十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题04导数小题（文科）（Word版附解析）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—导数小题目录题型一：导数的概念及其几何意义1题型二：导数与函数的单调性9题型三：导数与函数的极值、最值11题型四：导数与函数的零点14题型五：导数的综合应用15题型一：导数的概念及其几何意义1．(2023年全国甲卷文科·第8题)曲线在点处切线方程为(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为．故选：C2．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点可以作曲线的两条切线，则(　　)A．B．C．D．【答案】D 解析:在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则．当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点,故选D．3．(2019·全国Ⅲ·文·第6题)已知曲线在点处的切线方程为，则(　　)A．B．C．D．【答案】D【解析】的导数为，由在点处的切线方程为，可得，解得，又切点为，可得，即，故选：D． 4．(2019·全国Ⅱ·文·第10题)曲线在点处的切线方程为(　　)A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第6题)设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)A．B．C．D．【答案】D解法1：由基本函数，，的奇偶性，结合为奇函数，易知．则，求导数，得，，由点斜式得，即．解法2：为奇函数，，即，得．则，求导数，得，，由点斜式得，即．6．(2015高考数学北京文科·第8题)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)年月日年月日注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每千米平均耗油量为(　　)A．升B．升C．升D．升【答案】B解析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升．而这段时间内行驶的里程数千米．所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B．7．(2016高考数学四川文科·第10题)设直线分别是函数图象上点处的切线，与垂直相交于点，且分别与轴相交于点,则的面积的取值范围是(　　)A．B．C．D．【答案】A解析：设(不妨设)，则由导数的几何意义易得切线 的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即．分别令得又与的交点为，故选A．8．(2016高考数学山东文科·第10题)若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是(　　)A．B．C．D．【答案】A解析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一．当时，，有，所以在函数图象存在两点使条件成立，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A．9．(2015高考数学安徽文科·第10题)函数的图像如图所示，则下列结论成立的是(　　)(　　)A．B．C．D．【答案】A解析：由函数的图象可知，令又，可知是的两根由图可知 ∴；故A正确．10．(2017年高考数学浙江文理科·第7题)函数的导函数的图象如图所示,则函数的图象可能是xyO(第7题图)xyOxyOAB(　　)xyOxyOCD【答案】D【解析】(定义法)导数大于零,原函数递增,导数小于零,原函数递减,对照导函数图象和原函数图象．故选D．(特例法)取导函数,勾画原函数图象．故选D．11．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第15题)曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________．【答案】 【解析】设切线的切点坐标为，，所以切点坐标为，所求的切线方程为，即．故答案为：．12．(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第15题)设函数．若，则a=_________．【答案】1【解析】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：．故答案为：．13．(2022新高考全国II卷·第14题)曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】①．②．解析：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；14．(2022新高考全国I卷·第15题)若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】解析：∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：15．(2019·天津·文·第11题)曲线在点处的切线方程为________．【答案】【思路分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将代入导数方程得出在点处的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．【解析】由题意，可知，因为．曲线在点处的切线方程：，整理得：．故答案为：．16．(2019·全国Ⅰ·文·第13题)曲线在点处的切线方程为　　．【答案】【解析】，结合导数的几何意义曲线在点处的切线方程的斜率，切线方程为.17．(2019·江苏·文理·第11题)在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点 处的切线经过点(为自然对数的底数)，则点的坐标是______.【答案】【解析】设切点，因为，所以切线的斜率，又切线过点，所以，即，解得，则点的坐标是.18．(2018年高考数学天津(文)·第10题)已知函数，为的导函数，则的值为．【答案】解析：．19．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第13题)曲线在点处的切线方程为__________．【答案】解析：，当时，，曲线在点处的切线方程为．故答案为．20．(2014高考数学江西文科·第11题)若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______．【答案】分析:因为,设切点,则又21．(2014高考数学广东文科·第11题)曲线在点处的切线方程为．【答案】　解析：，所求切线斜是，切线方程是，即．22．(2014高考数学江苏·第11题)在平面直角坐标系中，若曲线(a，b为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是．