专题10 指对幂函数的比较大小【艺体生专供 选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲 精练（新高考通用）-解析版

【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）专题10指对幂函数比较大小一、考向解读考向：比较大小是高考的常见题型，其中，幂、指、对数函数的比较大小大小比较主要是结合函数的单调性及奇偶性，其中中间值的选取是突破的关键点。考点：指对幂函数的比较大小二、知识点汇总导师建议：中间值的选取依赖的是指对数的运算，必须要掌握好！构造函数技巧是此类型题目的重难点！1.指数函数及其性质概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数2.对数函数及其性质概念：y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.幂函数及其性质 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.三、题型专项训练①幂函数比较大小一、单选题1．已知，则的大小关系为（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据幂函数的单调性进行判断即可.【详解】，因为函数是实数集上的增函数，所以由可得：，即，故选：C2．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用指数函数及幂函数的单调性即得．【详解】因为，，，由指数函数及幂函数的单调性可得，∴，即.故选：A．3．若，则a､b､c的大小关系是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小 【详解】因为在上单调递增，且，所以，即，因为在上单调递减，且，所以，即，所以，即故选：A4．已知，，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据幂函数以及指数函数的单调性即可比较大小.【详解】由题得，，，，因为函数在上单调递增，所以．又因为指数函数在上单调递增，所以．故选:D．②指数函数比较大小5．设，，，则（    ）．A．B．C．D．【答案】C【分析】将三个指数幂化成同底指数幂，利用指数函数的单调性即可得解.【详解】因为，，，又函数在上单调递增，，所以所以，故选：C6．下列判断正确的是（    ）A．2.52.5＞2.53B．0.82＜0.83C．4＜πD．0.90.3＞0.90.5【答案】D【分析】结合函数的单调性依次进行判断即可． 【详解】解：对于Ａ项，∵y＝2.5x是增函数，且2.5<3，∴2.52.5<2.53,对于B项，∵y＝0.8x是减函数，且2<3，∴0.82>0.83,对于C项，∵y＝是增函数，且，∴，对于D项，∵y＝0.9x是减函数，且0.3<0.5，∴0.90.3>0.90.5．故选：D．7．已知，，，则，，的大小关系是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据指数函数的单调性结合中间量“1”即可得解.【详解】解：因为函数为减函数，所以，又因为，所以.故选：A.8．已知，则的大小关系为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性比较大小．【详解】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．③对数函数比较大小9．若，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】先比较大小，再利用作差法比较大小即得解.【详解】解：.因为，所以，所以.所以.故选：B10．设，，，则的大小关系是（    ）A．B． C．D．【答案】B【分析】根据对数运算法则可得，根据的单调性可得大小关系.【详解】，在上单调递减且，，即.故选：B.11．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据对数函数的单调性并借助1比较即可求解.【详解】解：因为为单调递增函数，所以.因为，所以．故选:B．12．已知，，，则下列判断正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.【详解】，即.故选：C.13．已知，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】直接利用对数函数的性质比较大小即可.【详解】，，，，.故选：C.14．下列不等号连接不正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用对数函数的单调性可判断选项A，分别计算每个选项中两个对数的范围，可判断选项B，D ，利用对数的运算，再结合比较的大小可判断选项C，进而可得正确选项.【详解】对于选项A：因为在单调递减，，所以，故选项A正确；对于选项B：，，即，，所以，故选项B正确；对于选项C：，，因为，所以，故选项C正确；对于选项D：，，所以，故选项D不正确；所以只有选项D不正确，故选：D15．若，,，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可比较得出、的大小关系，利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上为增函数，故，则，即，，因此，.故选：D.④指对幂函数综合比较大小16．若，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】因为，，，所以.故选：D.17．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据指对数的性质判断大小关系即可.【详解】由，所以.故选：D18．已知，则a，b，c的大小关系是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用函数的单调性判断出，，，即可得到正确答案.【详解】因为为减函数，所以，即；因为为增函数，所以，即；因为为增函数，所以，即；所以.故选：D19．设，，，则，，的大小关系为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用换底公式将对数换底，再用放缩法得出的大小.【详解】由题得：又综上：故选：A.20．已知，则的大小关系为（    ）A．B． C．D．【答案】B【分析】利用对数函数的单调性、换底公式、指数函数的单调性即可求解难度较大，量力而行，一般是压轴题【详解】易知，又，因为，所以，即；又，所以.故选：B.⑤构造函数比较大小21．已知，，，则下列判断正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】结合对数函数、导数的知识确定正确答案.【详解】（1）比较a，b的大小：因为，所以，所以．（2）比较b，c的大小：令，则．当时，；当时，，所以当时，，即，所以，即．（3）比较a，c大小：因为，所以，即，所以，即．综上，．故选：D．22．已知,则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】构造,求导求单调性即可得,即证明,再构造,,求导求单调性即可得,即,即证明,即可选出选项. 【详解】解:由题知构造,,所以,故在单调递减,所以,即,即,即因为,构造,,所以,即在上单调递增,所以,即,即,即,综上:.故选:D23．设，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】令，则，构造函数，利用的单调性得出；又得，从而得出答案．【详解】令，则，设，则，当时，，所以在上单调递增，故，即；又因为，所以，综上，．故选：D．24．已知，，，则、、的大小关系为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可判断、的大小关系，利用作差法结合基本不等式可判断、的大小关系.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上为减函数， 所以，，即，则，，因此，.故选：D.四、高考真题及模拟题精选1．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量和即可得解.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，则．故选：A.2．（2023·福建·统考一模）设，则a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，故选：.3．