十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（理科）专题20三角函数及解三角形解答题（理科）（Word版附解析）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编&mdash;三角函数解答题目录题型一：三角恒等变换1题型二：三角函数与向量综合4题型三：三角函数的图像与性质8题型四：正余弦定理的应用20题型五：与三角形周长、面积有关问题38题型六：三角函数的建模应用50题型七：结构不良型试题56题型一：三角恒等变换1．(2023年天津卷&middot;第16题)在中，角所对边分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．【答案】(1)(2)(3)解析：(1)由正弦定理可得，，即，解得：；(2)由余弦定理可得，，即，解得：或(舍去)．(3)由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都为锐角，因此，，,故．2．(2023年新课标全国Ⅰ卷&middot;第17题)已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．【答案】(1)(2)6解析：(1)，，即，又，，，，即，所以，．(2)由(1)知，，由，由正弦定理，，可得，，．3．(2018年高考数学江苏卷&middot;第16题)(本小题满分14分)已知为锐角，，．,(1)求的值；(2)求的值．【答案】解析：(1)因为，，所以．因为，，因此．(2)因为为锐角，所以．又因为，所以，因此，．因为，所以，因此，．4．(2018年高考数学浙江卷&middot;第18题)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．(1)求的值;(2)若角满足，求值．【答案】(1)；(2)或．【解析】(1)由角终边过点得所以．(2)由角终边过点得，由得．由得当时，；当时，所以或．5．(2014高考数学广东理科&middot;第16题)已知函数，且，(1)求的值；,(2)若，，求．【答案】解：(1)依题意有，所以(2)由(1)得，，6．(2014高考数学江苏&middot;第15题)已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)解析：(1)因为&alpha;&isin;，sin&alpha;＝，所以cos&alpha;＝．故sin＝sincos&alpha;＋cossin&alpha;＝．(2)由(1)知sin2&alpha;＝2sin&alpha;cos&alpha;＝，cos2&alpha;＝1－2sin2&alpha;＝1－，所以cos＝．题型二：三角函数与向量综合1．(2014高考数学山东理科&middot;第16题)已知向量，，设函数，且的图象过点和点．(Ⅰ)求的值；,(Ⅱ)将的图象向左平移()个单位后得到函数的图象．若图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调递增区间．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)解析：(Ⅰ)已知，过点解得．(Ⅱ)左移后得到设的对称轴为，解得，解得的单调增区间为2．(2017年高考数学江苏文理科&middot;第16题)已知向量(1)若,求x的值;(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值．【答案】(1)(2)时,取得最大值,为3;时,取得最小值,为．解析:解:(1)因为,,,所以．若,则,与矛盾,故．于是．又,所以．,(2)．因为,所以,从而．于是,当,即时,取到最大值3;当,即时,取到最小值．3．(2014高考数学辽宁理科&middot;第17题)(本小题满分12分)在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：(1)a和c的值；(2)的值．【答案】(1)a=3，c=2；(2)解析：(1)，，，即①，由余弦定理可得，化简整理得②，①②联立，解得，a=3，c=2；(2)，因为a=3，，c=2，由余弦定理可得，，．解析2：(2)在△ABC中，，根据正弦定理可得，，为锐角，，．4．(2015高考数学陕西理科&middot;第17题)(本小题满分12分)的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．,(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，求的面积．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．分析：(Ⅰ)先利用可得，再利用正弦定理可得的值，进而可得的值；(Ⅱ)由余弦定理可得的值，进而利用三角形的面积公式可得的面积．解析：(Ⅰ)因为，所以，由正弦定理，得又，从而，由于，所以(Ⅱ)解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以．故的面积为．解法二：由正弦定理，得，从而，又由，知，所以．故所以的面积为．5．(2015高考数学广东理科&middot;第16题)(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知向量，，．(1)若，求的值;(2)若与的夹角为，求的值．【答案】解析：(1)，，且，(2),题型三：三角函数的图像与性质1．(2014高考数学江西理科&middot;第17题)已知函数,其中(1)当时,求在区间上的最大值与最小值;(2)若,求的值．【答案】(1)最大值为最小值为-1．(2)分析:(1)求三角函数最值,首先将其化为基本三角函数形式:当时,,再结合基本三角函数性质求最值:因为,从而,故在上的最大值为最小值为-1．(2)两个独立条件求两个未知数,联立方程组求解即可．由得,又知解得解析:解(1)当时,因为,从而故在上的最大值为最小值为-1．(2)由得,又知解得2．(2019&middot;浙江&middot;第18题)设函数，．,(Ⅰ)已知，函数是偶函数，求的值；(Ⅱ)求函数的值域．【答案】【意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。【解析】(Ⅰ)解法一：因为是偶函数，所以，对任意实数都有，即，故，所以，又，因此，或．解法二：根据诱导公式，，，因为是偶函数，，所以(Ⅱ)．因此，函数的值域是．3．(2018年高考数学上海&middot;第18题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)设常数，函数．(1)若为偶函数，求的值；(2)若，求方程在区间上的解．【答案】(1)；(2)．解析：(1)显然定义域为．由题意得，即．