四川省成都市双流中学2022-2023学年高三数学（理）上学期适应性试题（Word版附解析）

2022-2023学年四川省成都市双流中学高三（上）适应性数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合和集合，再由交集定义求解即可.【详解】由已知，，由不等式得，∴，即，∴，∴.故选：D.2.若复数满足，则的虚部为（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件,结合复数的四则运算,以及虚部的定义,即可求解.【详解】故的虚部为-2.故选：3.如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息（） A.26B.24C.20D.19【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合图形得出从A到B传播路径有4条，写出每条途径传播的最大信息量，再求和，即得答案．【详解】解：根据题意，结合图形知，从A到B传播路径有4条，如图所示；途径①传播的最大信息量为3，途径②传播的最大信息量为4；途径③传播的最大信息量为6，途径④传播的最大信息量为6；所以从A向B传递信息，单位时间内传递的最大信息量为，故选：D．4.如图，在平行四边形中，，，若，则（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解． 【详解】在平行四边形中，，，所以，若，则，则．故选：D．5.猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三名同学同时猜一个灯谜，每人猜对的概率均为，并且每人是否猜对相互独立在三人中至少有两人猜对的条件下，甲猜对的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】运用条件概率公式进行求解即可.【详解】设事件:三人中至少有两人猜对,事件:甲猜对,所以有，，因此，故选：A6.酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区（甲、乙、丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”，根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是（）A.甲地，均值为4，中位数为5B.乙地：众数为3，中位数为2C.丙地：均值为7，方差为2D.丁地：极差为，分位数为8【答案】C【解析】【分析】对于选项AC：首先假设不达标，通过均值、中位数和方差的公式运算，检验假设是否成立；对 于选项BD：根据众数、中位数、极差和百分位数定义即可判断.【详解】不妨设8天中，每天查获的酒驾人数从小到大分别为，，，，且，其中，选项A：若不达标，则，因中位数为5，所以，又因为均值为4，故，从而，且，则，，，满足题意，从而甲地有可能不达标；故A错误；选项B：由众数和中位数定义易知，当，，，时，乙地不达标，故B错误；选项C：若不达标，则，由均值7可知，则其余七个数中至少有一个数不等于7，由方差定义可知，，这与方差为2矛盾，从而丙地一定达标，故C正确；选项D：由极差定义和百分位数定义可知，当，时，丁地不达标，故D错误.故选：C.7.正项等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用数列前项和的意义，正项等比数列的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，，而是公比为的正项等比数列，因此，所以“”是“”的充要条件.故选：C 8.已知，则直线通过（）象限A.第一、二、三B.第一、二、四C.第一、三、四D.第二、三、四【答案】A【解析】【分析】将直线化为斜截式，进而通过斜率和纵截距的范围得到直线所过的象限.【详解】由题意，直线，因为，所以，所以直线过第一、二、三象限.故选：A.9.如图是杭州年第届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据扇形的弧长公式得出，表示出，可得答案.【详解】设（弧度），则，；因为，所以，，， 所以.故选：C.10.《九章算术.商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，,,是的中点，过的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为（）A.40B.C.50D.【答案】B【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】如图所示，取的中点N，连结，易知平面为过的平面，则所得的三棱台为，其中上下底面均为等腰直角三角形，三个侧面均为梯形，各个面的面积：，，,，据此可知三棱台的表面积为.本题选择B选项. 【点睛】本题主要考查空间几何体的结构特征，三棱台表面积的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由分式函数值域的求法得：,又,所以,由高斯函数定义的理解得：函数的值域为,得解．【详解】因为，所以,又，所以,由高斯函数的定义可得：函数的值域为,故选：C.12.十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求点称为费马点.已知在中，已知，，且点M在AB线段上，且满足,若点P为的费马点，则（）A.﹣1B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】由余弦定理可得，再由正弦定理可得sinB，进而求得cosB，设，由余弦定理可得CM，进而求出的面积，根据定义可得P为三角形的正等角中心，再由等面积法可得，再由平面向量的数量积公式得解．【详解】因为在中，，，所以由余弦定理可得，由正弦定理可得，即，又B为锐角，所以，设，则，即，解得，即，所以，则，又，则为锐角，由于，故，所以的三个内角均小于，则P为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；所以， 所以，所以，故选：C．【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的运用，考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，解答的关键在于确定的费马点位置，进而利用面积关系求出，即可解决问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，为第二象限角，则_______.【答案】【解析】【分析】由已知结合同角基本关系及二倍角公式先求出，结合所在象限可求得，将余弦二倍角分解进而可求．【详解】因为为第二象限角，所以，将两边平方得，即，所以，易知，可得；所以．故答案为：． 14.函数在处的切线方程为_______.【答案】【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到的值，再求出的值，然后利用直线方程的点斜式得出答案．