2014-2023高考数学真题分项汇编专题20 三角函数及解三角形解答题（理科）（原卷版）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—三角函数解答题目录题型一：三角恒等变换1题型二：三角函数与向量综合2题型三：三角函数的图像与性质3题型四：正余弦定理的应用6题型五：与三角形周长、面积有关问题10题型六：三角函数的建模应用12题型七：结构不良型试题14题型一：三角恒等变换1．(2023年天津卷·第16题)在中，角所对边分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第17题)已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．3．(2018年高考数学江苏卷·第16题)(本小题满分14分)已知为锐角，，．(1)求的值；(2)求的值．4．(2018年高考数学浙江卷·第18题)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．(1)求的值;(2)若角满足，求值． 5．(2014高考数学广东理科·第16题)已知函数，且，(1)求的值；(2)若，，求．6．(2014高考数学江苏·第15题)已知，．(1)求的值；(2)求的值．题型二：三角函数与向量综合1．(2014高考数学山东理科·第16题)已知向量，，设函数，且的图象过点和点．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)将的图象向左平移()个单位后得到函数的图象．若图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调递增区间．2．(2017年高考数学江苏文理科·第16题)已知向量(1)若,求x的值;(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值．3．(2014高考数学辽宁理科·第17题)(本小题满分12分)在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：(1)a和c的值；(2)的值．4．(2015高考数学陕西理科·第17题)(本小题满分12分)的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，求的面积．5．(2015高考数学广东理科·第16题)(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知向量，，．(1)若，求的值; (2)若与的夹角为，求的值．题型三：三角函数的图像与性质1．(2014高考数学江西理科·第17题)已知函数,其中(1)当时,求在区间上的最大值与最小值;(2)若,求的值．2．(2019·浙江·第18题)设函数，．(Ⅰ)已知，函数是偶函数，求的值；(Ⅱ)求函数的值域．3．(2018年高考数学上海·第18题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)设常数，函数．(1)若为偶函数，求的值；(2)若，求方程在区间上的解．4．(2014高考数学重庆理科·第17题)已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为．(I)求和的值；(II)若，求的值．5．(2014高考数学天津理科·第15题)已知函数,．(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在闭区间上的最大值和最小值．6．(2014高考数学四川理科·第16题)已知函数(Ⅰ)求的单调递增区间； (Ⅱ)若是第二象限角，求的值7．(2014高考数学福建理科·第16题)(本小题满分13分)已知函数(1)若，且，求的值；(2)求函数的最小正周期及单调递增区间．8．(2015高考数学重庆理科·第18题)(本小题满分13分，(1)小问7分，(2)小问6分)已知函数(1)求的最小正周期和最大值；(2)讨论在上的单调性．9．(2015高考数学天津理科·第15题)(本小题满分13分)已知函数，(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．10．(2015高考数学湖北理科·第17题)(本小题满分11分)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0050(Ⅰ)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．11．(2015高考数学福建理科·第19题)已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度．(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解．(1)求实数m的取值范围；(2)证明：12．(2015高考数学北京理科·第15题)(本小题13分)已知函数．(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最小值．13．(2017年高考数学浙江文理科·第18题)已知函数．(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间．14．(2017年高考数学山东理科·第16题)设函数,其中．已知．(Ⅰ)求;(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的最小值．15．(2016高考数学天津理科·第15题)已知函数．(Ⅰ)求的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论在区间上的单调性．16．(2021年高考浙江卷·第18题)设函数．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在上的最大值．17．(2014高考数学江苏·第26题)已知函数＝()，记为的导数，n∈N*．(1)求的值；(2)证明：对任意n∈N*，等式都成立． 题型四：正余弦定理的应用1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第17题)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．2．(2021年新高考Ⅰ卷·第19题)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．(1)证明：；(2)若，求．3．(2020年浙江省高考数学试卷·第18题)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(I)求角B；(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围．4．(2022新高考全国I卷·第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．5．(2020天津高考·第16题)在中，角所对的边分别为．已知．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)求的值；(Ⅲ)求的值．6．(2020江苏高考·第16题)在中，角的对边分别为，已知． (1)求的值；(2)在边上取一点，使得，求的值．7．(2019·全国Ⅰ·理·第17题)的内角的对边分别为．设．(1)求；(2)若，求．8．(2019·江苏·第15题)在中，角的对边分别为．(1)若，求的值；(2)若，求的值．9．(2019·北京·理·第15题)在△ABC中，，，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求sin(B–C)的值．10．(2018年高考数学天津(理)·第15题)在中，内角所对的边分别为，已知．(1)求角的大小；(2)设，求和的值．11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第17题)(12分)在平面四边形中，，，,．(1)求;(2)若,求．12．(2018年高考数学北京(理)·第15题)(本小题13分)在中，，，．(Ⅰ)求；(Ⅱ)求边上的高．13．(2014高考数学陕西理科·第18题)的内角所对的边分别为．⑴若成等差数列，证明：； ⑵若成等比数列，求的最小值．14．(2014高考数学湖南理科·第18题)如图右,在平面四边形中,．(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若求的长．15．(2014高考数学大纲理科·第17题)DABC的内角A、B、C的对边分别为，已知，，求角．16．(2014高考数学北京理科·第15题)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=(1)求sin∠BAD(2)求BD,AC的长17．(2014高考数学安徽理科·第16题)设的内角所对边的长分别是，且．