十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题20三角函数及解三角形解答题（文科）（Word版附解析）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编三角函数及解三角形解答题目录题型一：三角恒等变换1题型二：三角函数与向量综合9题型三：三角函数的图像与性质11题型四：正余弦定理的应用25题型五：与三角形周长、面积有关问题38题型六：三角函数的建模应用51题型七：结构不良型试题56题型一：三角恒等变换一、解答题1．(2020年高考课标Ⅰ卷文科&middot;第18题)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=150&deg;．(1)若a=c，b=2，求的面积；(2)若sinA+sinC=，求C．【答案】(1)；(2)．解析】(1)由余弦定理可得，的面积；(2)，，，．2．(2020天津高考&middot;第16题)在中，角所对的边分别为．已知．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)求的值；,(Ⅲ)求的值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)．【解析】(Ⅰ)在中，由及余弦定理得，又因为，所以；(Ⅱ)在中，由，及正弦定理，可得；(Ⅲ)由知角为锐角，由，可得，进而，所以．3．(2020江苏高考&middot;第16题)在中，角的对边分别为，已知．(1)求的值；(2)在边上取一点，使得，求的值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由余弦定理得，所以．由正弦定理得．(2)由于，，所以．由于，所以，所以所以,．由于，所以．所以．4．(2019&middot;天津&middot;文&middot;第16题)在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】（1）（2）【解析】(1)在三角形中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因为，得，，由余弦定理可得．(2)由(1)得，从而，，故．5．(2014高考数学重庆文科&middot;第18题)(本小题满分12分)在中，内角所对的边分别为，且．(1)若，求的值;(2)若，且的面积，求和的值．,【答案】解析：(Ⅰ)由题意可知：，由余弦定理得：．(Ⅱ)由可得：，化简得．因为，所以．由正弦定理可知：．又因，故．由于，所以，从而，解得．6．(2014高考数学大纲文科&middot;第18题)△的内角的对边分别为．已知，，求．【答案】解析:由题设和正弦定理得：，故，因为，所以，，　　　　　　　　　所以即．　　　　　　　7．(2015高考数学四川文科&middot;第19题)已知为的内角，是关于的方程的两个实根．(Ⅰ)求的大小；(Ⅱ)若，求的值．【答案】解析：(1)．(2)由得．由(1)，有连结BD，在中，有，在中，有，,所以，则，于是．连结AC，同理可得，于是．所以8．(2015高考数学山东文科&middot;第17题)(本小题满分12分)中，角所对的边分别为．已知，求和的值．【答案】解析：在中，由，得．因为，所以，因为，所以，为锐角，，因此．由可得，又，所以．9．(2017年高考数学天津文科&middot;第15题)在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．(I)求的值；(II)求的值．【答案】(I)解：由，及，得，由，及余弦定理，得．,(II)解：由(I)，可得，代入，得．由(I)知，为钝角，所以．所以,，故．【基本解法】(I)，由正弦定理得又由余弦定理得(II)由正弦定理得又【第(II)问另解】由正弦定理得10．(2016高考数学浙江文科&middot;第16题)(本题满分14分)在中，内角所对的边分别为．已知．(Ⅰ)证明：A=2B；(Ⅱ)若，求的值．【答案】(1)见解析；(2)解析：(1)由正弦定理得，故，于是，，,又，故，所以或，因此，(舍去)或，所以，．(2)由，得，故，．11．(2018年高考数学江苏卷&middot;第16题)(本小题满分14分)已知为锐角，，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】解析：(1)因为，，所以．因为，，因此．(2)因为为锐角，所以．又因为，所以，因此，．因为，所以，因此，．12．(2018年高考数学浙江卷&middot;第18题)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．(1)求的值;(2)若角满足，求值．【答案】(1)；(2)或．【解析】(1)由角终边过点得所以．,(2)由角终边过点得，由得．由得当时，；当时，所以或．13．(2014高考数学江苏&middot;第15题)已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)解析：(1)因为&alpha;&isin;，sin&alpha;＝，所以cos&alpha;＝．故sin＝sincos&alpha;＋cossin&alpha;＝．(2)由(1)知sin2&alpha;＝2sin&alpha;cos&alpha;＝，cos2&alpha;＝1－2sin2&alpha;＝1－，所以cos＝．14．(2015高考数学广东文科&middot;第16题)(本小题满分12分)已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】解析：(1)(2),题型二：三角函数与向量综合一、解答题1．(2014高考数学辽宁文科&middot;第17题)在中，内角，，的对边分别为，，，且，已知，，．求：(Ⅰ)和的值；(Ⅱ)的值【答案】解析：(Ⅰ)由余弦定理，，得，整理得由(Ⅱ)由正弦定理，2．(2015高考数学陕西文科&middot;第17题)的内角所对的边分别为，向量与平行．(Ⅰ)求；(Ⅱ)若求的面积．,【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．解析：(Ⅰ)因为，所以由正弦定理，得，又，从而，由于所以(Ⅱ)解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因为，所以，故面积为．解法二：由正弦定理，得从而又由知，所以故，所以面积为．3．(2017年高考数学山东文科&middot;第17题)在中,角的对边分别为,已知,,,求和．