第八章　§8.10　圆锥曲线中求值与证明问题

§8.10圆锥曲线中求值与证明问题第八章直线和圆、圆锥曲线成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 题型一求值问题(1)求l的斜率；[切入点：kAP＋kAQ＝0](2)若tan∠PAQ＝，求△PAQ的面积.[关键点：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ] 思维升华求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解. (1)求椭圆C的方程； 设点M(x1，y1)，P(x0，x0＋2)，易知B(0，－1)，A(0,1)， (3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且点D在线段OA上(不包括端点O，A)，直线NA与直线BM交于点P，求的值. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为y＝x＋t，其中0<t<1，则D(0，t)， 题型二证明问题例2(2023·邵阳模拟)已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A(点A在第一象限)，B两点，且|AB|＝4.(1)求C的标准方程； 由抛物线C的焦点F在x轴上，点A在第一象限，可知抛物线开口向右.设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，可得|y|＝p，由|AB|＝2p＝4，得p＝2，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x. (2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点. 由(1)可知A(1,2)，B(1，－2).设直线l1的方程为x＝my＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 所以直线AM，BN和l相交于一点. 圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. (1)求椭圆T的方程； ∴(0,1)必在椭圆上， (2)动直线y＝x＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， ∴|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|. 课时精练 1234基础保分练(1)求椭圆C的方程； ∵两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，∴b＝c，解得a2＝2，b2＝1，1234 1234 ∵F(1,0)，设lAB：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234 1234 2.(2022·郑州模拟)如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B.(1)证明：直线BC∥x轴；1234 由抛物线的性质可得焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，设直线AB的方程为x＝my＋2，1234 1234所以yC＝y2，所以BC∥x轴. (2)设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF.证明：||AF|－|BF||＝8.1234 因为准线方程为x＝－2，由题意可得E(－2,0)，因为BE⊥BF，1234 1234|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，所以可证||AF|－|BF||＝|x1－x2|＝8. 1234综合提升练(1)求椭圆C的标准方程； 由题意可知A(－a,0)，B(a,0)，设M(x1，y1)，显然－b≤y1≤b，1234 1234 1234(2)设直线AM与定直线x＝t(t>2)交于点T，记直线TF，AM，BN的斜率分别是k0，k1，k2，若k1，k0，k2成等差数列，求实数t的值. 由(1)可知F(1,0)，A(－2,0)，B(2,0)，由题意可知直线l的斜率不为零，所以设直线l的方程为x＝my＋1，与椭圆方程联立，设N(x2，y2)，1234 1234因为k1，k0，k2成等差数列， 把x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入，化简得6my1y2＝(t＋5)(y1＋y2)＋(2t－8)y2，1234 1234拓展冲刺练(1)求C的方程； 由题意得c＝2.①②又c2＝a2＋b2，③1234 1234(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx＋t(k≠0)，将直线PQ的方程代入C的方程，整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，所以3－k2<0，1234 设点M的坐标为(xM，yM)，又y1－y2＝(kx1＋t)－(kx2＋t)＝k(x1－x2)，1234 1234又y1＋y2＝(kx1＋t)＋(kx2＋t)＝k(x1＋x2)＋2t，若选择①②：因为PQ∥AB， 所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，1234 故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.1234 若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，1234 因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，1234 1234解得k＝m，因此PQ∥AB.若选择②③：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 设AB的中点为C(xC，yC)，1234 因为|MA|＝|MB|，所以M在AB的垂直平分线上，1234 即点M恰为AB的中点，故点M在AB上.1234 更多精彩内容请登录www.xinjiaoyu.com第八章直线和圆、圆锥曲线