化简得：，对于任意成立，则．(2)由条件得，解得．所以，化简得．因为，所以．所以，，，．解得，，，．,另解：或．解得或．因为，所以对赋值．当时，，；当时，，．4．(2014高考数学重庆理科&middot;第17题)已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为．(I)求和的值；(II)若，求的值．【答案】(I)(2)解析：(Ⅰ)由题意最小正周期为，从而。又图象关于对称，故，而(Ⅱ)由(Ⅰ)得。所以，，故，于是5．(2014高考数学天津理科&middot;第15题)已知函数,．(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在闭区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ),．,解析:(Ⅰ)由已知,有所以的最小正周期为．(Ⅱ)因为在区间上是减函数,在区间上是增函数,而,,,所以,函数在闭区间上的最大值为,最小值为．6．(2014高考数学四川理科&middot;第16题)已知函数(Ⅰ)求的单调递增区间；(Ⅱ)若是第二象限角，求的值【答案】解析：(Ⅰ)因为函数的单调递增区间为，．由，，得，．所以，函数的单调递增区间为，(Ⅱ)由已知，有，　　　所以　　　即当时，由是第二象限角，知，．此时，．当时，有．由是第二象限角，知，此时．,综上所述，或．7．(2014高考数学福建理科&middot;第16题)(本小题满分13分)已知函数(1)若，且，求的值；(2)求函数的最小正周期及单调递增区间．【答案】解析：解法一：(I)因为，所以．所以，(II)因为，所以周期，由，得，所以的单调递增区间为，解法二：，(I)因为所以，(II)周期，由，得，所以的单调递增区间为．8．(2015高考数学重庆理科&middot;第18题)(本小题满分13分，(1)小问7分，(2)小问6分)已知函数(1)求的最小正周期和最大值；(2)讨论在上的单调性．【答案】(1)最小正周期为，最大值为；,(2)在上单调递增；在上单调递减．分析：三角函数问题一般方法是把函数转化为一个角，一个函数，一次式，即为形式，然后根据正弦函数的性质求得结论，本题利用诱导公式、倍角公式、两角差的正弦公式可把函数转化为，这样根据正弦函数性质可得(1)周期为，最大值为；(2)由已知条件得，而正弦函数在和上分别是增函数和减函数，因此可得单调区间．解析：(1),因此的最小正周期为，最大值为．(2)当时，有，从而当时,即时，单调递增，当时,即时，单调递减，综上可知，在上单调递增；在上单调递减．9．(2015高考数学天津理科&middot;第15题)(本小题满分13分)已知函数，(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ),．解析：(Ⅰ)由已知，有．所以的最小正周期．(Ⅱ)因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，，所以在区间上的最大值为，最小值为,．10．(2015高考数学湖北理科&middot;第17题)(本小题满分11分)某同学用&ldquo;五点法&rdquo;画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0050(Ⅰ)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．【答案】解析：(Ⅰ)根据表中已知数据，解得．数据补全如下表：00500且函数表达式为．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，得．因为的对称中心为，．令，解得，．由于函数的图象关于点成中心对称，令，解得，．由可知，当时，取得最小值．11．(2015高考数学福建理科&middot;第19题)已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度．(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解．(1)求实数m的取值范围；(2)证明：【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)(1)；(2)详见解析．解析：解法一：(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到,的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为(2)1)(其中)依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是．2)因为是方程在区间内有两个不同的解，所以，．当时，当时,所以解法二：(1)同解法一．(2)1)同解法一．2)因为是方程在区间内有两个不同的解，所以，．当时，当时,所以于是12．(2015高考数学北京理科&middot;第15题)(本小题13分)已知函数．(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最小值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．解析：解析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为形式，再利用周期公式求出周期，第二步由于则可求出，,借助正弦函数图象找出在这个范围内当，即时，取得最小值为：．解析：(Ⅰ)的最小正周期为；(Ⅱ)，当时，取得最小值为：13．(2017年高考数学浙江文理科&middot;第18题)已知函数．(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间．【答案】(1)2;(2)【解析】(1)所以(2)设的最小正周期为,则;的单调减区间为,所以由,得,得,所以的单调递增区间为【考点】本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力．14．(2017年高考数学山东理科&middot;第16题)设函数,其中．已知．(Ⅰ)求;(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的最小值．【答案】(1);(2)时,取得最小值．【分析】(1)利用两角和与差的三角函数化简到,由题设知及可得;(2)由(1)得从而,根据得到,进一步求最小值．【解析】(1)由又,所以(Ⅱ)由(Ⅰ)得所以．因为,所以,当,即时,取得最小值．15．(2016高考数学天津理科&middot;第15题)已知函数．(Ⅰ)求的定义域与最小正周期；,(Ⅱ)讨论在区间上的单调性．【答案】(Ⅰ)定义域,(Ⅱ)函数在上单调增，在上单调减解析：(Ⅰ)．&there4;的定义域,(Ⅱ)，，设，∵在时单调递减，在时单调递增由解得，由解得&there4;函数在上单调增，在上单调减16．