十年高考数学真题分项汇编(2014-2023)(理科)专题10平面向量(理科)(Word版附解析)
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十年(2014-2023)年高考真题分项汇编—平面向量目录题型一:平面向量的概念及线性运算1题型二:平面向量的基本定理3题型三:平面向量的坐标运算9题型四:平面向量中的平行与垂直13题型五:平面向量的数量积与夹角问题14题型六:平面向量的模长问题33题型七:平面向量的综合应用38题型一:平面向量的概念及线性运算一、选择题1.(2021年高考浙江卷·第3题)已知非零向量,则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B解析:若,则,推不出;若,则必成立,故“”是“”的必要不充分条件,故选B.2.(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第3题)在中,D是AB边上的中点,则=( )A.B.C.D.【答案】C解析:3.(2022新高考全国I卷·第3题)在中,点D在边AB上,.记,则( )A.B.C.D.【答案】B解析:因点D在边AB上,,所以,即,所以.故选:B.
4.(2019·上海·第13题)已知直线方程的一个方向向量可以是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】依题意:为直线的一个法向量,∴方向向量为,选D.【点评】本题主要考查直线的方向量.5.(2019·全国Ⅰ·理·第4题)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为(,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是( )A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm【答案】答案:B解析:如图,,,则,,,所以身高,又,所以,身高,故,故选B.二、填空题1.(2020北京高考·第13题)已知正方形的边长为,点满足,则_________;_________.【答案】(1).(2).【解析】以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则点、、、,,
则点,,,因此,,.故答案为:;.2.(2014高考数学北京理科·第10题)已知向量、满足||=1,=(2,1),且(),则=.【答案】解析:∵,∴,3.(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量,不平行,向量与平行,则实数_________.【答案】解析:因为向量与平行,所以,则所以.题型二:平面向量的基本定理一、选择题1.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第6题)在中,为边上的中线,为的中点,则( )A.B.C.D.【答案】A解析:在中,为边上的中线,为的中点,,故选A.2.(2014高考数学福建理科·第8题)在下列向量组中,可以把向量表示出来的是( )A.B.C.D.【答案】B解析:根据,选项A:,则,,无解,故选项A不能;选项B:,则,,解得,,,故选项B能.选项C:,则,,无解,故选项C不能.选项D:,则,,无解,故选项D不能.故选:B.
3.(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D为ABC所在平面内一点,则( )A.B.C.D.【答案】A解析:由题知=,故选A.4.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中,,,动点在以点为圆心且与相切的圆上,若,则的最大值为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】法一:以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立平面直角坐标系,如下图则,,,,连结,过点作于点在中,有即所以圆的方程为可设由可得
所以,所以其中,所以的最大值为,故选A.法二:通过点作于点,由,,可求得又由,可求得由等和线定理可知,当点的切线(即)与平行时,取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等,均为而此时点到直线的距离为所以,所以的最大值为,故选A.另一种表达:如图,由“等和线”相关知识知,当点在如图所示位置时,最大,且此时若
,则有,由三角形全等可得,知,所以选A.法三:如图,建立平面直角坐标系设根据等面积公式可得圆的半径是,即圆的方程是,若满足即,,所以,设,即,点在圆上,所以圆心到直线的距离,即,解得,所以的最大值是,即的最大值是,故选A.法四:由题意,画出右图.
设与切于点,连接.以为原点,为轴正半轴,为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为.∵,.∴.切于点.∴⊥.∴是中斜边上的高.即的半径为.∵在上.∴点的轨迹方程为.设点坐标,可以设出点坐标满足的参数方程如下:而,,.∵∴,.两式相加得:(其中,)当且仅当,时,取得最大值3.二、填空题
1.(2023年天津卷·第14题)在中,,,点为的中点,点为的中点,若设,则可用表示为_________;若,则的最大值为_________.【答案】①.②.解析:空1:因为为的中点,则,可得,两式相加,可得到,即,则;空2:因为,则,可得,得到,即,即.于是.记,则,在中,根据余弦定理:,于是,由和基本不等式,,故,当且仅当取得等号,则时,有最大值.故答案:;.