【答案】 【解析】因为所以即(1)． 由得,所以(2)． 由得,解得． 又因为,所以解得． 由余弦定理得 ．4．(2017年高考数学江苏文理科&middot;第16题)已知向量 (1)若,求x的值; (2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值．【答案】(1)(2)时,取得最大值,为3;时,取得最小值,为． 解析:解:(1)因为,,, 所以． 若,则,与矛盾,故． ,于是．又,所以． (2)． 因为,所以, 从而． 于是,当,即时,取到最大值3; 当,即时,取到最小值．题型三：三角函数的图像与性质一、解答题1．(2020年浙江省高考数学试卷&middot;第18题)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(I)求角B；(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围．【答案】(I)；(II)解析：(I)由结合正弦定理可得：△ABC为锐角三角形，故．(II)结合(1)的结论有：．由可得：，，,则，．即的取值范围是2．(2017年高考数学上海(文理科)&middot;第18题)(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)已知函数,．(1)求的单调递增区间;(2)设为锐角三角形,角所对边,角所对边,若,求的面积．【答案】【解析】(1),,单调递增区间为;(2),&there4;或,根据锐角三角形,,&there4;,．3．(2019&middot;浙江&middot;文理&middot;第18题)设函数，．(Ⅰ)已知，函数是偶函数，求的值；(Ⅱ)求函数的值域．【答案】【解析】(Ⅰ)解法一：因为是偶函数，所以，对任意实数都有，即，故，所以，又，因此，或．解法二：根据诱导公式，，，因为是偶函数，，所以(Ⅱ)．因此，函数的值域是．4．(2018年高考数学上海&middot;第18题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)设常数，函数．(1)若为偶函数，求的值；,(2)若，求方程在区间上的解．【答案】(1)；(2)．解析：(1)显然定义域为．由题意得，即．化简得：，对于任意成立，则．(2)由条件得，解得．所以，化简得．因为，所以．所以，，，．解得，，，．另解：或．解得或．因为，所以对赋值．当时，，；当时，，．5．(2018年高考数学北京(文)&middot;第16题)已知函数．(I)求的最小正周期；(II)若在区间上的最大值为，求的最小值．【答案】(I)；(II)．解析：(Ⅰ)，所以的最小正周期为．(Ⅱ)由(Ⅰ)知．因为，所以．要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1．,所以，即．所以的最小值为．6．(2014高考数学四川文科&middot;第17题)已知函数(1)求的单调递增区间；(2)若是第二象限角，，求的值．【答案】(1)；(2),．解析：(1)因为函数的单调递增区间为，由,得所以函数f(x)的单调递增区间为．(2)由已知，得所以＝，即．当时，由在第二象限内，得此时，＝．当时，．由是第二象限角，得，此时．综上所述，＝或．7．(2014高考数学湖北文科&middot;第18题)某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系：．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．【答案】(1)这一天上午8时的温度为10℃；(2)这一天最大温差为4℃．解析：(1)f(8)＝10－cos－sin＝10－cos－sin＝10－&times;－＝10．故实验室上午8时的温度为10℃．,(2)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，又0&le;t&lt;24，所以&le;t＋&lt;，所以－1&le;sin&le;1．当t＝2时，sin＝1；当t＝14时，sin＝－1．于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8．故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．8．(2014高考数学福建文科&middot;第18题)(本小题满分12分)已知函数．(1)求的值；(2)求函数的最小正周期及单调递增区间．【答案】解析：(Ⅰ)(Ⅱ)因为,所以,由,得,所以的单调递增区间为9．(2014高考数学北京文科&middot;第16题)(本小题满分13分)函数的部分图象如图所示．(1)写出的最小正周期及图中、的值；(2)求在区间上的最大值和最小值．,【答案】(1)，，；(2)，．解：(I)的最小正周期为，，．(II)因为，所以，于是当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值．10．(2015高考数学重庆文科&middot;第18题)已知函数，．(Ⅰ)求的最小周期和最小值；(Ⅱ)将函数的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图像．当时，求的值域．【答案】(Ⅰ)的最小正周期为，最小值为，(Ⅱ)．解析：(1),因此的最小正周期为，最小值为．(2)由条件可知：．当时，有，从而的值域为，那么的值域为．故在区间上的值域是．11．(2015高考数学湖北文科&middot;第18题)(本小题满分12分)某同学用&ldquo;五点法&rdquo;画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0050(Ⅰ)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；,(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求的图象离原点最近的对称中心．【答案】解析：(Ⅰ)根据表中已知数据可得：，，，解得．数据补全如下表：且函数表达式为．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，因此．因为的对称中心为，．令，解得，．即图象的对称中心为，，其中离原点最近的对称中心为．12．(2015高考数学福建文科&middot;第21题)(本题满分12分)已知函数．