(2021年高考浙江卷&middot;第18题)设函数．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在上的最大值．【答案】(1)；(2)．解析:(1)由辅助角公式得，,则，所以该函数的最小正周期;(2)由题意，，由可得，所以当即时，函数取最大值．17．(2014高考数学江苏&middot;第26题)已知函数＝()，记为的导数，n&isin;N*．(1)求的值；(2)证明：对任意n&isin;N*，等式都成立．【答案】解析：(1)解：由已知，故，所以，即＋．(2)证明一(官方解法)：由已知得：，等式两边分别对求导：，即，类似可得：，，．下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立．(ⅰ)当时，由上可知等式成立；(ⅱ)假设当时等式成立，即．因为，,，所以．因此当时，等式成立．综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式对所有的都成立．令，可得．所以．解法二：令所以，又故所以，即，命题得证．题型四：正余弦定理的应用1．(2023年新课标全国Ⅱ卷&middot;第17题)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2)．解析：(1)方法1：在中，因为为中点，，，则，解得，,在中，，由余弦定理得，即，解得，则，，所以．方法2：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，则，，过作于，于是，，所以．(2)方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，,又，解得，而，于是，所以．2．(2021年新高考Ⅰ卷&middot;第19题)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．(1)证明：；(2)若，求．【答案】解析：(1)由题设，，由正弦定理知：，即，&there4;，又，&there4;，得证．(2)由题意知：，&there4;，同理，∵，&there4;，整理得，又，&there4;，整理得，解得或，由余弦定理知：，,当时，不合题意；当时，；综上，．3．(2020年浙江省高考数学试卷&middot;第18题)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(I)求角B；(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围．【答案】(I)；(II)解析：(I)由结合正弦定理可得：△ABC为锐角三角形，故．(II)结合(1)的结论有：．由可得：，，则，．即的取值范围是4．(2022新高考全国I卷&middot;第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；,(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．解析：(1)因为，即，而，所以；(2)由(1)知，，所以，而，所以，即有．所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．5．(2020天津高考&middot;第16题)在中，角所对的边分别为．已知．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)求的值；(Ⅲ)求的值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)．【解析】(Ⅰ)在中，由及余弦定理得，又因为，所以；,(Ⅱ)在中，由，及正弦定理，可得；(Ⅲ)由知角为锐角，由，可得，进而，所以．6．(2020江苏高考&middot;第16题)在中，角的对边分别为，已知．(1)求的值；(2)在边上取一点，使得，求的值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由余弦定理得，所以．由正弦定理得．(2)由于，，所以．由于，所以，所以所以．由于，所以．所以．,【点评】本题主要考查解三角形。7．(2019&middot;全国Ⅰ&middot;理&middot;第17题)的内角的对边分别为．设．(1)求；(2)若，求．【答案】解析：(1)由已知得，故由正弦定理得．由余弦定理得．因为，所以．(2)由(1)知，由题设及正弦定理得，即，可得．由于，所以，故．8．(2019&middot;江苏&middot;第15题)在中，角的对边分别为．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】见解析【解析】(1)因为由余弦定理，得，即.所以.(2)因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.,因为，所以，从而.因此.9．(2019&middot;北京&middot;理&middot;第15题)在△ABC中，，，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求sin(B&ndash;C)的值．【答案】(Ⅰ)由题可知，，，由余弦定理得：，解得：．(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：，结合正弦定理可得：，很明显角C为锐角，故，故．10．(2018年高考数学天津(理)&middot;第15题)在中，内角所对的边分别为，已知．(1)求角的大小；(2)设，求和的值．【答案】(1)解：在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得．(2)解：在中，由余弦定理及，，有，故．,由，可得．因为，故．因此，所以，11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)&middot;第17题)(12分)在平面四边形中，，，,．(1)求;(2)若,求．【答案】解析：(1)在中，由正弦定理得．由题设知，，所以．由题设知，，所以．(2)由题设及(1)知，．在中，由余弦定理得．所以．12．(2018年高考数学北京(理)&middot;第15题)(本小题13分)在中，，，．(Ⅰ)求；(Ⅱ)求边上的高．【答案】(共13分)解：(Ⅰ)在中，由正弦定理得,(Ⅱ)在中，如图所示，在中，，，边上的高为．13．(2014高考数学陕西理科&middot;第18题)的内角所对的边分别为．⑴若成等差数列，证明：；⑵若成等比数列，求的最小值．【答案】(1)详见解析;(2)．解析:⑴因为成等差数列，且，所以，由正弦定理得，因为，所以；⑵由成等比数列有，由余弦定理有，当且仅当时等号成立，(1)详见解析;(2)．所以的最小值为。14．