十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题16解析几何填空题（文科）（Word版附解析）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—解析几何多选、填空题目录题型一：直线的方程1题型二：圆的方程4题型三：直线和圆的综合问题8题型四：椭圆15题型五：双曲线21题型六：抛物线31题型七：圆锥曲线的综合问题35题型一：直线的方程一、填空题1．(2017年高考数学上海(文理科)·第16题)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点、、、以及四个标记为“#”的点在正方形的顶点处,设集合,点,过作直线,使得不在上的“#”的点分布在的两侧．用和分别表示一侧和另一侧的“#”的点到的距离之和．若过的直线中有且只有一条满足,则中所有这样的为________．【答案】、．【解析】设记为“”的四个点为,线段的中点分别为,易知为平行四边形,且记点到直线的距离为,,,,根据题意,四个点不在的同侧,那么就有两种可能:(1)若的两侧分别有两个点,如图2,点和分别在的两侧,若,则有,即和所在的线段平行且相等,于是可构成相应的平行四边形,因此直线必过的中点．若点和分别在直线的两侧,同理可知直线必过的中点． 于是,直线必过平行四边形的对角线的交点．(2)若的一侧有三个点,另一侧有一个点,如图3,点和分别在的两侧,若,即,由平面几何知识有,,且,则有,即和所在的线段平行且相等,于是可构成相应的平行四边形,因此直线必过的中点．若点和分别在直线的两侧,同理可知直线必过的中点．于是,直线必过平行四边形的对角线的交点．综上,满足已知条件的直线肯定要经过和的交点．2．(2016高考数学上海文科·第13题)设，若关于的方程组无解，则的取值范围是．【答案】【解析】∵方程组无解等价于两直线平行，∴，且，又∵为正数∴(，且)，即的取值范围是．3．(2016高考数学上海文科·第3题)已知平行直线，则的距离．【答案】【解析】利用两平行线间距离公式得4．(2014高考数学安徽文科·第15题)若直线与曲线满足下列两个条件：(ⅰ)直线在点处与曲线相切；(ⅱ)曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线：在点处“切过”曲线：； ②直线：在点处“切过”曲线：；③直线：在点处“切过”曲线：；④直线：在点处“切过”曲线：；⑤直线：在点处“切过”曲线：．【答案】①③④解析：由在某点处的切过曲线的定义可知，在曲线上，曲线C在过的切线的两侧，所以①曲线：在点处的切线为直线，且曲线穿过，所以说法正确；②曲线：在点处的切线为直线，又恒成立，故②说法错误；③曲线：在点处的切线为，又当时，，当时，，故③说法正确；④曲线：在在点处的切线为，又当时，，当时，，故④说法正确；⑤曲线：在点处的切线为，令，，当时，当，当时，，所以在单调递减，在单调递增，且，所以曲线C在切线同一侧，故⑤说法错误．综上可得正确的是①③④．5．(2020北京高考·第15题)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③题型二：圆的方程1．(2020年浙江省高考数学试卷·第15题)设直线，圆，，若直线与，都相切，则_______；b=______．【答案】(1)．(2)．解析：由题意，到直线的距离等于半径，即，，所以，所以(舍)或者，解得．2．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第14题)设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．【答案】【解析】∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴， ，解得，∴，，的方程为．故答案为：3．(2022新高考全国II卷·第15题)设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．【答案】解析：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：4．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第15题)过四点中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】或或或；解析：依题意设圆的方程为，若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆方程为，即；故答案为：或或或；5．(2020江苏高考·第14题)在平面直角坐标系中，已知，，是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是__________．【答案】【解析】设圆心到直线距离为，则所以令(负值舍去)当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为 ，故答案为：6．(2018年高考数学天津(文)·第12题)在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为．【答案】解析：设所求圆的方程为，把三点的坐标代入方程，得：，解得，所以所求圆的方程为．7．(2016高考数学四川文科·第15题)在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身．现有下列命题：若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；单元圆上的“伴随点”仍在单位圆上；若两点关于轴对称，则它们的“伴随点”关于轴对称；④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是(写出所有真命题的序号)．【答案】②③解析：对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故错误；对于②，令单位圆上点的坐标为其伴随点为仍在单位圆上，故正确；③设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为与的图象关于轴对称，所以正确；对于④，直线上取点后得其伴随点 消参后轨迹是圆，故错误．所以正确的为序号为②③．题型三：直线和圆的综合问题一、填空题1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第15题)已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．【答案】(中任意一个皆可以)解析：设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案为：(中任意一个皆可以)．2．(2022新高考全国I卷·第14题)写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．【答案】或或解析：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或．3．(2021高考天津·第12题)若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．【答案】解析：设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故．故答案为：．4．(2020天津高考·第12题)已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．【答案】5【解析】因为圆心到直线的距离，由可得，解得．故答案为：．5．(2019·浙江·文理·第12题)已知圆的圆心坐标是，半径长是．