(Ⅰ)求函数的最小正周期；(Ⅱ)将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移()个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2．(ⅰ)求函数的解析式；(ⅱ)证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(ⅰ)；(ⅱ)详见解析．解析：(Ⅰ)因为．所以函数的最小正周期．(Ⅱ)(Ⅰ)将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向下平移()个单位长度后得到的图象．又已知函数的最大值为，所以，解得．所以．(Ⅱ)要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得,，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即．由知，存在，使得．由正弦函数的性质可知，当时，均有．因为的周期为，所以当()时，均有．因为对任意的整数，，所以对任意的正整数，都存在正整数，使得．亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．13．(2015高考数学北京文科&middot;第15题)(本小题满分13分)已知函数．(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最小值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．解析：(Ⅰ)∵，&there4;的最小正周期为．(Ⅱ)∵，&there4;．当，即时，取得最小值．&there4;在区间上的最小值为．14．(2015高考数学安徽文科&middot;第16题)已知函数(Ⅰ)求最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)最大值为，最小值为0解析：(Ⅰ)因为所以函数的最小正周期为．(Ⅱ)由(Ⅰ)得计算结果，当时，,由正弦函数在上的图象知，当，即时，取最大值；当，即时，取最小值．综上，在上的最大值为，最小值为．15．(2017年高考数学浙江文理科&middot;第18题)已知函数．(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间．【答案】(1)2;(2) 【解析】(1) 所以 (2)设的最小正周期为,则; 的单调减区间为, 所以由,得, 得 所以的单调递增区间为16．(2017年高考数学北京文科&middot;第16题)已知函数．(1)的最小正周期;(2)求证:当时,．【答案】(1);(2)详见解析． 【解析】解法一: , ． (2)当时,,令,则, 因为在单调递增,单调递减,, 故． 解法二: (1)展开同解法一,． (2)当时,,令,则, 因为在单调递增,单调递减,,故．17．(2016高考数学山东文科&middot;第17题)(本小题满分12分)设．(I)求得单调递增区间；(II)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值．【答案】解析：()由,由得所以，的单调递增区间是，或(Ⅱ)由()知把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图像，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，即所以18．(2016高考数学北京文科&middot;第16题)已知函数的最小正周期为．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的单调递增区间．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)()．解析：(Ⅰ)因为，所以的最小正周期．依题意，，解得．(Ⅱ)由(Ⅰ)知．,函数的单调递增区间为()．由，得．所以的单调递增区间为()．19．(2014高考数学江西文科&middot;第16题)已知函数为奇函数,且,其中．(1)求的值;(2)若,求的值．【答案】(1),(2) 解析:(1)因为函数为奇函数,所以即,因为所以又所以因为,所以(2)由(1)得:所以由,得又,所以因此20．(2014高考数学广东文科&middot;第16题)已知函数(1)求的值；(2)若，求．【答案】(1)，(2)解析：(1)∵，且，,&there4;，&there4;(2)∵，且，&there4;，&there4;，且，&there4;，&there4;．21．(2021年高考浙江卷&middot;第18题)设函数．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在上的最大值．【答案】(1)；(2)．解析:(1)由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;,(2)由题意，，由可得，所以当即时，函数取最大值．22．(2014高考数学江苏&middot;第26题)已知函数＝()，记为的导数，n&isin;N*．(1)求的值；(2)证明：对任意n&isin;N*，等式都成立．【答案】解析：(1)解：由已知，故，所以，即＋．(2)证明一(官方解法)：由已知得：，等式两边分别对求导：，即，类似可得：，，．下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立．(ⅰ)当时，由上可知等式成立；(ⅱ)假设当时等式成立，即．因为，，所以．因此当时，等式成立．,综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式对所有的都成立．令，可得．所以．解法二：令所以，又故所以，即，命题得证．题型四：正余弦定理的应用一、解答题1．(2023年全国甲卷文科&middot;第17题)记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．【答案】(1)(2)解析：【小问1详解】因为，所以，解得：．【小问2详解】由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，,故的面积为．2．(2023年天津卷&middot;第16题)在中，角所对边分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．【答案】(1)(2)(3)解析：(1)由正弦定理可得，，即，解得：；(2)由余弦定理可得，，即，解得：或(舍去)．