(2014高考数学湖南理科&middot;第18题)如图右,在平面四边形中,．(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若求的长．,【答案】(1);(2)解析:解:(1)由关于的余弦定理可得,所以．(2)因为为四边形内角,所以且,则由正余弦的关系可得且,再有正弦的和差角公式可得,再由的正弦定理可得．15．(2014高考数学大纲理科&middot;第17题)DABC的内角A、B、C的对边分别为，已知，，求角．【答案】解析：根据正弦定理，由因为，所以所以因为，所以,由三角形的内角和可得．16．(2014高考数学北京理科&middot;第15题)如图,在△ABC中,&ang;B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos&ang;ADC=(1)求sin&ang;BAD(2)求BD,AC的长【答案】解析：(Ⅰ)在中,因为,所以．所以(Ⅱ)在中,由正弦定理得：在中,由余弦定理得所以17．(2014高考数学安徽理科&middot;第16题)设的内角所对边的长分别是，且．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值．【答案】解：(Ⅰ)因为，所以．,由正、余弦定理得．因为，，所以，．(Ⅱ)由余弦定理得．由于，所以．故．18．(2015高考数学四川理科&middot;第19题)如图，为平面四边形的四个内角．(1)证明：(2)若求的值．【答案】(1)详见解析；(2)．解析：(1)．(2)由，得．由(1)，有连结BD，在中，有，在中，有，所以，则，于是．,连结AC，同理可得，于是．所以．考点：本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想．19．(2015高考数学湖南理科&middot;第19题)设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角．(1)证明：；(2)求的取值范围．【答案】(1)详见解析；(2)．分析：(1)利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为，再结合条件从而得证；(2)利用(1)中的结论，以及三角恒等变形，将转化为只与有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解．解析：(1)由及正弦定理，得，&there4;，即，又为钝角，因此，故，即；(2)由(1)知，，&there4;，于是，∵，&there4;，因此，由此可知的取值范围是．20．(2015高考数学江苏文理&middot;第15题)在中，已知．(1)求的长；(2)求的值．【答案】(1)(2)分析：(1)已知两边及夹角求第三边，应用余弦定理，可得的长，(2)利用(1)的结果，则由余弦定理先求出角C的余弦值，再根据平方关系及三角形角的范围求出角C的正弦值，最后利用二倍角公式求出的值．解析：(1)由余弦定理知，，所以．,(2)由正弦定理知，，所以．因为，所以为锐角，则．因此．21．(2015高考数学安徽理科&middot;第16题)(本小题满分12分)在中，,点D在边上，，求的长．【答案】分析：根据题意，设出的内角所对边的长分别是，由余弦定理求出的长度，再由正弦定理求出角的大小，在中．利用正弦定理即可求出的长度．解析：如图，设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得，所以．又由正弦定理得．由题设知，所以．在中，由正弦定理得．22．(2017年高考数学天津理科&middot;第15题)在中,内角所对的边分别为．已知,,．(1)求和的值;(2)求的值．【答案】(1)(2)【解析】(1)解:在中,因为,故由,可得．由已知及余弦定理,有,所以．由正弦定理,得．,所以,的值为,的值为．(2)解:由(Ⅰ)及,得,所以,．故【考点】(1)正余弦定理的应用(2)二倍角和和差角公式的运用．【点评】在运用余弦定理的时候注意选择公式,一般来说由知道的角来选择公式．23．(2016高考数学四川理科&middot;第17题)在中，角所对的边分别是，且．(1)证明：；(2)若，求．【答案】【官方解答】根据正弦定理，可设则，代入则有在三角形中，则所以(2)由余弦定理，所以由(1)所以，所以．【民间解析】(1)由正弦定理知(2)由余弦定理，所以,由(1)．24．(2016高考数学山东理科&middot;第16题)(本小题满分12分)在中，角，，的对边分别为，，，已知(Ⅰ)证明：;(Ⅱ)求的最小值．【答案】由题意知，化简得，即．因为,所以．从而．由正弦定理得．由知,所以,当且仅当时，等号成立．故的最小值为．25．(2016高考数学江苏文理科&middot;第15题)在中，，，．(1)求的长；(2)求的值．【答案】(1)；(2)．【官方解答】(1)因为，，所以由正弦定理知，所以．(2)在中，，所以，于是，又，，故．,因为，所以．因此，．民间解答：(1)，为三角形的内角，即：；(2)，又为三角形的内角．26．(2016高考数学北京理科&middot;第15题)(本小题13分)在中，．(I)求的大小(II)求的最大值．【答案】(1)；(2)最大值为1．【官方解答】(Ⅰ)由余弦定理及题设得．又因为，所以．(Ⅱ)由(Ⅰ)知．,因为，所以当时，取得最大值．【民间解答】⑴∵&there4;，&there4;&there4;,⑵∵，&there4;&there4;∵，&there4;，&there4;，&there4;最大值为1．上式最大值为127．(2019&middot;天津&middot;理&middot;第15题)在中，内角所对的边分别为．已知，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值．【答案】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力，满分13分．(Ⅰ)解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因为，得到，．由余弦定理可得．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可得，从而，，故．题型五：与三角形周长、面积有关问题1．(2023年全国乙卷理科&middot;第18题)在中，已知，，．(1)求；,(2)若D为BC上一点，且，求的面积．【答案】(1)；(2)．解析：(1)由余弦定理可得：，则，，．(2)由三角形面积公式可得，则．2．(2021年新高考全国Ⅱ卷&middot;第18题)在中，角、、所对的边长分别为、、，，．．(1)若，求的面积；(2)是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】解析:(1)因为，则，则，故，，，所以，锐角，则，因此，；(2)显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故．