（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据指数函数的单调性判断都大于1，利用，即可判断大小，根据对数函数性质可判断c的范围，即得答案.【详解】因为是R上的增函数，故, 又，所以，而为单调减函数，故，故，故选：D4．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据对数运算性质，结合对数函数和指数函数的单调性进行判断即可.【详解】，，即，，因此，故选：B5．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.【详解】，，，，，，.故选：D.6．（2020·全国·统考高考真题）设，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.【详解】因为，，所以.故选：A.7．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数，则，令，解得，由知.在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：A.8．（2022·全国·统考高考真题）设，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解：，，，①，令则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令则，令，所以，所以在上单调递增，可得，即，所以在上单调递增，可得，即，所以故9．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】[方法一]：， 所以；下面比较与的大小关系.记，则，，由于所以当0<x<2时，，即，，所以在上单调递增，所以，即，即；令，则，，由于，在x>0时，，所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c；综上，，故选：B.[方法二]：令，即函数在（1，+∞)上单调递减令，即函数在（1，3)上单调递增综上，，故选：B.10．（2020·全国·统考高考真题）若，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由得：， 令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.五、题型精练，巩固基础1．（2022·天津红桥·统考一模）已知，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用进行分段，结合指数、对数函数的知识求得正确答案.【详解】，，，所以.故选：B2．（2022·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用“分段法”来求得的大小关系.【详解】，，，所以.故选：B3．（2022·北京西城·统考一模）设，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接由对数函数的单调性判断，再由指数的运算得到，即可判断.【详解】由以及，可得.故选：D.4．（2022·海南·统考模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A．B．C．D．【答案】A【分析】由对数函数、指数函数的单调性确定a，b，c所在区间，比较大小即可得解.【详解】解:由在单调递减，得，即；，即；由在R上单调递减，得，即；即.故选:A.5．（2022·河南郑州·统考模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】先求出的范围，再比较大小即可.【详解】，，，故.故选：C.6．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据对数运算性质，结合对数函数和指数函数的单调性进行判断即可.【详解】，，即，，因此，故选：B7．（2022·浙江·模拟预测）已知，，（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】解：因为，即，，，所以.故选：D8．（2021·陕西榆林·校考模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A．B．C．D．【答案】B【分析】根据指数函数和幂函数的单调性，将a，b，c与中间值0，1进行比较，即可得出.【详解】解：在R上是减函数，，在上是增函数，在R上是减函数，，则，即，又在R上是增函数，，即，综上所述，可知，故选：B.9．（2022·吉林长春·长春市实验中学校考二模）已知，则的大小关系为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用指对数运算及函数性质、三角函数单调性判断大小关系.【详解】，.故选：C10．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，找出中间值，让其和进行比较，从而得出结果.【详解】由指数函数的单调性和值域，在上单调递增，故；由的值域，且在上单调递增可知，；根据对数函数的单调性，在上单调递增，故，由在上单调递减，故.结合上述分析可知：.故选：A11．（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知，，，则的大小关系为（    ） A．B．C．D．【答案】B【分析】引入中间变量1，再利用作差法比较的大小，即可得答案；【详解】，，最大，，，，故选：B12．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）已知，，，则，，的大小关系为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据指数函数及幂函数的单调性比较的大小，分别比较与的大小即可得的大小，从而得答案.【详解】解：因为在R上为单调递减函数，所以，又因为在上为单调递增函数，所以，即，所以，即，又因为，又因为，，即有所以，即，所以，即，综上所述：.故选：A.13．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）设，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】计算，利用对数函数性质得到，，比较大小得到答案.【详解】，故，，， .故，即.故选：C14．（2021·广西·广西师范大学附属外国语学校校考模拟预测）已知，，，，则、、、的大小关系是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用对数函数的单调性比较、、与的大小关系，利用中间值法判断出、的大小关系，综合可得出、、、的大小关系.【详解】，，，，，则，，，则，因此，.故选：D.15．（2022·山东滨州·山东省北镇中学校考模拟预测）设，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，从而说明，再比较与的大小关系，即可得解.【详解】解：令，则，所以在定义域上单调递减，所以当时，，即，所以，又，，且，，所以；故选：B16．（2022·浙江·模拟预测）已知，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】，令，利用导数求出函数的单调区间，令 ，利用导数求出函数的单调区间，从而可得出和的大小，从而可得出的大小关系，将两边同时取对数，然后作差，从而可得出的大小关系，即可得出结论.【详解】解：，，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，即，所以，即，所以，由，得，由，得，，因为，所以，所以，所以，即，所以，综上所述.故选：A.17．（2022·江苏南京·金陵中学校考二模）设，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围，利用基本不等式判断的范围，构造新函数并利用导数讨论函数的单调性求出的范围，进而得出结果.【详解】由，得，即，所以，所以，则，即；由，即；设，则，所以在上单调递增，且，所以当时，即，当时，即，又，则， 所以，即，综上，.故选：A18．（2022·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用导数可求得，；分别代入和，整理可得的大小关系.【详解】令，则，在上单调递增，，即，，，即；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，（当且仅当时取等号），，即（当且仅当时取等号），，即；综上所述：.故选：D.