专题12 三角函数的图像与性质【艺体生专供 选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲 精练（新高考通用）-解析版

【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）专题12三角函数的图像与性质一、考向解读考向：三角函数的图像与性质作为高考的必考内容，在高考中主要是选择、填空题型。大部分是考查基础知识和基本方法，考查内容涉正弦型函数或余弦型函数的图像和性质、图像变换等。考点：正弦型函数或余弦型函数的图像和性质。导师建议：通过图像记忆性质才是正确方法，切忌死记硬背！二、知识点汇总正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增最值当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)(k∈Z)(＋kπ，0)(k∈Z)(，0)(k∈Z)对称轴方程x＝＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ【常用结论】①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是半个周期．②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．③函数具有奇偶性的充要条件函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．三、题型专项训练①正弦、余弦函数的图像一、单选题1．三角函数在区间上的图像为（　　）A．B． C．D．【答案】C【分析】根据已知条件，结合三角函数的奇偶性，以及函数的最值点，即可求解.【详解】解：∵为奇函数，∴的图像关于原点对称，故排除A、D选项，三角函数在区间上的最大值为，故排除B选项.故选：C.2．函数，的图像是（    ）．A．B．C．D．【答案】D【分析】结合与图像的关系即可选出答案.【详解】因为与的图像关于轴对称，只有D符合题意.故选：D3．函数的值域是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】易知，则可求出的值域.【详解】因为，所以,所以的值域为.故选：B. 4．函数的图象（    ）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线对称【答案】B【分析】根据余弦函数的性质可得.【详解】可得是由向上平移1个单位得到，根据余弦函数的性质可得的图象关于轴对称.故选：B.5．函数的简图是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由cos（﹣x）＝cosx及余弦函数的图象即可得解．【详解】由知，其图象和的图象相同，故选B．6．若函数的大致图像是A．B．C．D．【答案】D【分析】先去绝对值，化为分段函数，再根据余弦函数的单调性，得出答案．【详解】，在，为减函数，在，为增函数，并且函数值都大于等于0， 只有符合，故答案为7．函数y＝－cosx(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　)A．(，1)B．(，1)C．(0,1)D．(2，1)【答案】B【分析】画出的图像，根据图像求得与轴最近的最高点的坐标.【详解】画出的图像如下图所示，由图可知，与轴最近的最高点的坐标为.故选B.8．从函数的图象来看，当时，对于的x有（    ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【分析】画出和的图象，看它们有几个交点即可.【详解】先画出，的图象，即A与D之间的部分，再画出的图象，如下图：由图象可知它们有2个交点B、C，所以当时，的x的值有2个.故选：C②正弦函数的性质 9．函数，的单调递增区间是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】先根据正弦函数的单调区间求的单调递增区间，再结合题意分析判断．【详解】令，解得，∵，当时，，即函数的单调递增区间是．故选：B.10．函数的单调增区间是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为；故选：B11．求出的解集（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出正弦函数的图象，找到所对应的正弦函数值，结合正弦函数的周期性求得的范围，即可求不等式的解集．【详解】画出正弦函数的图象，如图：，等价因为的周期为，，故不等式的解集为 故选：C.   12．使不等式成立的的取值集合是（     ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题首先可以根据得出，然后根据正弦函数的相关性质即可得出结果.【详解】因为，所以，，故的取值集合是，故选：C.13．下列函数中周期为，且为偶函数的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据正弦、余弦函数的性质判断即可；【详解】解：对于A：为周期为的偶函数，故A错误；对于B：为周期为的奇函数，故B错误；对于C：为周期为的偶函数，故C正确；对于D：为周期为的偶函数，故D错误；故选：C14．函数是（    ） A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数【答案】C【分析】先化简得，再求函数的最小正周期和奇偶性得解.【详解】由题得，设，函数的定义域是,所以函数的最小正周期为，由于，所以函数是奇函数.故选：C.15．函数的最小正周期是（    ）A．B．C．6D．【答案】D【分析】根据正弦型函数最小正周期公式求解即可.【详解】函数的最小正周期为.故选:D16．若函数的图象经过点，则的最小正周期为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】，据此求出ω的表达式，再根据ω的范围求得ω的值即可求最小正周期.【详解】依题意可得，则，得.因为，所以，.故选：A.17．函数的图象的一个对称轴方程是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：对于函数，令，解得，故函数的对称轴方程为， 令，可知函数的一条对称轴为.故选：C18．函数的零点为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：令，解得，故函数的零点为；故选：A19．函数的周期为2，下列说法正确的是（    ）A．B．是奇函数C．f（x）在[，]上单调递增D．