3．(2020年高考课标Ⅱ卷理科&middot;第17题)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3，求周长的最大值．,【答案】(1)；(2)．解析：(1)由正弦定理可得：，，，(2)由余弦定理得：，即．(当且仅当时取等号)，，解得：(当且仅当时取等号)，周长，周长的最大值为．【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值．4．(2022高考北京卷&middot;第16题)在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．【答案】解析:因为，则，由已知可得，可得，因此，．解：由三角形的面积公式可得，解得．由余弦定理可得，，所以，的周长为．5．(2022年浙江省高考数学试题&middot;第18题)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．,(1)求的值；(2)若，求的面积．【答案】解析:(1)由于，，则．因为，由正弦定理知，则．(2)因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积．6．(2022新高考全国II卷&middot;第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求面积；(2)若，求b．【答案】(1)(2)解析：(1)由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；,(2)由正弦定理得：，则，则，．7．(2022年高考全国乙卷数学(理)&middot;第17题)记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．【答案】(1)见解析(2)14解析：【小问1详解】证明：因为，所以，所以，即，所以；【小问2详解】解：因为，由(1)得，由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为．8．(2014高考数学浙江理科&middot;第18题)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知，，,(I)求角C的大小；(II)若求的面积。【答案】解析：(I)由题意得，，即，，由得，，又，得，即，所以；(II)由，，得，由，得，从而，故，所以的面积为．9．(2015高考数学浙江理科&middot;第16题)(本题满分14分)在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，=．(1)求的值；(2)若的面积为，求的值．【答案】(1)；(2)．解析：(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等变形即可求解；(2)根据条件首先求得的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解．解析：(1)由及正弦定理得，&there4;，又由，即，得，解得；(2)由，得，，又∵，&there4;，由正弦定理得，又∵，，&there4;，故．10．(2015高考数学新课标2理科&middot;第17题)(本题满分12分)中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．(Ⅰ)求；,(Ⅱ)若，，求和的长．【答案】解析：(Ⅰ)，，因为，，所以．由正弦定理可得．(Ⅱ)因为，所以．在和中，由余弦定理得，．．由(Ⅰ)知，所以．11．(2015高考数学山东理科&middot;第16题)设．(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值．【答案】(Ⅰ)单调递增区间是；单调递减区间是(Ⅱ)面积的最大值为分析：(Ⅰ)首先利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；(Ⅱ)首先由结合(Ⅰ)的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值．解析：(Ⅰ)由题意知由可得由可得所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是(Ⅱ)由得由题意知为锐角，所以由余弦定理：可得：,即：当且仅当时等号成立．因此所以面积的最大值为12．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科&middot;第17题)的内角的对边分别为,已知的面积为．(1)求;(2)若,,求的周长．【答案】(1);(2)的周长为．【分析】(1)由三角形面积公式建立等式,再利用正弦定理将边化成角,从而得出的值;(2)由和,计算出,从而求出角,根据题设和余弦定理可以求出和的值,从而可求出的周长．【解析】(1)由题设得,即．由正弦定理得．故．(2)由题设及(1)得,即．所以,故．由题设得,即．由余弦定理得,即,得．故的周长为．13．(2017年高考数学上海(文理科)&middot;第18题)(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)已知函数,．(1)求的单调递增区间;(2)设为锐角三角形,角所对边,角所对边,若,求的面积．【答案】(1),,单调递增区间为;(2),&there4;或,,根据锐角三角形,,&there4;,．14．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科&middot;第17题)(12分)的内角的对边分别为．已知，，．(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积．【答案】(1);(2)【解析】(1)由可得,因为,故．由余弦定理可知:即整理可得,解得(舍去)或．(2)法一:设,则在中,由勾股定理可得在中,有由余弦定理可得即即所以,解得所以．法二:依题意易知又因为,所以所以．法三:∵,由余弦定理．∵,即为直角三角形,则,得．,由勾股定理．又,则,．15．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科&middot;第17题)(12分)的内角的对边分别为,已知．(1)求(2)若,面积为2,求【答案】(1)；(2)．【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．【试题分析】在第(Ⅰ)中，利用三角形内角和定理可知，将转化为角的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简，结合求出；②利用二倍角公式，化简，两边约去，求得，进而求得．