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值．18．(2015高考数学四川理科·第19题)如图，为平面四边形的四个内角． (1)证明：(2)若求的值．19．(2015高考数学湖南理科·第19题)设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角．(1)证明：；(2)求的取值范围．20．(2015高考数学江苏文理·第15题)在中，已知．(1)求的长；(2)求的值．21．(2015高考数学安徽理科·第16题)(本小题满分12分)在中，,点D在边上，，求的长．22．(2017年高考数学天津理科·第15题)在中,内角所对的边分别为．已知,,．(1)求和的值;(2)求的值．23．(2016高考数学四川理科·第17题)在中，角所对的边分别是，且．(1)证明：；(2)若，求．24．(2016高考数学山东理科·第16题)(本小题满分12分)在中，角，，的对边分别为，，，已知(Ⅰ)证明：;(Ⅱ)求的最小值．25．(2016高考数学江苏文理科·第15题)在中，，，．(1)求的长； (2)求的值．26．(2016高考数学北京理科·第15题)(本小题13分)在中，．(I)求的大小(II)求的最大值．27．(2019·天津·理·第15题)在中，内角所对的边分别为．已知，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值．题型五：与三角形周长、面积有关问题1．(2023年全国乙卷理科·第18题)在中，已知，，．(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积．2．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第18题)在中，角、、所对的边长分别为、、，，．．(1)若，求的面积；(2)是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．3．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第17题)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3，求周长的最大值．4．(2022高考北京卷·第16题)在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．5．(2022年浙江省高考数学试题·第18题)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．6．(2022新高考全国II卷·第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求面积；(2)若，求b．7．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第17题)记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．8．(2014高考数学浙江理科·第18题)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知，，(I)求角C的大小；(II)若求的面积。9．(2015高考数学浙江理科·第16题)(本题满分14分)在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，=．(1)求的值；(2)若的面积为，求的值．10．(2015高考数学新课标2理科·第17题)(本题满分12分)中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，，求和的长．11．(2015高考数学山东理科·第16题)设．(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值．12．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第17题)的内角的对边分别为,已知的面积为．(1)求;(2)若,,求的周长．13．(2017年高考数学上海(文理科)·第18题)(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)已知函数,． (1)求的单调递增区间;(2)设为锐角三角形,角所对边,角所对边,若,求的面积．14．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)(12分)的内角的对边分别为．已知，，．(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积．15．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题)(12分)的内角的对边分别为,已知．(1)求(2)若,面积为2,求16．(2017年高考数学北京理科·第15题)在中,,．(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求的面积．17．(2016高考数学浙江理科·第16题)(本题满分14分)在中，内角所对的边分别为．已知．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)若的面积，求角的大小．18．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第17题)(本题满分为12分)的内角的对边分别为，已知(I)求；(II)若，的面积为，求的周长．19．(2019·全国Ⅲ·理·第18题)的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．题型六：三角函数的建模应用1．(2014高考数学湖北理科·第17题)某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系； ，．(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差；(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？2．(2019·上海·第19题)如图，为海岸线，为线段，弧BC为四分之一圆弧，，，，.(1)求弧BC长度；(2)若，求到海岸线的最短距离.(精确到)3．(2014高考数学上海理科·第21题)如图，某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米．设点、在同一水平面上，从和看的仰角分别为和．(1)设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少(结果精确到0．01米)？(2)施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得，，求的长(结果精确到0．01米)．4．(2019·江苏·第18题)如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥(是圆的直径)．规划在公路上选两个点，并修建两段直线型道路．规划要求:线段上的所有点到点的距离均不小于圆的半径．已知点到直线的距离分别为和(为垂足)，测得，，(单位:百米)．(1)若道路与桥垂直，求道路的长；(2)在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由；(3)对规划要求下，若道路和的长度均为(单位：百米).求当最小时，两点间的距离．5．(2018年高考数学江苏卷·第17题)(本小题满分14分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧(P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．题型七：结构不良型试题1．(2023年北京卷·第17题)设函数．(1)若，求的值．(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：；条件②：；条件③：区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．2．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．4．(2021高考北京·第16题)在中，，．(1)求角B的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：周长为；条件③：的面积为；5．(2020北京高考·第17题)在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：(Ⅰ)的值：(Ⅱ)和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．