的图像关于直线对称【答案】C【分析】分别利用正弦函数周期公式，余弦函数的奇偶性，正弦函数的单调性，正弦函数的对称轴的求法，依次判断即可.【详解】由可知，,由此可知选项不正确；由可知，，即是偶函数，由此可知选项不正确；由，解得,当时，区间上为单调递增，由此可知选项正确；由，解得，则直线不是的对称轴，由此可知选项不正确；故选：. 20．函数，x∈R在（    ）A．上是增函数B．上是减函数C．上是减函数D．上是减函数【答案】B【分析】化简，根据余弦函数的知识确定正确选项.【详解】，所以在上递增，在上递减.B正确，ACD选项错误.故选：B③余弦函数的性质21．函数的单调减区间是A．B．C．D．【答案】A【分析】利用诱导公式把函数解析式中的的系数化为正数，利用余弦函数的性质，求出单调减区间．【详解】cos（x）．由2k，可得，k∈Z．∴函数的单调减区间是．故选A．22．满足的角的集合为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用余弦函数的性质即可求解【详解】结合余弦函数的性质可得， 故满足的角的集合为故选：C23．函数f(x)=lg(1+2cosx)的定义域为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据真数大于零，再解三角不等式得结果.【详解】由题意得，所以，即得故选：B24．设函数，，则是(    )A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【答案】B【分析】根据余弦型函数的图像与性质即可判断求解.【详解】∵f(x)定义域为R，f(－x)＝f(x)，∴f(x)是R上偶函数；f(x)最小正周期T＝，故选：B.25．已知函数，则下列正确的是（    ）A．是周期为1的奇函数B．是周期为2的偶函数C．是周期为1的非奇非偶函数D．是周期为2的非奇非偶函数【答案】B【解析】结合奇偶性和周期公式即可求解【详解】为偶函数，周期为：故选：B26．，最小正周期为（    ）A．4B．2C．D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用正余弦型函数周期公式直接计算作答.【详解】函数中，，则有， 所以所求最小正周期为.故选：D27．函数的最小正周期是（　　）A．1B．2C．D．【答案】A【分析】根据余弦函数的性质计算可得；【详解】因为，所以函数的最小正周期；故选：A28．函数的图象（    ）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【答案】D【分析】根据余弦函数的对称中心、对称轴，应用整体代入判断各选项的正误.【详解】由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，，易知A、B错误；由余弦函数的对称轴为，令，得，，当时，，易知C错误，D正确；故选：D29．函数图象的一条对称轴可能是直线（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】先计算出函数的对称轴，再适当地取k的值进而得到答案.【详解】令，解得.当时，.故选：A.30．已知函数，下面结论错误的是（    ）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上是增函数 C．函数的图像关于直线对称D．函数是偶函数【答案】B【分析】先化简函数得，然后逐个分析判断即可【详解】解：，对于A，的最小正周期为，所以A正确；对于B，在区间上是减函数，所以B错误；对于C，因为，所以的图像关于直线对称，所以C正确；对于D，因为，所以是偶函数，所以D正确，故选：B31．下列四个函数中，周期为π的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用三角函数的周期性求解.【详解】函数周期为；函数周期为；函数周期为；函数周期为.故选：D④正切函数的图像与性质32．函数的定义域是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】由正切函数的定义域，令，，解不等式，即可求出结果.【详解】由正切函数的定义域，令，，即，所以函数 的定义域为.故选:D．33．函数的定义域是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用整体代入法求得正确答案.【详解】由，解得，所以函数的定义域是.故选：D34．函数的最小正周期为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用函数的周期公式即可求解.【详解】由题意可知，，所以函数的最小正周期为.故选：B.35．已知函数f(x)＝3tan的最小正周期为，则正数ω＝（    ）A．4B．3C．2D．1【答案】C【分析】直接利用周期公式列方程求解【详解】∵，∴，∴，故选：C.36．函数的单调递增区间为（    ）A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】利用正切函数的单调递增区间，可令，求得x的范围，即得答案.【详解】根据正切函数的单调性可得，欲求的单调增区间，令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，，故选：A.37．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用是偶函数判定选项A错误；利用判定选项B错误；利用的定义域判定选项C错误；利用奇偶性的定义证明是奇函数，再通过基本函数的单调性判定的单调性，进而判定选项D正确.【详解】对于A：是偶函数，即选项A错误；对于B：是奇函数，但，所以在区间上不单调递增，即选项B错误；对于C：是奇函数，但的定义域为，，即选项C错误；对于D：因为，，有，即是奇函数；因为在区间上单调递增，在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，即选项D正确.故选：D.38．函数图象的一个对称中心是（    ）A．B．C．D．【答案】C 【分析】利用整体法列式得，求解并对赋值，即可得答案.【详解】利用整体法得，，解得，令，，令，，所以函数的对称中心有，.故选：C39．已知函数，则下列结论不正确的是（    ）A．B．是的一个周期C．的图象关于点对称D．的定义域是【答案】C【分析】画出函数的图象，观察图象可解答.【详解】画出函数的图象，易得的周期为，且是偶函数，定义域是，故A，B，D正确；点不是函数的对称中心，C错误.故选：C⑤多选题二、多选题40．函数的图象中与y轴最近的最高点的坐标为（    ）A．B．C．D．【答案】BD【分析】由题目分析可得实际上是求的最小值，由解出来取最靠近y轴的值.