在第(Ⅱ)中，利用(Ⅰ)中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出．(Ⅰ)【基本解法1】由题设及，故上式两边平方，整理得解得【基本解法2】由题设及，所以，又，所以，,(Ⅱ)由，故又由余弦定理及得所以b=216．(2017年高考数学北京理科&middot;第15题)在中,,．(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求的面积．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)．【解析】(Ⅰ)根据正弦定理求的值;(Ⅱ)根据条件可知根据(Ⅰ)的结果求,再利用求解,最后利用三角形的面积．解:(Ⅰ)在中,因为,所以有正弦定理得．(Ⅱ)因为,所以,由余弦定理得,解得或(舍)所以的面积．17．(2016高考数学浙江理科&middot;第16题)(本题满分14分)在中，内角所对的边分别为．已知．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)若的面积，求角的大小．【答案】【命题意图】本题主要考查三角恒等变换、三角形内角和定理及正弦定理的应用等基础知识，考查学生的运算求解能力．解析：(Ⅰ)由正弦定理得，故,，于是．又，故，所以或，因此(舍去)或，所以．(Ⅱ)由得，故有，因为，得．又，，所以．当时，；当时，．综上，或．18．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科&middot;第17题)(本题满分为12分)的内角的对边分别为，已知(I)求；(II)若，的面积为，求的周长．【答案】(I)；(II)【官方解答】(I)由已知及正弦定理得：即故&there4;可得&there4;(II)由已知得，又所以由已知及余定理得：，，从而&there4;周长为．【民间解答】(I)由正弦定理得：∵，&there4;&there4;，∵&there4;(II)由余弦定理得：，，,&there4;&there4;，&there4;周长为19．(2019&middot;全国Ⅲ&middot;理&middot;第18题)的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【答案】(1);(2)．【官方解析】(1)由题设及正弦定理得，因为，所以．由，可得，故．因为，故，因此．(2)由题设及(1)知的面积．由正弦定理得．由于为锐角三角形，故，．由(1)知，所以，故，从而．因此面积的取值范围是．【点评】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用(此题也可以用余弦定理求解)，最后考查是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题．题型六：三角函数的建模应用1．(2014高考数学湖北理科&middot;第17题)某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系；,，．(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差；(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？【答案】(1)详见解析；(2)详见解析．解析：(1)因为，又，所以，，当时，；当时，；于是在上取得最大值12，取得最小值8．(2)依题意，当时实验室需要降温．由(1)得，所以，即，又，因此，即，故在10时至18时实验室需要降温．2．(2019&middot;上海&middot;第19题)如图，为海岸线，为线段，弧BC为四分之一圆弧，，，，.(1)求弧BC长度；(2)若，求到海岸线的最短距离.(精确到)【答案】(1)km；(2)35.752km【解析】(1)依题意：，弧BC所在圆的半径弧BC长度为：km(2)根据正弦定理：，求得：，&there4;km<cd=36.346km∴d到海岸线最短距离为35.752km.3．(2014高考数学上海理科·第21题)如图，某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米．设点、在同一水平面上，从和看,的仰角分别为和．(1)设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少(结果精确到0．01米)？(2)施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得，，求的长(结果精确到0．01米)．【答案】解析：(1)记．根据已知得，，，所以，……4分解得．因此，的长之多约为28．28米．……6分(2)在△中，由已知，，，由正弦定理得，解得．……10分在△中，由余弦定理得，解得．所以，cd的长约为26．93米．……14分4．(2019·江苏·第18题)如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥(是圆的直径)．规划在公路上选两个点，并修建两段直线型道路．规划要求:线段上的所有点到点的距离均不小于圆的半径．已知点到直线的距离分别为和(为垂足)，测得，，(单位:百米)．(1)若道路与桥垂直，求道路的长；(2)在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由；(3)对规划要求下，若道路和的长度均为(单位：百米).求当最小时，两点间的距离．【答案】见解析【解析】解法一：(1)过作，垂足为.,由已知条件得，四边形为矩形，.'因为，所以.所以.因此道路的长为15(百米).(2)①若在处，由(1)可得在圆上，则线段上的点(除)到点的距离均小于圆的半径，所以选在处不满足规划要求.②若在处，连结，由(1)知，从而，所以为锐角.所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径.因此，选在处也不满足规划要求.综上，和均不能选在处.(3)先讨论点的位置.当时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求；当时，对线段上任意一点，，即线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径，点符合规划要求.设为上一点，且，由(1)知，=15，此时；当时，在中，.由上可知，.再讨论点的位置.由(2)知，要使得，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求.当时，.此时，线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径.,综上，当pb⊥ab，点位于点右侧，且时，d最小，此时两点间的距离.