(3)由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都为锐角，因此，，故．3．(2023年新课标全国Ⅰ卷&middot;第17题)已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．【答案】(1)(2)6解析：(1)，，即，又，，，，,即，所以，．(2)由(1)知，，由，由正弦定理，，可得，，．4．(2020年高考课标Ⅱ卷文科&middot;第17题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，证明：△ABC是直角三角形．【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】(1)因为，所以，即，解得，又，所以；(2)因为，所以，即①，,又②，将②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．5．(2022新高考全国I卷&middot;第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．解析：(1)因为，即，而，所以；(2)由(1)知，，所以，而，所以，即有．所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．6．(2022年高考全国乙卷数学(文)&middot;第17题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；,(2)证明：【答案】(1)；(2)证明见解析解析：【小问1详解】由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．【小问2详解】由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．7．(2021年新高考Ⅰ卷&middot;第19题)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．(1)证明：；(2)若，求．【答案】解析：(1)由题设，，由正弦定理知：，即，&there4;，又，&there4;，得证．(2)由题意知：，,&there4;，同理，∵，&there4;，整理得，又，&there4;，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综上，．8．(2019&middot;江苏&middot;文理&middot;第15题)在中，角的对边分别为．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】见解析【解析】(1)因为由余弦定理，得，即.所以.(2)因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.9．(2019&middot;北京&middot;文&middot;第15题)在中，，，．(Ⅰ)求，的值；,(Ⅱ)求的值．【答案】(1)，；(2)．【解析】(1)由余弦定理，得因为，所以，解得，所以(2)在中，，，所以由正弦定理有：，所以在中，所以．10．(2018年高考数学天津(文)&middot;第16题)(本小题满分13分)在中，内角所对的边分别为，已知．(1)求角B的大小；(2)设，求和的值．【答案】(1)解：在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得．(2)解：在中，由余弦定理及，，有，故b=．由，可得．因为，故．因此，所以，,11．(2014高考数学天津文科&middot;第16题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．(I)求的值；(II)求的值．【答案】解析：(I)在△ABC中，由，及，可得．又由，有a=2c．所以．(II)在△ABC中，由，可得，于是，，，所以．12．(2014高考数学陕西文科&middot;第18题)的内角所对的边分别为．(1)若成等差数列，证明：；(2)若成等比数列，且，求的值．【答案】(1)见解析；(2)．解析：(1)因为成等差数列，所以，由正弦定理得因为，所以；(2)由成等比数列有，又，，由余弦定理有．13．(2014高考数学湖南文科&middot;第19题)如图，在平面四边形中，，．(1)求的值；(2)求的长．,【答案】(1)(2)解析：(1)设，在中，由余弦定理得，,即舍去．在三角形CDE中，由正弦定理得，于是即(2)由题设知，，于是由(1)知，而所以=在中，,故14．(2014高考数学安徽文科&middot;第16题)(本小题满分12分)设的内角所对边的长分别是，且，，的面积为，求与的值．【答案】解析：由三角形面积公式，得，故．,因为．所以．①当时，由余弦定理得，所以．②当时，由余弦定理得，所以．15．(2015高考数学新课标2文科&middot;第17题)(本小题满分12分)中,是上的点,平分,．(I)求；(II)若,求．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．解析：(Ⅰ)由正弦定理得因为AD平分BAC,BD=2DC,所以．(Ⅱ)因为所以由(I)知,所以16．(2015高考数学天津文科&middot;第16题)(本小题满分13分)△ABC中,内角所对的边分别为,已知△ABC的面积为,(Ⅰ)求和的值;(Ⅱ)求的值．【答案】(Ⅰ)a=8,;(Ⅱ)．解析:(Ⅰ)△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8．由,得．,(Ⅱ),17．(2015高考数学湖南文科&middot;第17题)(本小题满分12分)设的内角的对边分别为．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)若，且为钝角，求．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)解析：(Ⅰ)由及正弦定理，得，所以。(Ⅱ)因为有(Ⅰ)知，因此，又Ｂ为钝角，所以，故，由知，从而，综上所述，18．(2015高考数学江苏文理&middot;第15题)在中，已知．(1)求的长；(2)求的值．【答案】(1)(2)解析：(1)由余弦定理知，，所以．(2)由正弦定理知，，所以．因为，所以为锐角，则．因此．19．(2016高考数学天津文科&middot;第15题)(本小题满分13分)在中，内角所对应的边分别为，已知．(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，求的值．