【答案】解析：曲线过点，则①，又，所以②，由①、②解得所以．23．(2015高考数学新课标2文科·第16题)已知曲线在点处的切线与曲线相切,则．【答案】8分析：由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与联立得,显然,所以由．24．(2015高考数学新课标1文科·第14题)已知函数的图像在点的处的切线过点，则．【答案】1 分析：∵，∴，即切线斜率，又∵，∴切点为(1，)，∵切线过(2,7)，∴，解得1．25．(2015高考数学天津文科·第11题)已知函数,其中为实数,为的导函数,若,则的值为．【答案】3解析：因为,所以．26．(2015高考数学陕西文科·第15题)函数在其极值点处的切线方程为____________．【答案】解析：，令，此时函数在其极值点处的切线方程为27．(2017年高考数学天津文科·第10题)已知，设函数的图象在点(1，)处的切线为l，则l在y轴上的截距为____________．【答案】1【基本解法1】，切点为，，则切线的斜率为，切线方程为：，令得出，在轴的截距为．28．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第14题)曲线在处的切线方程为________________．【答案】【解析】设,则,所以,所以在处的切线方程为,即;29．(2016高考数学天津文科·第10题)已知函数为的导函数，则的值为__________．【答案】3解析：由题意得则得．30．(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第16题)已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_____．【答案】【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即． 题型二：导数与函数的单调性1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第6题)已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为(　　)．A．B．eC．D．【答案】C解析：依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．2．(2014高考数学课标2文科·第11题)若函数在区间上单调递增，则的取值范围是(　　)A．B．C．D．【答案】D解析：∵函数在上单调递增，∴恒成立。∴恒成立，∵，∴。∴选D。3．(2015高考数学陕西文科·第9题)设，则(　　)A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数【答案】B解析：又的定义域为是关于原点对称，所以是奇函数；是增函数．故答案选4．(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第12题)若函数在单调递增，则a的取值范围是(　　)A．B．C．D．【答案】C【解析一】对恒成立，故，即恒成立，即对恒成立 构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．【解析二】用特殊值法：取，，但，不具备在单调递增，排除A，B，D．故选C．题型三：导数与函数的极值、最值1．(2021年全国高考乙卷文科·第12题)设，若为函数的极大值点，则(　　)AB．C．D．【答案】D解析：若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故．依题意，为函数的极大值点，当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故．当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故．综上所述，成立．故选：D2．(2022年全国高考甲卷数学(文)·第8题)当时，函数取得最大值，则(　　)A．B．C．D．1【答案】B【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B．3．(2014高考数学课标2文科·第3题)函数在处导数存在，若：；：是的极值点，则(　　)Ａ．是的充分必要条件Ｂ．是的充分条件，但不是的必要条件(　　)Ｃ．是的必要条件，但不是的充分条件Ｄ．既不是的充分条件，也不是的必要条件【答案】C解析:∵,而，∴选Ｃ．4．(2014高考数学辽宁文科·第12题)当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是(　　)A．B．C．D．【答案】C 解析：方法一，取特殊值，排除法令，故排除B，又当时，，成立，排除A，D，故选C方法二，分类讨论，分离参数法当时，显然成立；当时，可化为当时，可化为，令当时，当时，，综上，故选C方法三，利用导数求极值，求区间端点值。对恒成立必要性，记，综上，当时，对有f(x)的最小值非负，所以，故选C5．(2016高考数学四川文科·第6题)已知为函数的极小值点，则(　　)(A)(B)(C)(D)【答案】D 解析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，有已知得，故选D．题型四：导数与函数的零点1．(2023年全国乙卷文科·第8题)函数存在3个零点，则的取值范围是(　　)A．B．C．D．【答案】B解析：，则，若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，令，解得或，且当时，，当，，故的极大值为，极小值为，若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B．2．(2014高考数学课标1文科·第12题)已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：由已知，，令，得或，当时，； 且，有小于零的零点，不符合题意。当时，要使有唯一的零点且＞0，只需，即，．选C解析：由已知，=有唯一的正零点，等价于有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记，由，，，，要使有唯一的正零根，只需，选C题型五：导数的综合应用1．(2014高考数学湖南文科·第9题)若，则(　　)A．B．C．D．【答案】C解析：令，则,在(0,1)上不单调，A,B,错；令，则，在(0,1)上单调递减，故，即答案为C2．(2018年高考数学江苏卷·第11题)若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为．【答案】–3解析：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此，，从而函数在上，单调递增，在上单调递减，所以，，最大值与最小值的和为． 3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第16题)已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．【答案】解析:由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以．故答案为．