因此，最小时，两点间的距离为(百米).解法二：(1)如图，过作，垂足为.以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.因为，，所以，直线l的方程为，点的纵坐标分别为3，−3.因为为圆的直径，，所以圆的方程为.从而，，直线的斜率为因为，所以直线的斜率为，直线的方程为.所以，.因此道路的长为15(百米).(2)①若在处，取线段上一点，则，所以选在处不满足规划要求.②若在处，连结，由(1)知，又，所以线段：.在线段上取点，因为，所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径.因此选在处也不满足规划要求.综上，和均不能选在处.(3)先讨论点的位置.当时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求；当时，对线段上任意一点，，即线段上所有点到点的距离均不小于圆,的半径，点符合规划要求.设为上一点，且，由(1)知，，此时；当时，在中，.由上可知，.再讨论点的位置.由(2)知，要使得，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求.当时，设，由，得，所以，此时，线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径.综上，当，时，最小，此时两点间的距离.因此，最小时，两点间的距离为(百米).5．(2018年高考数学江苏卷·第17题)(本小题满分14分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆o的一段圆弧(p为此圆弧的中点)和线段mn构成．已知圆o的半径为40米，点p到mn的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚ⅰ内的地块形状为矩形abcd，大棚ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设oc与mn所成的角为．(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；(2)若大棚ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】解析：(1)连结po并延长交mn于h，则ph⊥mn，所以oh=10．过o作oe⊥bc于e，则oe∥mn，所以∠coe=θ，故oe=40cosθ，ec=40sinθ，则矩形abcd的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ)，,△cdp的面积为．过n作gn⊥mn，分别交圆弧和oe的延长线于g和k，则gk=kn=10．令∠gok=θ0，则，．当时，才能作出满足条件的矩形abcd，所以的取值范围是．答：矩形abcd的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米，△cdp的面积为1600(cosθ–sinθcosθ)，sinθ的取值范围是．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k>0)，则年总产值为4k&times;800(4sin&theta;cos&theta;+cos&theta;)+3k&times;1600(cos&theta;&ndash;sin&theta;cos&theta;)=8000k(sin&theta;cos&theta;+cos&theta;)，．设f(&theta;)=sin&theta;cos&theta;+cos&theta;，．则＝＝．令，得．当时，，所以为增函数；当时，，所以为减函数；因此，当时，取到最大值．答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．题型七：结构不良型试题1．(2023年北京卷&middot;第17题)设函数．(1)若，求的值．,(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：；条件②：；条件③：区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)．(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，．解析：(1)因为所以，因为，所以．(2)因为，所以，所以的最大值为，最小值为．若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；若选条件②：因为在上单调递增，且，所以,所以,,所以，,又因为，所以，所以，所以，因为，所以．所以，；若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最小值，即．以下与条件②相同．2．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)&middot;第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】解法一：由可得：，不妨设，则：，即．选择条件①的解析：据此可得：，，此时．选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：．选择条件③的解析：,可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．解法二：∵,&there4;,，&there4;,&there4;,&there4;,&there4;,若选①，,∵,&there4;,&there4;c=1;若选②，,则,;若选③,与条件矛盾．3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)&middot;第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】解析：解法一：由可得：，不妨设，则：，即．选择条件①的解析：据此可得：，，此时．选择条件②的解析：据此可得：，,则：，此时：，则：．选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．解法二：∵,&there4;,，&there4;,&there4;,&there4;,&there4;,若选①，,∵,&there4;,&there4;c=1;若选②，,则,;若选③,与条件矛盾．4．(2021高考北京&middot;第16题)在中，，．(1)求角B的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：周长为；条件③：的面积为；【答案】(1)；(2)答案不唯一，具体见解析．