【详解】由，得，所以．又，即函数在处的切线方程为．即．故答案为：．15.若x，y满足约束条件，设的最大值为____________．【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数过点时，有最大值，由可得，即,所以.故答案为：15 16.一个正四棱台的侧面与底面所成的角为60°，且下底面边长是上底面边长的2倍.若该棱台的体积为，则其下底面边长为______，外接球的表面积为______.【答案】①.2②.【解析】【分析】设正四棱台下底面边长为，可得正四棱台的高为，再由体积可得，则下底面边长可求，设是下底面中心，是上底面中心，是外接球的球心，由棱台的高相等分情况列式可得外接球的半径及表面积.【详解】如上图正四棱台，是底面的中心，是底面的中心，连接，做底面于，则在上，做交于，连接，则，，设正四棱台的下底面边长为，则上底面边长为，，，该棱台的体积为，所以，解得，得正四棱台的下底面边长为2；所以正四棱台上底面的对角线长为，下底面的对角线长为，设外接球的半径为，若外接球的球心在线段上，由，此方程无解； 若外接球的球心在线段的延长线上，由，解得，外接球的表面积为.故答案为：①2；②.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知，为锐角，，．Ⅰ求的值；Ⅱ的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据同角三角函数关系，求得，再利用二倍角公式求得结果；（Ⅱ）根据同角三角函数求得和；再利用两角和差公式求解出，从而得到，利用两角和差正切公式求得结果.【详解】（Ⅰ）已知，为锐角，，所以：则：（Ⅱ）由于，为锐角，则又 由（Ⅰ）知：所以：则：故：【点睛】本题考查同角三角函数、二倍角公式、两角和差公式的应用，关键在于能够熟练的掌握公式构成，属于基础题.18.衢州市某公园供市民休息的石凳是阿基米德多面体，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体（各棱长都相等），已知正方体的棱长为30cm.（1）证明：平面平面；（2）求石凳所对应几何体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据面面平行的性质定理证明即可；（2）先求出正方体的体积，再求出截去的八个四面体的体积，作差即可求解.【小问1详解】多面体为二十四等边体知、、、、、为正方体对应棱上的中点则，，，平面，，平面， 则平面平面.【小问2详解】正方体的体积，截去的每个四面体体积为，所以石凳所对应几何体的体积为.19.如图是某采矿厂的污水排放量单位：吨与矿产品年产量单位：吨的折线图：（1）依据折线图计算相关系数精确到，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合（2）若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量．相关公式：，参考数据：．回归方程中，【答案】（1）相关系数，可用线性回归模型拟合y与x的关系（2），吨 【解析】【分析】（1）代入数据，算出相关系数r，将其绝对值与比较，即可判断可用线性回归模型拟合y与x的关系．（2）先求出回归方程，求出当时的值，即为预测值．【小问1详解】由折线图得如下数据计算得：，，，所以相关系数，因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系【小问2详解】，所以回归方程为，当时，，所以预测年产量为10吨时的污水排放量为吨20.已知圆，一动圆与直线相切且与圆C外切．（1）求动圆圆心P的轨迹T的方程；（2）若经过定点的直线l与曲线相交于两点，M是线段的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，方程为【解析】 【分析】（1）利用直接法，设出点坐标根据相切关系找到等量关系即可求动圆圆心P的轨迹T的方程；（2）由题意设直线l的方程为，联立抛物线方程，利用，从而由向量的数量积的坐标运算于韦达定理可得，即可求出直线方程．【小问1详解】由题意知圆的圆心，半径；设，易知点在直线右侧，所以到直线的距离为，又，由相切可得，即化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为；【小问2详解】如下图所示：设，．由题意，设直线l的方程为联立T的方程可得则，由韦达定理可得，，所以，，假设存在，使得,则，又，所以； ，由可得，所以，代入化简可得，解得，∴存在直线，使得.21.已知函数，，.（1）求在区间上的最值.（2）当时，恒有，求实数的取值范围.【答案】（1）最小值为，最大值为（2）【解析】【分析】（1）求得，得出的单调性，求得，再结合，进而求得函数的最值；（2）令，根据题意转化为，求得，且，令，求得，分和，两种情讨论，分别求得，即可求解.【小问1详解】解：由题意，函数，可得，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以， 又因，且，可得，所以，故在区间上的最小值为，最大值为.【小问2详解】解：令，因为，要使得，只需即可，又由，且，令，则，当时，，有，即，符合题意；当时，，若，即时，，此时，即，符合题意；若，即时，在上单调递减，在上单调递增，可得，此时，不合题意，综上可得，实数的取值范围为.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C的参数方程为（为参数），直线l的倾斜角为，且过点．（1）求曲线C的普通方程与直线l的参数方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的倾斜角． 【答案】（1），（为参数）；（2）或【解析】【分析】（1）将曲线C利用参数方程转普通方程，根据直线l的倾斜角与过定点写出参数方程即可.（2）将直线的参数方程代入，设，两点所对的参数为，利用韦达定理代入中，化简即可求解.【小问1详解】由曲线的参数方程为（为参数），得，，，即.因为直线l的倾斜角为，且过点，所以直线l的参数方程（为参数），【小问2详解】将直线的参数方程代入，可得，即，设，两点所对的参数为，，一正一负，，而，，，，，解得，为直线的倾斜角，， ，或，直线的倾斜角为或.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数.（1）若（m，）对恒成立，求的最小值；（2）若恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)去掉绝对值符号，画出函数的图像,可知函数的最小值为，利用函数的最小值转化，再结合基本不等式求解即可；(2)由不等式构造新函数，可知函数恒过定点，再利用函数的图像求解即可.【小问1详解】由题可得，，函数图像如下 如图所示，，则，即，，可得，于是，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.【小问2详解】令，则是恒过点，斜率为的直线，由恒成立，则表示函数图像恒在函数图像上方，当过点时，，结合图像分析可得，，