,【答案】(1)；(2)．解析：(Ⅰ)在中，由，可得又由，得所以，得(Ⅱ)由，得则．20．(2016高考数学四川文科&middot;第18题)在中，角所对的边分别是，且．(1)证明：；(2)若，求．【答案】【官方解答】(1)根据正弦定理，可设则代入中，有，，可变形得:即，在△ABC中，由，有所以：(2)由已知，，根据余弦定理，有．又，所以sinA=．由(1)，，故,【民间解析】(1)由正弦定理知(2)由余弦定理，所以由(1)．21．(2016高考数学江苏文理科&middot;第15题)在中，，，．(1)求的长；(2)求的值．【答案】(1)；(2)．【官方解答】(1)因为，，所以由正弦定理知，所以．(2)在中，，所以，于是，又，，故．因为，所以．因此，．民间解答：(1)，为三角形的内角，即：；,(2)，又为三角形的内角．题型五：与三角形周长、面积有关问题一、解答题1．(2023年全国甲卷文科&middot;第17题)记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．【答案】(1)(2)解析：【小问1详解】因为，所以，解得：．【小问2详解】由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为．2．(2023年天津卷&middot;第16题)在中，角所对边分別是．已知,．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．【答案】(1)(2)(3)解析：(1)由正弦定理可得，，即，解得：；(2)由余弦定理可得，，即，解得：或(舍去)．(3)由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都为锐角，因此，，故．3．(2023年新课标全国Ⅰ卷&middot;第17题)已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．【答案】(1)(2)6解析：(1)，，即，又，，，，即，所以，．,(2)由(1)知，，由，由正弦定理，，可得，，．4．(2020年高考课标Ⅱ卷文科&middot;第17题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，证明：△ABC是直角三角形．【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】(1)因为，所以，即，解得，又，所以；(2)因为，所以，即①，又②，将②代入①得，，即，而，解得，所以，,故，即是直角三角形．5．(2022新高考全国I卷&middot;第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．解析：(1)因为，即，而，所以；(2)由(1)知，，所以，而，所以，即有．所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．6．(2022年高考全国乙卷数学(文)&middot;第17题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：【答案】(1)；(2)证明见解析解析：【小问1详解】,由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．【小问2详解】由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．7．(2021年新高考Ⅰ卷&middot;第19题)记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．(1)证明：；(2)若，求．【答案】解析：(1)由题设，，由正弦定理知：，即，&there4;，又，&there4;，得证．(2)由题意知：，&there4;，同理，,∵，&there4;，整理得，又，&there4;，整理得，解得或，由余弦定理知：，当时，不合题意；当时，；综上，．8．(2019&middot;江苏&middot;文理&middot;第15题)在中，角的对边分别为．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】见解析【解析】(1)因为由余弦定理，得，即.所以.(2)因为，由正弦定理，得，所以.从而，即，故.因为，所以，从而.因此.9．(2019&middot;北京&middot;文&middot;第15题)在中，，，．(Ⅰ)求，的值；(Ⅱ)求的值．【答案】(1)，；(2)．,【解析】(1)由余弦定理，得因为，所以，解得，所以(2)在中，，，所以由正弦定理有：，所以在中，所以．10．(2018年高考数学天津(文)&middot;第16题)(本小题满分13分)在中，内角所对的边分别为，已知．(1)求角B的大小；(2)设，求和的值．【答案】（1）（2）解析：(1)在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得．(2)解：在中，由余弦定理及，，有，故b=．由，可得．因为，故．因此，所以，11．(2014高考数学天津文科&middot;第16题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知,，．(I)求的值；(II)求的值．【答案】（1)(2)解析：(I)在△ABC中，由，及，可得．又由，有a=2c．所以．(II)在△ABC中，由，可得，于是，，，所以．12．(2014高考数学陕西文科&middot;第18题)的内角所对的边分别为．(1)若成等差数列，证明：；(2)若成等比数列，且，求的值．【答案】(1)见解析；(2)．解析：(1)因为成等差数列，所以，由正弦定理得因为，所以；(2)由成等比数列有，又，，由余弦定理有．13．(2014高考数学湖南文科&middot;第19题)如图，在平面四边形中，，．(1)求的值；(2)求的长．,【答案】(1)(2)解析：(1)设，在中，由余弦定理得，,即舍去．在三角形CDE中，由正弦定理得，于是即(2)由题设知，，于是由(1)知，而所以=在中，,故14．(2014高考数学安徽文科&middot;第16题)(本小题满分12分)设的内角所对边的长分别是，且，，的面积为，求与的值．【答案】见解析,解析：由三角形面积公式，得，故．因为．所以．①当时，由余弦定理得，所以．②当时，由余弦定理得，所以．15．(2015高考数学新课标2文科&middot;第17题)(本小题满分12分)中,是上的点,平分,．(I)求；(II)若,求．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．