解析：(1)，则由正弦定理可得，，，，，，解得；,(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由(1)可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择③：由(1)可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：．5．(2020北京高考&middot;第17题)在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：(Ⅰ)的值：(Ⅱ)和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①(Ⅰ),(Ⅱ)由正弦定理得：选择条件②(Ⅰ)由正弦定理得：(Ⅱ)</cd=36.346km∴d到海岸线最短距离为35.752km.3．(2014高考数学上海理科·第21题)如图，某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米．设点、在同一水平面上，从和看,的仰角分别为和．(1)设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少(结果精确到0．01米)？(2)施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得，，求的长(结果精确到0．01米)．【答案】解析：(1)记．根据已知得，，，所以，……4分解得．因此，的长之多约为28．28米．……6分(2)在△中，由已知，，，由正弦定理得，解得．……10分在△中，由余弦定理得，解得．所以，cd的长约为26．93米．……14分4．(2019·江苏·第18题)如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥(是圆的直径)．规划在公路上选两个点，并修建两段直线型道路．规划要求:线段上的所有点到点的距离均不小于圆的半径．已知点到直线的距离分别为和(为垂足)，测得，，(单位:百米)．(1)若道路与桥垂直，求道路的长；(2)在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由；(3)对规划要求下，若道路和的长度均为(单位：百米).求当最小时，两点间的距离．【答案】见解析【解析】解法一：(1)过作，垂足为.,由已知条件得，四边形为矩形，.'因为，所以.所以.因此道路的长为15(百米).(2)①若在处，由(1)可得在圆上，则线段上的点(除)到点的距离均小于圆的半径，所以选在处不满足规划要求.②若在处，连结，由(1)知，从而，所以为锐角.所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径.因此，选在处也不满足规划要求.综上，和均不能选在处.(3)先讨论点的位置.当时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求；当时，对线段上任意一点，，即线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径，点符合规划要求.设为上一点，且，由(1)知，=15，此时；当时，在中，.由上可知，.再讨论点的位置.由(2)知，要使得，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求.当时，.此时，线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径.,综上，当pb⊥ab，点位于点右侧，且时，d最小，此时两点间的距离.因此，最小时，两点间的距离为(百米).解法二：(1)如图，过作，垂足为.以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.因为，，所以，直线l的方程为，点的纵坐标分别为3，−3.因为为圆的直径，，所以圆的方程为.从而，，直线的斜率为因为，所以直线的斜率为，直线的方程为.所以，.因此道路的长为15(百米).(2)①若在处，取线段上一点，则，所以选在处不满足规划要求.②若在处，连结，由(1)知，又，所以线段：.在线段上取点，因为，所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径.因此选在处也不满足规划要求.综上，和均不能选在处.(3)先讨论点的位置.当时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求；当时，对线段上任意一点，，即线段上所有点到点的距离均不小于圆,的半径，点符合规划要求.设为上一点，且，由(1)知，，此时；当时，在中，.由上可知，.再讨论点的位置.由(2)知，要使得，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求.当时，设，由，得，所以，此时，线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径.综上，当，时，最小，此时两点间的距离.因此，最小时，两点间的距离为(百米).5．(2018年高考数学江苏卷·第17题)(本小题满分14分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆o的一段圆弧(p为此圆弧的中点)和线段mn构成．已知圆o的半径为40米，点p到mn的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚ⅰ内的地块形状为矩形abcd，大棚ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设oc与mn所成的角为．(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；(2)若大棚ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】解析：(1)连结po并延长交mn于h，则ph⊥mn，所以oh=10．过o作oe⊥bc于e，则oe∥mn，所以∠coe=θ，故oe=40cosθ，ec=40sinθ，则矩形abcd的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ)，,△cdp的面积为．过n作gn⊥mn，分别交圆弧和oe的延长线于g和k，则gk=kn=10．令∠gok=θ0，则，．当时，才能作出满足条件的矩形abcd，所以的取值范围是．答：矩形abcd的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米，△cdp的面积为1600(cosθ–sinθcosθ)，sinθ的取值范围是．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k>