【详解】的最大值为1，即，解得. 因为要与y轴最近，所以，即坐标为或.故选：BD41．[多项选择题]函数,的图像与直线(t为常数)的交点可能有A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】ABC【解析】作出函数,的图像和直线,观察交点即可.【详解】解析:在同一平面直角坐标系中,作出函数,的图像和直线,如图所示.由图可知,当或时,交点个数为0;当或时,交点个数为2;当或或时,交点个数为1.综上,交点个数可能为0,1,2.故选：ABC.42．若函数，则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，对恒成立.C．若，方程的根的个数是8个.D．若，则【答案】ABD【分析】将代入A，B，C中检验即可；选项D利用诱导公式推理即可.【详解】当时，，令，所以，所以选项A，，正确；，，所以，故B正确；选项C，时，，令，则如图所示： 由图可得只有7个交点，故方程只有7个实数根，故C选项错误；选项D，因为，所以，由，，所以，所以，所以，故选项D正确；故选：ABD.43．函数，的图象与直线（为常数，且）的交点可能有（    ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】BC【分析】画出函数的图象，利用数形结合判断函数图象与直线（为常数，且）的交点个数，即可判断选项.【详解】如图画出函数，的图象，当时，函数图象与直线有1个交点，当时，函数图象与直线有2个交点，当时，函数图象与直线有1个交点，当时，函数图象与直线有2个交点，当时，函数图象与直线有1个交点，综上可知，函数图象与直线，有1个或2个交点.故选:BC 44．函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（    ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】ABC【分析】作出函数，的图像与直线图像，数形结合求解即可.【详解】解：作出函数，的图像与直线图像，如图，所以，当或时，，的图像与直线（为常数）的交点个数为0个；当或时，，的图像与直线（为常数）的交点个数为1个；当时，，的图像与直线（为常数）的交点个数为2个；故函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有1个，2个，3个.故选：ABC45．关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ）A．当或时，有0个交点B．当或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当时，有2个交点【答案】AB【分析】作出函数函数，的图象，数形结合，一一判断每个选项，可得答案.【详解】根据函数的解析式作出函数的图象如图所示, 对于选项A，当或时，有0个交点，故A正确；对于选项B，当或时，有1个交点，故B正确；对于选项C，当时，只有1个交点，故C错误；对于选项D，当时，只有1个交点，故D错误．故选:AB．46．已知函数，则（    ）A．是偶函数B．的最小正周期为C．在区间上单调递减D．对任意【答案】ABD【分析】对于A：利用函数的奇偶性的定义证明；对于B、C、D：作出函数的图象，直接判断.【详解】对于A：因为，所以是偶函数，A正确．对于B、C、D：当时，，当，．画出的图象，如图所示，由图可得B，D正确，C错误．故选：ABD47．下列在(0，2π)上的区间能使cosx>sinx成立的是（    ）A．(0，)B．(，)C．(，2π)D．(，)∪(π，)【答案】AC【解析】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，用图像法解. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出y=sinx和y=cosx的图象，在(0，2π)上，当cosx＝sinx时，x＝或x＝，结合图象可知满足cosx>sinx的是(0，)和(，2π).故选：AC．四、高考真题及模拟题精选一、单选题1．（2020·山东·统考高考真题）下列命题为真命题的是（    ）A．且B．或C．，D．，【答案】D【分析】本题可通过、、、、得出结果.【详解】A项：因为，所以且是假命题，A错误；B项：根据、易知B错误；C项：由余弦函数性质易知，C错误；D项：恒大于等于，D正确，故选：D.2．（2020·山东·统考高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（    ）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.【详解】结合图像易知，，，则角是第四象限角，故选：D.3．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和B．和2C．和D．和2【答案】C【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．4．（2020·全国·统考高考真题）若α为第四象限角，则（    ）A．cos2α>0B．cos2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0【答案】D【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，所以此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以故选：D.方法二：当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D.5．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．6．（2021·北京·统考高考真题）函数是A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.7．（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.8．（2021·全国·统考高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）A．B．C．D．【答案】A 【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件.故选：A.9．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.10．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（    ） A．