若直线与圆相切于点，则，． 【答案】，【解析】由于直线与圆相切，故，则，直线：代入可得，故．6．(2018年高考数学江苏卷·第12题)在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为．【答案】3解析：设，则圆心，易得圆C：，与联立解得点D的横坐标，所以．所以，，由得，，解得a＝3或a＝－1，因为a＞0，所以a＝3．7．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第15题)直线与圆交于，两点，则．【答案】解析：解法1：将代入，化简得：，解得或，所以，所以．解法2：圆的标准方程为，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以．8．(2014高考数学重庆文科·第14题)已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________．【答案】=0或=6．解析：将圆的方程转换成标准方程得，圆C的圆心为(-1,2)，半径为3．因为直线与圆C的交点A,B满足，所以为等腰直角三角形，则弦AB的长度为，且C到AB的距离为，而由点到直线的距离公式得C到AB的距离为，所以，解得=0或=6．9．(2014高考数学上海文科·第14题)已知曲线直线．若对于点存在上的点和上的点使得,则的取值范围为_____________．【答案】解析:由已知得曲线为以原点为圆心,2为半径的左半圆．为的中点． 设,则．因为在曲线上,则即．10．(2014高考数学山东文科·第14题)圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为　　．【答案】解析：因为圆心在直线上，所以可设圆心坐标为,因为圆与轴相切，所以,半径为,又因为圆截轴所得弦长为,所以,解得,故所求圆的方程为．11．(2014高考数学湖北文科·第17题)已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上任意一点，都有，则(1)；(2)．【答案】(1)－　(2)解析：设点M(cosθ，sinθ)，则由|MB|＝λ|MA|得(cosθ－b)2＋sin2θ＝λ2，即－2bcosθ＋b2＋1＝4λ2cosθ＋5λ2对任意的θ都成立，所以又由|MB|＝λ|MA|，得λ>0，且b≠－2，解得12．(2014高考数学江苏·第9题)在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为．【答案】解析：圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为，所求弦长为．13．(2014高考数学大纲文科·第16题)直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于________．【答案】　解析:方法1:由已知条件易知过点的切线的斜率是存在的，设切线的斜率为，在过的的切线方程为，化简得，，则由圆心到直线的距离等于半径可得或，设两直线的夹角为，由两直线的夹角计算公式可得． 方法2:由图可知，ABO为直角三角形，AO=，OB=，则AB=，则tan，设两直线的夹角为，则14．(2015高考数学重庆文科·第12题)若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点处的切线方程为___________．【答案】解析：由点在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：，所以该圆在点P处的切线方程为即，故填：．考点：圆的切线．15．(2015高考数学山东文科·第13题)过点作圆的两条切线，切点分别为，则=．【答案】解析：如图，连接，在直角三角形中，所以，，，故．16．(2015高考数学湖南文科·第13题)若直线与圆相交于两点，且(为坐标原点)，则=_____．【答案】解析：如图直线与圆交于A、B两点，O为坐标原点，且，则圆心(0，0)到直线的距离为，．故答案 为2．17．(2015高考数学湖北文科·第16题)如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，(在的上方)，且．(Ⅰ)圆的标准方程为_________；(Ⅱ)圆在点处的切线在轴上的截距为_________．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．解析：设点的坐标为，则由圆与轴相切于点知，点的横坐标为，即，半径．又因为，所以，即，所以圆的标准方程为，令得：．设圆在点处的切线方程为，则圆心到其距离为：，解之得．即圆在点处的切线方程为，于是令可得，即圆在点处的切线在轴上的截距为，故应填和．18．(2015高考数学江苏文理·第10题)在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______．【答案】解析：由题意得：半径等于，当且仅当时取等号，所以半径最大为，所求圆为 19．(2017年高考数学北京文科·第11题)已知,且,则的取值范围是__________．【答案】 【解析】解法一:代入消元转化为二次函数在闭区间上最值问题;,所以当或时,取最大值;当时,取最小值;因此取值范围为． 解法二:利用数形结合,如图,表示:线段上的动点到原点的距离,由图易知有,故有． 解法三:利用三角换元,令,由,知且代入得化简得且知,得,故有．20．(2016高考数学浙江文科·第10题)已知，方程表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______．【答案】；5解析：由题意或2，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为，不表示圆．21．(2016高考数学天津文科·第12题)已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直线的距离为，则圆的方程为__________．【答案】解析：设圆心为，则圆心到直线的距离，得，半径，所以圆方程为．22．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第15题)已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则=______． 【答案】4【解析】法1：由，得，代入圆的方程，并整理，得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．法2：根据垂径定理得弦长，因此．23．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第15题)设直线与圆相交于A，B两点，若，则圆的面积为．【答案】【解析】圆，即，圆心为，由到直线的距离为，所以由得所以圆的面积为．题型四：椭圆一、填空题1．(2021年高考全国甲卷文科·第16题)已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【答案】解析：因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以，，即四边形面积等于．故答案为：．2．(2022新高考全国I卷·第16题)已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则 的周长是________________．【答案】13解析：∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为故答案为：13．三、解答题1．(2019·全国Ⅲ·文·第14题)设为椭圆C：的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为___________． 