2.(2015高考数学北京理科·第13题)在中,点,满足,.若,则;.【答案】解析:特殊化,不妨设,利用坐标法,以A为原点,AB为轴,为轴,建立直角坐标系,,,则,.3.(2017年高考数学江苏文理科·第12题)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若,则______.ACBO(第12题)【答案】3解析:由可得,,根据向量的分解,易得,即,即,即得,所以.题型三:平面向量的坐标运算一、选择题
1.(2023年北京卷·第3题)已知向量满足,则( )A.B.C.0D.1【答案】B解析:向量满足,所以.故选:B2.(2023年新课标全国Ⅰ卷·第3题)已知向量,若,则( )A.B.C.D.【答案】D解析:因为,所以,,由可得,,即,整理得:.故选:D.3.(2014高考数学重庆理科·第4题)已知向量,且,则实数( )A.B.C.D.【答案】C解析:4.(2014高考数学安徽理科·第10题)在平面直角坐标系中,已知向量,,,,点满足.曲线,区域,若为两段分离的曲线,则( )A.B.C.D.【答案】A解析:因为,且,设,,则由得曲线C:设,则,,则
,表示以为圆心,为半径的圆;区域:设,则由,则有:,表示以为圆心,分别以和为半径的同心圆的圆环形区域(如图),若使得是两段分离的曲线,则由图像可知:,故选A.5.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量,,则( )A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意,得,所以,故选A.6.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题)已知向量,且,则( )A.B.C.D.【答案】D【解析】由可得:,所以,又所以,所以,故选D.二、填空题1.(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量,若,则__________.【答案】解析:因为,所以由可得,,解得.
故答案为:.【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示,设,,注意与平面向量平行的坐标表示区分.2.(2020江苏高考·第13题)在中,在边上,延长到,使得,若(为常数),则的长度是________.【答案】【解析】三点共线,可设,,,即,若且,则三点共线,,即,,,,,,,设,,则,.根据余弦定理可得,,,,解得,的长度为.当时,,重合,此时的长度为,当时,,重合,此时,不合题意,舍去.故答案为:或.3.设向量与的夹角为,,,则 .【答案】解:设向量与的夹角为且∴,则。
4.(2015高考数学江苏文理·第6题)已知向量,,若(),则的值为_______.【答案】解析:由题意得:5.(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第13题)设向量,,且,则.【答案】【解析】由已知得:∴,解得.题型四:平面向量中的平行与垂直一、选择题1.(2018年高考数学北京(理)·第6题)设,均为单位向量,则“”是“的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C解析:等号两边分别平方得:,因为,所以,与等价,故选C.2.(2016高考数学山东理科·第8题)已知非零向量满足,.若,则实数的值为( )A.4B.C.D.–【答案】B【解析】由,可设,又,所以所以,故选B.二、填空题1.(2014高考数学湖北理科·第11题)设向量,,若,则实数.【答案】解析:由题意得(a+λb)·(a-λb)=0,即a2-λ2b2=0,则a2=λ2b2.∴.∴λ=±3.2.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量,,,若,则.