解析：(Ⅰ)由正弦定理得因为AD平分BAC,BD=2DC,所以．(Ⅱ)因为所以由(I)知,所以16．(2015高考数学天津文科&middot;第16题)(本小题满分13分)△ABC中,内角所对的边分别为,已知△ABC的面积为,(Ⅰ)求和的值;(Ⅱ)求的值．【答案】(Ⅰ)a=8,;(Ⅱ)．解析:(Ⅰ)△ABC中,由得由,得又由,解得由,可得a=8．由,得．(Ⅱ),17．(2015高考数学湖南文科&middot;第17题)(本小题满分12分)设的内角的对边分别为．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)若，且为钝角，求．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)解析：(Ⅰ)由及正弦定理，得，所以。(Ⅱ)因为有(Ⅰ)知，因此，又Ｂ为钝角，所以，故，由知，从而，综上所述，18．(2015高考数学江苏文理&middot;第15题)在中，已知．(1)求的长；(2)求的值．【答案】(1)(2)解析：(1)由余弦定理知，，所以．(2)由正弦定理知，，所以．因为，所以为锐角，则．因此．19．(2016高考数学天津文科&middot;第15题)(本小题满分13分)在中，内角所对应的边分别为，已知．(Ⅰ)求；,(Ⅱ)若，求的值．【答案】(1)；(2)．解析：(Ⅰ)在中，由，可得又由，得所以，得(Ⅱ)由，得则．20．(2016高考数学四川文科&middot;第18题)在中，角所对的边分别是，且．(1)证明：；(2)若，求．【答案】(1)见解析（2）4【官方解答】(1)根据正弦定理，可设则代入中，有，，可变形得:即，在△ABC中，由，有所以：(2)由已知，，根据余弦定理，有．又，所以sinA=．由(1)，，,故【民间解析】(1)由正弦定理知(2)由余弦定理，所以由(1)．21．(2016高考数学江苏文理科&middot;第15题)在中，，，．(1)求的长；(2)求的值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)因为，，所以由正弦定理知，所以．(2)在中，，所以，于是，又，，故．因为，所以．因此，．民间解答：(1)，为三角形的内角,，即：；(2)，又为三角形的内角．题型六：三角函数的建模应用一、解答题1．(2019&middot;上海&middot;文理&middot;第19题)如图，为海岸线，为线段，弧BC为四分之一圆弧，，，，.(1)求弧BC长度；(2)若，求到海岸线的最短距离.(精确到)【答案】(1)km；(2)35.752km【解析】(1)依题意：，弧BC所在圆的半径弧BC长度为：km(2)根据正弦定理：，求得：，&there4;km<cd=36.346km∴d到海岸线最短距离为35.752km.2．(2014高考数学上海文科·第21题)如图，某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米．设点、在同一水平面上，从和看的仰角分别为和．,(1)设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少(结果精确到0．01米)？(2)施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得，，求的长(结果精确到0．01米)．【答案】(1)见解析(2)26．93米解析：(1)记．根据已知得，，，所以，……4分解得．因此，的长之多约为28．28米．……6分(2)在△中，由已知，，，由正弦定理得，解得．……10分在△中，由余弦定理得，解得．所以，cd的长约为26．93米．……14分3．(2019·江苏·文理·第18题)如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥(是圆的直径)．规划在公路上选两个点，并修建两段直线型道路．规划要求:线段上的所有点到点的距离均不小于圆的半径．已知点到直线的距离分别为和(为垂足)，测得，，(单位:百米)．(1)若道路与桥垂直，求道路的长；(2)在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由；(3)对规划要求下，若道路和的长度均为(单位：百米).求当最小时，两点间的距离．【答案】见解析【解析】解法一：(1)过作，垂足为.,由已知条件得，四边形为矩形，.'因为，所以.所以.因此道路的长为15(百米).(2)①若在处，由(1)可得在圆上，则线段上的点(除)到点的距离均小于圆的半径，所以选在处不满足规划要求.②若在处，连结，由(1)知，从而，所以为锐角.所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径.因此，选在处也不满足规划要求.综上，和均不能选在处.(3)先讨论点的位置.当时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求；当时，对线段上任意一点，，即线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径，点符合规划要求.设为上一点，且，由(1)知，=15，此时；当时，在中，.由上可知，.再讨论点的位置.由(2)知，要使得，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求.当时，.此时，线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径.,综上，当pb⊥ab，点位于点右侧，且时，d最小，此时两点间的距离.因此，最小时，两点间的距离为(百米).解法二：(1)如图，过作，垂足为.以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.因为，，所以，直线l的方程为，点的纵坐标分别为3，−3.因为为圆的直径，，所以圆的方程为.从而，，直线的斜率为因为，所以直线的斜率为，直线的方程为.所以，.因此道路的长为15(百米).(2)①若在处，取线段上一点，则，所以选在处不满足规划要求.②若在处，连结，由(1)知，又，所以线段：.在线段上取点，因为，所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径.因此选在处也不满足规划要求.综上，和均不能选在处.(3)先讨论点的位置.当时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求；当时，对线段上任意一点，，即线段上所有点到点的距离均不小于圆,的半径，点符合规划要求.