【答案】【解析】设，，，椭圆的，，，，由于为上一点且在第一象限，可得，△为等腰三角形，可能或，即有，即，；，即，舍去．可得．故答案为：．2．(2018年高考数学浙江卷·第17题)已知点，椭圆上两点满足，则当时，点横坐标的绝对值最大．【答案】5解析：解法1：本题的通法为应用圆锥曲线中非对称结构应用韦达定理的模型，设，当直线的斜率不存在时，此时；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立方程，可得，由题意，得，由韦达定理得：，，由可得，联立后解得：，所以，(当且仅当时取等号)，此时，得，经验证符合题意，所以当时，点的横坐标的绝对值最大．解法2：联立求解，设，由，可得，由均在椭圆上可知， ，先消，得，再代入得，当时，有最大值4，即点的横坐标的绝对值的最大值为2．解法3：三角换元，设，因为，则，所以，即，所以，即，当时，点的横坐标的绝对值最大．解法4：借助常用的椭圆的两斜率之积等于模型当直线的斜率不存在时，此时；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，设，中点为，由，可得，由，得，解得(当且仅当时取等号)，当时，代入椭圆方程可得．3．(2014高考数学辽宁文科·第15题)已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于 的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则______________【答案】12解析：如图所示，所以第15题解析图4．(2014高考数学江西文科·第14题)设椭圆的左右焦点为,作作轴的垂线与交于两点,与轴交于点,若,则椭圆的离心率等于________．【答案】 分析:因为平行于,所以为中点,又,所以设则因此5．(2015高考数学浙江文科·第15题)椭圆()的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是．【答案】解析：设关于直线的对称点为，则有，解得，所以在椭圆上，即有，解得，所以离心率．6．(2016高考数学江苏文理科·第10题)如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是． 【答案】．解析：由题意得，直线与椭圆方程联立可得，，由可得，，，则，由可得，则．三、解答题1．(2021高考天津·第18题)已知椭圆右焦点为，上顶点为，离心率为，且．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．【答案】(1)；(2)．解析：(1)易知点、，故，因为椭圆的离心率为，故，，因此，椭圆的方程为；(2)设点为椭圆上一点，先证明直线的方程为，联立，消去并整理得，， 因此，椭圆在点处的切线方程为．在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，直线的斜率为，所以，直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，因为，则，即，整理可得，所以，，因为，，故，，所以，直线的方程为，即．题型五：双曲线二、填空题1．(2023年北京卷·第12题)已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．【答案】解析：令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为．故答案为：2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第16题)已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．【答案】解析：方法一：依题意，设，则，在中，，则，故或(舍去)，所以，，则，故，所以在中，，整理得，故．方法二:依题意，得，令，因为，所以，则，又，所以，则，又点在上，则，整理得，则， 所以，即，整理得，则，解得或，又，所以或(舍去)，故．故答案为：．3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第13题)已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________【答案】解析:因为双曲线的离心率为2，所以，所以，所以该双曲线的渐近线方程为．故答案为．4．(2021年全国高考乙卷文科·第14题)双曲线的右焦点到直线的距离为________．【答案】解析：由已知，，所以双曲线的右焦点为，所以右焦点到直线的距离为．故答案为：5．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第14题)设双曲线C：(a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．【答案】【解析】由双曲线方程可得其焦点在轴上，因为其一条渐近线为，所以，．故答案为： 6．(2022高考北京卷·第12题)已知双曲线的渐近线方程为，则__________．【答案】解析:对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，则，，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，解得；故答案为：7．(2022年浙江省高考数学试题·第16题)已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．【答案】解析:过且斜率为的直线，渐近线，联立，得，由，得而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率．故答案为：． 8．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第15题)记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2(满足皆可)【解析】，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以，故答案为：2(满足皆可)9．(2020江苏高考·第6题)在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是____．【答案】【解析】双曲线，故．由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为．故答案为：10．(2020北京高考·第12题)已知双曲线，则的右焦点的坐标为_________；的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】(1)．(2)．【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即，所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为．故答案为：；．11．(2019·江苏·文理·第7题)在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是.【答案】【解析】由已知得，所以，又，所以渐近线方程为.12．(2018年高考数学江苏卷·第8题)在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是．【答案】2解析：因为双曲线的焦点到渐近线，即的距离为，所以，因此，．13．(2018年高考数学上海·第2题)双曲线的渐近线方程为．【答案】解析：由题意知：，所以渐近线方程为．14．(2018年高考数学北京(文)·第12题)若双曲线的离心率为，则．