在上单调递减B．在上单调递增C．在上单调递减D．在上单调递增【答案】C【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C.二、多选题11．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线【答案】AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：，所以，，即，又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．三、填空题12．（2020·山东·统考高考真题）已知，若，则______.【答案】【分析】根据反三角函数的定义即可求解.【详解】因为，，所以，故答案为：.五、题型精练，巩固基础一、单选题1．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）下列函数中，最小正周期为的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据周期公式即可求解.【详解】解：对A：最小正周期；对B：最小正周期；对C：最小正周期；对D：最小正周期.故选：B.2．（2022·陕西西安·统考模拟预测）函数的最小正周期是（    ）A．B．C．D．【答案】D 【分析】利用余弦函数的倍角公式化简，再由即可得解.【详解】因为，故，所以，故，即的最小正周期为.故选：D.3．（2022·江苏南京·模拟预测）已知集合，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】先求出A，再根据交集的定义计算即可.【详解】由题意，；故选：D.4．（2022·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测）函数的图像的一条对称轴为（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由倍角公式和辅助角公式化简，令，即可得出答案.【详解】令，解得.故选：C.5．（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）下列可能是函数对称中心的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据三角恒等变换将函数整理成余弦型函数，按照余弦函数对称中心求解，即可判断.【详解】解：令，，则，对称中心为，， 当时，对称中心为.故选：B．6．（2022·内蒙古呼伦贝尔·校考模拟预测）函数图象的一条对称轴方程为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由和差公式化简函数，由整体法令，即可求解.【详解】，令，即，故函数图象的一条对称轴方程为．故选：C7．（2022·云南玉溪·玉溪市民族中学校考模拟预测）若，则的概率为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题可根据当时以及当时得出结果.【详解】当时，，；当时，，，则的概率，故选：B.8．（2022·四川雅安·统考一模）已知，则的值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】以为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.【详解】∵，故选：D.9．（2022·广东韶关·统考一模）下列区间中，函数的单调递减区间是（    ） A．B．C．D．【答案】B【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递减区间为，故选：B.10．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）已知函数，则（    ）A．在上单调递减B．在上单调递增C．在上单调递减D．在上单调递增【答案】B【分析】利用二倍角正弦公式化简得到，利用代入检验的方式可确定结果.【详解】；对于A，当时，，则先减后增，A错误；对于B，当时，，则单调递增，B正确；对于C，当时，，则先增后减，C错误；对于D，当时，，则单调递减，D错误.故选：B.二、多选题11．（2023·福建福州·统考二模）已知函数，则（    ）A．在区间单调递增B．在区间有两个零点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线【答案】BCD 【分析】对于A，求出的范围结合正弦函数的单调性即可；对于B，求出的零点，然后取特殊的值代入即可；对于C，算出即可；对于D，利用导数的几何意义进行求解即可【详解】对于A，当，则，因为在先单调递减，后单调递增，所以不是的增区间，故错误；对于B，令，解得，所以的零点为，当时，；当时，；当时，；当时，，所以在区间有两个零点，故正确；对于C，令，则，所以直线是曲线的对称轴，故正确；对于D，由可得，令，即，解得，当时，，代入可得所以在点处的切线为，化简得，故D正确故选：BCD三、填空题12．（2022·上海普陀·统考一模）函数的最小正周期为______．【答案】【分析】化简函数的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得原函数的最小正周期.【详解】因为，因此，该函数的最小正周期为.故答案为：.13．（2023·全国·模拟预测）函数的图象的对称中心为_________【答案】 【分析】根据的对称中心为可求解.【详解】令，，解得，所以对称中心为.故答案为:.14．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）函数的最大值为___________.【答案】【分析】利用诱导公式和二倍角余弦公式可将函数化为，结合二次函数的性质可求得最大值.【详解】，当时，.故答案为：.15．（2022·四川乐山·统考一模）函数在上所有零点之和为__________________.【答案】4【分析】利用数形结合，将函数零点问题转化为函数和的交点问题，利用函数的对称性，可求零点的和.【详解】函数，即，函数和关于点对称，如图画出两个函数在区间的函数图象，两个函数图象有4个交点，利用对称性可知，交点横坐标的和.故答案为：416．（2022·四川乐山·统考一模）函数上所有零点之和为_____.【答案】4 【分析】利用数形结合，将函数零点问题转化为函数和的交点问题，再利用函数的对称性，可求零点的和.【详解】函数，即，函数和都关于对称，所以函数和的交点也关于对称，如图画出两个函数在区间的函数图象，两个函数图象有4个交点，利用对称性可知，交点横坐标的和.故答案为：4