设为上一点，且，由(1)知，，此时；当时，在中，.由上可知，.再讨论点的位置.由(2)知，要使得，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求.当时，设，由，得，所以，此时，线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径.综上，当，时，最小，此时两点间的距离.因此，最小时，两点间的距离为(百米).4．(2018年高考数学江苏卷·第17题)(本小题满分14分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆o的一段圆弧(p为此圆弧的中点)和线段mn构成．已知圆o的半径为40米，点p到mn的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚ⅰ内的地块形状为矩形abcd，大棚ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设oc与mn所成的角为．(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；(2)若大棚ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】解析：(1)连结po并延长交mn于h，则ph⊥mn，所以oh=10．过o作oe⊥bc于e，则oe∥mn，所以∠coe=θ，故oe=40cosθ，ec=40sinθ，则矩形abcd的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ)，,△cdp的面积为．过n作gn⊥mn，分别交圆弧和oe的延长线于g和k，则gk=kn=10．令∠gok=θ0，则，．当时，才能作出满足条件的矩形abcd，所以的取值范围是．答：矩形abcd的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米，△cdp的面积为1600(cosθ–sinθcosθ)，sinθ的取值范围是．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k>0)，则年总产值为4k&times;800(4sin&theta;cos&theta;+cos&theta;)+3k&times;1600(cos&theta;&ndash;sin&theta;cos&theta;)=8000k(sin&theta;cos&theta;+cos&theta;)，．设f(&theta;)=sin&theta;cos&theta;+cos&theta;，．则＝＝．令，得．当时，，所以为增函数；当时，，所以为减函数；因此，当时，取到最大值．答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．题型七：结构不良型试题一、解答题1．(2020北京高考&middot;第17题)在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：,(Ⅰ)的值：(Ⅱ)和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案不唯一，具体见解析．【解析】选择条件①(Ⅰ)(Ⅱ)由正弦定理得：选择条件②(Ⅰ)由正弦定理得：(Ⅱ)2．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)&middot;第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案不唯一，具体见解析．解法一：,由可得：，不妨设，则：，即．选择条件①的解析：据此可得：，，此时．选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：．选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．解法二：∵,&there4;,，&there4;,&there4;,&there4;,&there4;,若选①，,∵,&there4;,&there4;c=1;若选②，,则,;若选③,与条件矛盾．3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)&middot;第17题)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，,________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析．解析：解法一：由可得：，不妨设，则：，即．选择条件①的解析：据此可得：，，此时．选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：．选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．解法二：∵,&there4;,，&there4;,&there4;,&there4;,&there4;,若选①，,∵,&there4;,&there4;c=1;若选②，,则,;若选③,与条件矛盾．,4．(2021高考北京&middot;第16题)在中，，．(1)求角B的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：周长为；条件③：的面积为；【答案】(1)；(2)答案不唯一，具体见解析．解析：(1)，则由正弦定理可得，，，，，，解得；(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由(1)可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；,若选择③：由(1)可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：．5．(2023年北京卷&middot;第17题)设函数．(1)若，求的值．(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：；条件②：；条件③：区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)．(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，．解析：(1)因为所以，因为，所以．(2)因为，,所以，所以的最大值为，最小值为．