【答案】4解析：在双曲线中，，且，所以，因为，所以15．(2014高考数学浙江文科·第17题)设直线与双曲线 的两条渐近线分别交于点．若点满足，则该双曲线的离心率是______．【答案】解析:由于双曲线的渐近线方程为．由得，由得，所以线段的中点的坐标为．设直线：，因为，所以，所以，化简得，又，消去，得双曲线的离心率．16．(2014高考数学四川文科·第11题)双曲线的离心率等于____________．【答案】．解析:．17．(2014高考数学山东文科·第15题)已知双曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为　　　　　　．【答案】解析：由已知,所以,把代入双曲线方程，得,所以直线被双曲线截得的弦长为,从而,,所以,所以,因此渐近线方程为．18．(2014高考数学北京文科·第10题)设双曲线的两个焦点为，，一个顶点式，则的方程为．【答案】解析：双曲线C的两个焦点为，，一个顶点是，∴，，∴，∴C的方程为．故答案为：．19．(2015高考数学新课标2文科·第15题)已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为． 【答案】解析：根据双曲线渐近线方程为,可设双曲线的方程为,把代入得．所以双曲线的方程为．20．(2015高考数学新课标1文科·第16题)已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为．【答案】解析：设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，由于是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，∵，(－3,0)，∴直线的方程为，即代入整理得，解得或(舍)，所以P点的纵坐标为，∴==．21．(2015高考数学上海文科·第12题)已知双曲线、的顶点重合，的方程为．若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为．【答案】解析：设的方程为，可得的一条渐近线方程为，的一条渐近线方程为．由题意可知，故的方程为．22．(2015高考数学山东文科·第15题)过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点．若点的横坐标为,则的离心率为．【答案】 解析：双曲线的右焦点为．不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入求得点的横坐标为，由，得，解之得，(舍去，因为离心率)，故双曲线的离心率为．23．(2015高考数学北京文科·第12题)已知是双曲线()的一个焦点，则．【答案】解析：由题意知，，所以．24．(2015高考数学江苏文理·第12题)在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为_______．【答案】解析：设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为25．(2017年高考数学上海(文理科)·第10题)设双曲线的焦点为、,为该双曲线上的一点,若,则________．【答案】11【解析】．26．(2017年高考数学山东文科·第15题)在平面直角坐标系xOy中,双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于两点．若,则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】 【解析】由抛物线定义可得:, 因为,所以渐近线方程为．27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第14题)双曲线的一条渐近线方程为,则 =_______．【答案】【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：，而该双曲线的一条渐近线方程为，而，所以．28．(2017年高考数学江苏文理科·第8题)在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是______．【答案】 解析:右准线方程为,渐近线为,则,,,,则．29．(2017年高考数学北京文科·第10题)若双曲线的离心率为,则实数_________．【答案】 【解析】法一:基本量法,由,即． 法二:由,即．30．(2016高考数学浙江文科·第13题)设双曲线的左、右焦点分别为．若点在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是_______．【答案】解析：由已知，则，设是双曲线上任一点，由对称性不妨设P在右支上，则，为锐角，则，即，解得，所以，．31．(2016高考数学山东文科·第14题)已知双曲线：．矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是_______．【答案】解析：依题意，不妨设，作出图象如下图所示 则故离心率32．(2016高考数学江苏文理科·第3题)在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是．【答案】．解析：，因此焦距为．33(2016高考数学北京文科·第12题)已知双曲线()的一条渐近线为，一个焦点为，则_______；_____________．【答案】解析：依题意有,结合,解得．题型六：抛物线一、填空题1．(2023年全国乙卷文科·第13题)已知点在抛物线C：上，则A到C准线的距离为______．【答案】解析：由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为． 故答案为：．2．(2021年新高考Ⅰ卷·第14题)已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．【答案】解析:不妨设因为，所以的准线方程为,故答案为．3．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第13题)斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．【答案】解析：∵抛物线的方程为，∴抛物线焦点F坐标为，又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解得，所以4．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第14题)斜率为直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．【答案】解析：∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得所以解法二：设，则, 过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示．故答案为：5．(2021高考北京·第12题)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点．若，则点的横坐标为_______；的面积为_______．【答案】①．5②．解析：因为抛物线的方程为，故且．因为，，解得，故，所以，故答案为：5；．6．(2019·上海·文理·第9题)过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，在上方，为抛物线上一点，，则______.【答案】3【解析】依题意求得：，，设M坐标有：，代入有：即：.7．(2019·北京·文·第11题)设抛物线的焦点为，准线为，则以为圆心，且与相切的圆的方程为　． 