2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第八章直线和圆、圆锥曲线8.10圆锥曲线中的综合问题课件

§8.10圆锥曲线中的综合问题第八章直线和圆、圆锥曲线 1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见热点题型有求值、证明问题，定点、定值问题，范围、最值问题，探索性问题.2.以解答题的形式压轴出现，难度较大.考试要求 题型一求值与证明例1(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C：＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率；[切入点：kAP＋kAQ＝0](2)若tan∠PAQ＝，求△PAQ的面积.[关键点：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ] (1)求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解.(2)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).思维升华 跟踪训练1(2022·广东六校联考)已知点P(－2，－1)为椭圆C：(a>b>0)上一点，且C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程； 由①②，解得a2＝8，b2＝2， (2)若M为C上第二象限内一点，点M关于直线x＝－2的对称点为N，直线PN与C交于另一点Q，O为坐标原点，求证：MQ∥OP. 因为点M，N关于直线x＝－2对称，所以直线PM与PN关于直线x＝－2对称，则kPM＋kPN＝0，易知直线PM的斜率存在且不为0，设直线PM的斜率为k，则直线PN的斜率为－k，又P(－2，－1)，所以直线PM的方程为y＋1＝k(x＋2)，即y＝k(x＋2)－1， 所以MQ∥OP. 题型二定点与定值 因为△PAB为直角三角形， (2)设直线l与椭圆C交于D，E两点，若＝0，求证：直线l过定点. 由题意，可设直线DE的方程为x＝ky＋m(m≠2)，设D(x1，y1)，E(x2，y2)， 则(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，将x1＝ky1＋m，x2＝ky2＋m代入上式得(k2＋1)y1y2＋k(m－2)(y1＋y2)＋(m－2)2＝0， (1)求解直线或曲线过定点问题的基本思路①直线或曲线过定点问题，解法：引入参变量建立直线或曲线方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.②由直线方程确定其过定点时，若得到直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到直线的斜截式方程y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m). (2)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略①求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.②求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.③求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. 跟踪训练2(2023·郑州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且|PF|是P到l的距离的(1)求曲线C的方程； (2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于点M，N，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值. 设经过点F且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C的方程联立得Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)>0恒成立，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 设线段MN的中点为T(x0，y0)， 题型三范围与最值例3(2022·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点C(1，y0)到其焦点F的距离为2.(1)求实数p的值；因为点C(1，y0)到其焦点F的距离为2，解得p＝2. (2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，且l1，l2的交点为Q，l1，l2与y轴的交点分别为M，N.求△QMN面积的取值范围. 由(1)可知，抛物线E：y2＝4x，判别式Δ＝16t2＋16>0，故t∈R，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， ∴△QMN面积的取值范围是[1，＋∞). 圆锥曲线中求解取值范围与最值问题的方法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值(范围)，求函数最值(范围)的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 跟踪训练3(2023·淄博模拟)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，点P(，1)在椭圆E上.(1)求椭圆E的标准方程； 因为|F1F2|＝2c＝4，所以c＝2，即F1(－2,0)，F2(2,0)， (2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A，B，当△F1AB的面积最大时，求直线l的方程. 由题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l的方程为x＝my＋2，消去x可得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，Δ＝16m2＋8(m2＋3)＝24(m2＋1)>0， 此时直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0. 课时精练 12345基础保分练 y2＝4x的焦点F2(1,0)，12345 12345 A(x1，y1)，B(x2，y2)，12345 12345 (1)求双曲线C的方程；12345 12345 (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值.12345 设点M的横坐标为xM>0，当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，易知点M到y轴的距离为xM＝2﹔当直线l的斜率存在时，12345 Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0，整理得4k2＝m2＋1，12345即km<0， 12345即xM>2，此时点M到y轴的距离大于2.综上所述，点M到y轴的最小距离为2. 123453.斜率为的直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且交C于A，B两点(A在第一象限)，l交C的准线于D点，且|BD|＝8.(1)求抛物线方程； 与抛物线y2＝2px联立，可得12x2－20px＋3p2＝0，由|BD|＝8，且直线l的倾斜角为60°，可得点B到准线的距离为8cos60°＝4，12345 则抛物线的方程为y2＝12x.12345 12345(2)设点T(9,0)，斜率为k的直线m过点T交y轴于S，抛物线C上是否存在不同两点M，N，使∠MST＝∠NST，且MN⊥m，若存在，求斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由. 与抛物线的方程y2＝12x联立，可得x2－(2tk＋12k2)x＋k2t2＝0，Δ＝(2tk＋12k2)2－4k2t2>0，则tk＋3k2>0，设M，N的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝2tk＋12k2，可得MN的中点坐标为(tk＋6k2，－6k)，k≠0，又直线m的方程为y＝k(x－9)，12345 由题意可得直线m经过线段MN的中点，可得－6k＝k(tk＋6k2－9)，化简为tk＋6k2＝3，即有3－6k2＋3k2>0，解得－1<k<0或0<k<1.所以k的取值范围是(－1,0)∪(0,1).12345 12345(1)求椭圆的方程；综合提升练 12345(2)设点M，N在椭圆上，以线段MN为直径的圆过原点O，试问是否存在定点P，使得P到直线MN的距离为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，①若直线MN与x轴垂直，由对称性可知|x1|＝|y1|，12345②若直线MN不与x轴垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m， 故存在定点P(0,0)，使得P到直线MN的距离为定值.整理得45k2＋45＝14m2，12345 ①求C2的渐近线方程；12345拓展冲刺练 解得a2＝4，又a>0，所以a＝2，12345 ②过点G(4,0)的直线l交C2的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线x＝1相交于A1，B1两点，记A，B，A1，B1的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，求证：12345 设直线AB的方程为x＝ty＋4，12345 12345 12345 (2)从C2上的动点P(x0，y0)(x0≠±a)引C1的两条切线，经过两个切点的直线与C2的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.12345 设两个切点P1(x5，y5)，P2(x6，y6)，由题意知PP1，PP2斜率存在，设直线PP1的方程为l1：y＝k1(x－x5)＋y5，12345 12345 12345