若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；若选条件②：因为在上单调递增，且，所以,所以,,所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以．所以，；若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最小值，即．以下与条件②相同．</cd=36.346km∴d到海岸线最短距离为35.752km.2．(2014高考数学上海文科·第21题)如图，某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米．设点、在同一水平面上，从和看的仰角分别为和．,(1)设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少(结果精确到0．01米)？(2)施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得，，求的长(结果精确到0．01米)．【答案】(1)见解析(2)26．93米解析：(1)记．根据已知得，，，所以，……4分解得．因此，的长之多约为28．28米．……6分(2)在△中，由已知，，，由正弦定理得，解得．……10分在△中，由余弦定理得，解得．所以，cd的长约为26．93米．……14分3．(2019·江苏·文理·第18题)如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥(是圆的直径)．规划在公路上选两个点，并修建两段直线型道路．规划要求:线段上的所有点到点的距离均不小于圆的半径．已知点到直线的距离分别为和(为垂足)，测得，，(单位:百米)．(1)若道路与桥垂直，求道路的长；(2)在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由；(3)对规划要求下，若道路和的长度均为(单位：百米).求当最小时，两点间的距离．【答案】见解析【解析】解法一：(1)过作，垂足为.,由已知条件得，四边形为矩形，.'因为，所以.所以.因此道路的长为15(百米).(2)①若在处，由(1)可得在圆上，则线段上的点(除)到点的距离均小于圆的半径，所以选在处不满足规划要求.②若在处，连结，由(1)知，从而，所以为锐角.所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径.因此，选在处也不满足规划要求.综上，和均不能选在处.(3)先讨论点的位置.当时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求；当时，对线段上任意一点，，即线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径，点符合规划要求.设为上一点，且，由(1)知，=15，此时；当时，在中，.由上可知，.再讨论点的位置.由(2)知，要使得，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求.当时，.此时，线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径.,综上，当pb⊥ab，点位于点右侧，且时，d最小，此时两点间的距离.因此，最小时，两点间的距离为(百米).解法二：(1)如图，过作，垂足为.以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.因为，，所以，直线l的方程为，点的纵坐标分别为3，−3.因为为圆的直径，，所以圆的方程为.从而，，直线的斜率为因为，所以直线的斜率为，直线的方程为.所以，.因此道路的长为15(百米).(2)①若在处，取线段上一点，则，所以选在处不满足规划要求.②若在处，连结，由(1)知，又，所以线段：.在线段上取点，因为，所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径.因此选在处也不满足规划要求.综上，和均不能选在处.(3)先讨论点的位置.当时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求；当时，对线段上任意一点，，即线段上所有点到点的距离均不小于圆,的半径，点符合规划要求.设为上一点，且，由(1)知，，此时；当时，在中，.由上可知，.再讨论点的位置.由(2)知，要使得，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求.当时，设，由，得，所以，此时，线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径.综上，当，时，最小，此时两点间的距离.因此，最小时，两点间的距离为(百米).4．(2018年高考数学江苏卷·第17题)(本小题满分14分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆o的一段圆弧(p为此圆弧的中点)和线段mn构成．已知圆o的半径为40米，点p到mn的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚ⅰ内的地块形状为矩形abcd，大棚ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设oc与mn所成的角为．(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；(2)若大棚ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】解析：(1)连结po并延长交mn于h，则ph⊥mn，所以oh=10．过o作oe⊥bc于e，则oe∥mn，所以∠coe=θ，故oe=40cosθ，ec=40sinθ，则矩形abcd的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ)，,△cdp的面积为．过n作gn⊥mn，分别交圆弧和oe的延长线于g和k，则gk=kn=10．令∠gok=θ0，则，．当时，才能作出满足条件的矩形abcd，所以的取值范围是．答：矩形abcd的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米，△cdp的面积为1600(cosθ–sinθcosθ)，sinθ的取值范围是．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k>