【答案】【解析】如图，抛物线的焦点为因为所求圆的圆心，且与准线相切，所以圆的半径为，则所求圆的方程为．8．(2018年高考数学北京(文)·第10题)已知直线过点且垂直于轴，若被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______.【答案】解析：由题可得，点在抛物线上，将代入中，解得，所以．由抛物线方程可得，所以焦点坐标为．9．(2014高考数学上海文科·第4题)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则抛物线的准线方程为__．【答案】解析:易知焦点为,则准线方程为．10．(2014高考数学陕西文科·第11题)抛物线的准线方程为________．【答案】解析：由已知可知准线方程为．11．(2014高考数学湖南文科·第14题)平面上一机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等．若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是．【答案】解析：由抛物线定义可知，机器人在曲线上，且抛物线与直线无交点，联立得方程无解，即12．(2015高考数学上海文科·第7题)抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则．【答案】2解析：根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点 运动到原点时，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有．题型七：圆锥曲线的综合问题1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第10题)设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)．A．B．C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形【答案】AC解析：A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为．B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误．C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确．D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形面积为，由上述分析可知，所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误．故选：AC．2．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第9题)已知曲线．(　　)A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD解析：对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD．3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第10题)已知曲线．(　　)A．若m>n>0，则C椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD解析：对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD．4．(2022新高考全国II卷·第10题)已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A．B两点，其中A在第一象限，点，若，则(　　)A．直线的斜率为B． C．D．【答案】ACD解析：对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则 为钝角，又，则，D正确．故选：ACD．5．(2022新高考全国I卷·第11题)已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则(　　)A．C的准线为B．直线AB与C相切C．D．【答案】BCD解析:将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确．故选：BCD6．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第11题)已知直线与圆，点，则下列说法正确的是(　　)A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD 解析:圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确．故选：ABD．二、填空题1．(2021年高考浙江卷·第16题)已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________．【答案】(1)．(2)．解析:如图所示：不妨假设，设切点为，，所以,由，所以，，于是，即，所以． 故答案为；．2．(2022新高考全国II卷·第16题)已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．【答案】解析：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或(舍去)，又，即，解得或(舍去)，所以直线，即；故答案为：3．(2021高考天津·第18题)已知椭圆右焦点为，上顶点为，离心率为 ，且．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．【答案】(1)；(2)．解析：(1)易知点、，故，因为椭圆的离心率为，故，，因此，椭圆的方程为；(2)设点为椭圆上一点，先证明直线的方程为，联立，消去并整理得，，因此，椭圆在点处的切线方程为．在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，直线的斜率为，所以，直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点， 因为，则，即，整理可得，所以，，因为，，故，，所以，直线的方程为，即．三、解答题1．(2019·浙江·文理·第15题)已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是．【答案】【解析】解法一：由题意可知，又在中．由椭圆定义知．在等腰△中，，，为中点，所以．解法二：应用焦半径公式，由题意可知，由中位线定理可得，即．求得，所以． 解法三：联立求点P坐标，由题意可知，由中位线定理可得，设可得，与方程联立，解得，(舍)．所以，所以．2．(2017年高考数学天津文科·第12题)设抛物线的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若，则圆的方程为____________．【答案】设坐标原点为,由题意得：，∠，，，∴∴圆的方程为：3．(2023年天津卷·第12题)过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为_________．【答案】解析：易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．当时，同理可得．故答案为：．4．(2019·上海·文理·第11题)已知数列满足()，在双曲线 上，则_______.【答案】【解析】法一：由得：，∴，，利用两点间距离公式求解极限。法二(极限法)：当时，与渐近线平行，在x轴投影为1，渐近线倾斜角满足：，所以.