可判断AC正确，取特殊值可知B错误；利用作差法可知D正确.【详解】由题知，，所以，故A正确﹔取，，则，，故B不正确﹔因为，，所以，故C正确；因为，故，故D正确，故选：ACD.11.设集合，，且，则正实数a的取值可以为（）A.4B.1C.2D.【答案】BD【解析】【分析】M集合可以看作一条挖去一点的直线，N集合为一条直线，交集为空集，则N的直线经过或M与N的直线平行﹒【详解】∵，∴．将点代入，得，解得(舍去)或．又当时，可变形为，当直线与平行时，有，解得或(舍去)当或时，符合题意.故选：BD12.已知函的定义域为，对任意实数x，y满足：，且，当 时，.则下列选项正确的是（）A.B.C.为奇函数D.为上的减函数【答案】ACD【解析】【分析】取代入计算得到A正确，计算，B错误，变换得到，C正确，根据函数单调性的定义得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：取，则，故，正确；对选项B：，，错误﹔对选项C：，，为奇函数，正确；对选项D：当时，，是上的减函数，正确，故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.集合用列举法表示为______.【答案】##【解析】【分析】解方程，求出.【详解】.故答案为：14.函数的定义域是__________．【答案】【解析】【分析】根据函数解析式有意义，可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】要使函数有意义，则，解得. 因此，函数的定义域为.故答案为：.15.某社团有若干名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项．得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中__________；__________；__________．【答案】①.9②.8③.10【解析】【分析】结合图形和交集的定义可得答案.【详解】由题意得，解得.故答案为：①9；②8；③10.16.若定义在R上的函数，则称为Dirichlet函数.对于Dirichlet函数，下列结论中正确的是______（填序号即可）.①函数为奇函数；②对于任意，都有；③对于任意两数，都有；④对于任意，都有.【答案】②④ 【解析】【分析】根据Dirichlet函数的定义，分为有理数和无理数，以及函数的奇偶性的定义，进行化简、运算，可判定①不正确，②正确；④正确，令，，分别求得和的值，可判定③不正确.【详解】对于①中，若是有理数，则是有理数，于是；若是无理数，则是无理数，于是，所以函数为偶函数，所以①不正确﹔对于②中，若是有理数，则，可得；若是无理数，则，可得，因此对于任意，都有，所以②正确；对于③中，取，，可得，，此时，所以③错误；对于④中，若是无理数，则是无理数，可得；若有理数，则是有理数，可得，所以对于任意，都有，所以④正确.故答案：②④.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知全集，，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据补集交集的概念运算即可； （2）先判断集合间的包含关系，再列出不等式即可.【小问1详解】，若，，所以；【小问2详解】因为“”是“”的充分条件，所以，所以即实数m的取值范围是.18.（1）已知，求的最小值﹔（2）已知，，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）变换，再利用均值不等式计算得到答案.（2）变换，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1），当且仅当，即时等号成立（2），当且仅当，即，时等号成立.19.已知函数，且.（1）证明：在区间上单调递减； （2）若对恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）代入数据计算，任取，计算得到证明.（2）变换得到对恒成立，得到，解得答案.【小问1详解】，解得，所以，任取，则，又，所以，，所以，即，所以在区间上单调递减；【小问2详解】对恒成立，即对恒成立，，故二次函数必与x轴存在两个交点，，只需要满足即可，解出，因此实数t的取值范围为.20.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）求的解析式；（2）当时，求的最小值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由定义在上的奇函数求出，再根据奇函数的性质，当时，，，即可求出解析式；（2）画出函数图像，根据不同的分类讨论的范围即可．【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，则当时，；当时，，，所以．【小问2详解】函数的图像如图所示：当，即时，；当，即时，；当，即时，；当，即时，；综上， 21.如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，设米（）．（1）要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围；（2）当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积．【答案】（1）（2）当DG的长度为40米时，矩形DEFG的面积最小为2400平方米【解析】【分析】（1）根据相似关系列出等式即可求解；（2）根据均值不等式即可求解.【小问1详解】因为，，所以，又，所以，即，所以，所以，解得或，即x的取值范围是；【小问2详解】由（1）知，当且仅当时等号成立．故当DG的长度为40米时，矩形DEFG的．积最小为2400平方米．22.已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，，且.（1）求的值，并证明：当时，；（2）判断的单调性，并证明； （3）若，求不等式的解集.【答案】（1），证明见解析（2）在上单调递减，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）令，即可求出；根据题意，当时，，所以，再结合即可得到，进而得证；（2）利用单调性定义结合题意证明即可；（3）由，结合题意可得，再借助函数单调性解不等式即可.【小问1详解】令，则，又，所以.证明：当时，，所以，又，所以，即.【小问2详解】在上单调递减.证明如下：设，则，又，所以，所以，又当时，，当时，，，所以，即，所以在上单调递减.【小问3详解】 因为，所以，所以，即，又在上单调递减，所以，