第八章　§8.10　圆锥曲线中求值与证明问题

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§8.10　圆锥曲线中求值与证明问题题型一　求值问题例1　(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率；[切入点：kAP＋kAQ＝0](2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．[关键点：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ]成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期思维升华　求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．跟踪训练1　在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，焦距与长轴之比为，A，B分别是椭圆C的上、下顶点，M是椭圆C上异于A，B的一点．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(1)求椭圆C的方程；(2)若点P在直线x－y＋2＝0上，且＝3，求△PMA的面积；(3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且点D在线段OA上(不包括端点O，A)，直线NA与直线BM交于点P，求·的值．解　(1)由已知可得可得所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设点M(x1，y1)，P(x0，x0＋2)，易知B(0，－1)，A(0,1)，＝(x0，x0＋3)，＝(x1，y1＋1)，由＝3可得解得即点M，因为点M在椭圆C上，则＋2＝1，可得x＝6，因此，S△PMA＝S△PAB－S△MAB＝|AB|·|x0|＝.(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为y＝x＋t，其中0<t<1，则D(0，t)，联立可得3x2＋4tx＋2t2－2＝0，Δ＝16t2－12(2t2－2)＝24－8t2>0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝，kNA＝＝，直线NA的方程为y＝x＋1，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期kMB＝＝，直线BM的方程为y＝x－1，可得＝＝＝＝·＝·＝，解得y＝，即点P，因此，·＝t·＝1.题型二　证明问题例2　(2023·邵阳模拟)已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A(点A在第一象限)，B两点，且|AB|＝4.(1)求C的标准方程；(2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点．(1)解　由抛物线C的焦点F在x轴上，点A在第一象限，可知抛物线开口向右．设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，则F.由题意知AF⊥x轴，则点A的横坐标为，将x＝代入y2＝2px，可得|y|＝p，由|AB|＝2p＝4，得p＝2，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(2)证明　由(1)可知A(1,2)，B(1，－2)．设直线l1的方程为x＝my＋1，联立得y2－4my－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.直线AM的方程为y＝(x－1)＋2，即y＝(x－1)＋2，令x＝－1，解得y＝，所以直线AM与准线的交点为，直线BN的方程为y＝(x－1)－2，即y＝(x－1)－2，令x＝－1，解得y＝.所以直线BN与准线的交点为，因为＝－＝－＝1，即＝，所以直线AM，BN和l相交于一点．思维升华　圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．跟踪训练2　(2022·宁德模拟)若A，B，C(0,1)，D成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期四点中恰有三点在椭圆T：＋＝1(a>b>0)上．(1)求椭圆T的方程；(2)动直线y＝x＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.(1)解　由于A，B两点关于原点对称，必在椭圆上，则＋＝1，且＋<1，∴(0,1)必在椭圆上，即有＝1，则b＝1，a2＝2，∴椭圆T的方程为＋y2＝1.(2)证明　设E(x1，y1)，F(x2，y2)，联立得x2＋tx＋t2－1＝0，则x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－1，y1＋y2＝x1＋t＋x2＋t＝t，∴M，则kOM＝－，联立则可设P，Q，∴|MP|·|MQ|＝··＝，∵|ME|·|MF|＝|EF|2＝(1＋k)(x1－x2)2＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，∴|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期课时精练1．(2023·晋中模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交C于A，B两点，且＝2，求|AB|.解　(1)∵两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，∴b＝c，∵椭圆过点P，∴＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)∵F(1,0)，设lAB：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，∴∵＝2，∴y1＝－2y2，∴∴22＝，∴m2＝，∴|AB|＝·|y1－y2|＝·|－3y2|＝3·＝.2．(2022·郑州模拟)如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(1)证明：直线BC∥x轴；(2)设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF.证明：||AF|－|BF||＝8.证明　(1)由抛物线的性质可得焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，设A，B，所以直线AO的方程为y＝x，由题意可得点C，设直线AB的方程为x＝my＋2，联立整理可得y2－8my－16＝0，所以y1y2＝－16，可得y2＝－，所以yC＝y2，所以BC∥x轴．(2)因为准线方程为x＝－2，由题意可得E(－2,0)，＝，＝，因为BE⊥BF，所以·＝0，即y＋＝0，解得y＝－32＋16，x2＝2－4，由(1)可得x1x2＝＝＝4，所以x1＝2＋4，|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，所以可证||AF|－|BF||＝|x1－x2|＝8.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期3．(2023·南通调研)在平面直角坐标系Oxy中，已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，过右焦点F的动直线l与椭圆C交于M，N两点，△ABM的面积最大值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线AM与定直线x＝t(t>2)交于点T，记直线TF，AM，BN的斜率分别是k0，k1，k2，若k1，k0，k2成等差数列，求实数t的值．解　(1)由题意可知A(－a,0)，B(a,0)，设M(x1，y1)，显然－b≤y1≤b，△ABM的面积为·2a·≤ab，因为△ABM的面积最大值为2，所以ab＝2，又因为椭圆的离心率为，所以＝，于是⇒所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由(1)可知F(1,0)，A(－2,0)，B(2,0)，由题意可知直线l的斜率不为零，所以设直线l的方程为x＝my＋1，与椭圆方程联立，得⇒(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，设N(x2，y2)，所以y1＋y2＝，y1y2＝，直线AM的方程为＝，把x＝t代入方程中，得y＝，所以T，于是k0＝＝，k1＝，k2＝，因为k1，k0，k2成等差数列，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，此时M不在直线y＝x上，矛盾；当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令点A在直线y＝x上，则由解得xA＝，yA＝，同理可得xB＝，yB＝－.因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，所以xM＝＝，yM＝＝，又点M在直线y＝x上，所以＝·，解得k＝m，因此PQ∥AB.若选择②③：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令点A在直线y＝x上，则由解得xA＝，yA＝，同理可得xB＝，yB＝－.设AB的中点为C(xC，yC)，则xC＝＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期yC＝＝.因为|MA|＝|MB|，所以M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y－yC＝－(x－xC)，即y－＝－上，与y＝x联立，得xM＝＝xC，yM＝＝yC，即点M恰为AB的中点，故点M在AB上．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期