【答案】解析:依题意可得,又,所以,解得.3.(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量.若,则________.【答案】.解析:,,解得,故答案为:.题型五:平面向量的数量积与夹角问题一、选择题1.(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a,b满足,,,则( )A.B.C.D.【答案】D解析:,,,.,因此,.故选:D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算,同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算,考查计算能力,属于中等题.2.(2022年高考全国乙卷数学(理)·第3题)已知向量满足,则
( )A.B.C.1D.2【答案】C解析:∵,又∵∴9,∴故选:C.3.(2019·全国Ⅱ·理·第3题)已知,,,则( )A.B.C.D.【答案】C【解析】∵,,∴,∴,解得,即,则.4.(2018年高考数学天津(理)·第8题)如图,在平面四边形中,,,,,若点为边上的动点,则的最小值为( )A.B.C.D.3【答案】A【基本解法1】连接,则易证明,所以
所以,设,则,当时,取得最小值,最小值为.【基本解法1】连接,则易证明,所以,所以,以为坐标原点,所在方向为轴正方向建立如图所示平面直角坐标系,过作轴于点则,所以,设,则,,
当时,取得最小值,最小值为.5.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第4题)已知向量,满足,,则( )A.4B.3C.2D.0【答案】B解析:,故选B.6.(2014高考数学天津理科·第8题)已知菱形的边长为2,,点分别在边上,,.若,,则( )A.B.C.D.【答案】C解析:记,,则,所以.故选C.7.(2014高考数学上海理科·第16题)如图,四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱,是一条侧棱,是上底面上其余的八个点,则的不同值的个数为( ).A.1B.2C.4D.8【答案】A解析:在上的投影为,所以,值只有一个.8.(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab=( )A.1B.2C.3D.5【答案】A解析:因为两式相加得:所以,故选A.9.(2015高考数学四川理科·第7题)设四边形为平行四边形,,.若点满足,,则( )A.20B.15C.9D.6【答案】C解析:,所以
,选C.10.(2015高考数学陕西理科·第7题)对任意向量,下列关系式中不恒成立的是( )A.B.C.D.【答案】B解析:因为,所以选项A正确;当与方向相反时,不成立,所以选项B错误;向量的平方等于向量的模的平方,所以选项C正确;,所以选项D正确.故选B.11.(2015高考数学山东理科·第4题)已知菱形的边长为,,则( )A.B.C.D.【答案】D解析:因为故选D.12.(2015高考数学福建理科·第9题)已知,若点是所在平面内一点,且,则的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21【答案】A解析:以为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则,,,即,所以,,因此,因为,所以的最大值等于,当,即时取等号.
13.(2015高考数学安徽理科·第8题)是边长为的等边三角形,已知向量,满足,,则下列结论正确的是( )A.B.C.D.【答案】D解析:如图,由题意,,则,故错误;,所以,又,所以,故错误;设中点为,则,且,而,所以,故选D.14.(2017年高考数学浙江文理科·第10题)如图,已知平面四边形,,,,与交于点.记,,,则( )A.B.C.D.【答案】C【解析】法一:
动态研究问题:,.此时有,,,且,.故.故选C.【解析】法二:如图,取边中点,则,在线段上,再取,中点,则.所以,,所以.作交于,所以,而,所以,,所以,又,.所以,所以.故选C.法三:余弦定理得,,所以,所以,所以.又由余弦定理得,所以,所以.故.而,,,所以.故选C.15.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是( )A.B.C.D.【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积,意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析】解法一:建系法
连接,,,.,∴∴∴,∴∴最小值为解法二:均值法∵,∴由上图可知:;两边平方可得∵,∴∴,∴最小值为解法三:配凑法∵∴16.(2016高考数学天津理科·第7题)已知是边长为1的等边三角形,点分别是边的中点,连接并延长到点,使得,则的值为( )A.B.C.D.【答案】B解析:∴,选B.
17.(2019·全国Ⅰ·理·第7题)已知非零向量,满足,且,则与的夹角为( )A.B.C.D.【答案】B解析:,所以,所以.18.(2023年全国甲卷理科·第4题)已知向量满足,且,则( )A.B.C.D.【答案】D解析:因为,所以,即,即,所以.如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.19.(2014高考数学四川理科·第7题)平面向量,且与的夹角等于与的夹角,则( )A.-2B.-1C.1D.2【答案】D解析:因为,,所以,又所以即解析2:由几何意义知为以,为邻边的菱形的对角线向量,又故20.(2023年全国乙卷理科·第12题)已知的半径为1,直线PA与相切于点A.直线PB与交于B.C两点,D为BC的中点,若,则的最大值为( )A.B.C.D.【答案】A解析:如图所示,,则由题意可知:,由勾股定理可得
当点位于直线异侧时,设,则:,则当时,有最大值.当点位于直线同侧时,设,则:
,则当时,有最大值.综上可得,的最大值为.故选:A.二、填空题1.(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第13题)已知单位向量,的夹角为45°,与垂直,则k=__________.【答案】解析:由题意可得:,由向量垂直的充分必要条件可得:,即:,解得:.故答案为:.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则,向量垂直的充分必要条件等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.(2020年浙江省高考数学试卷·第17题)设,为单位向量,满足,,,设,的夹角为,则的最小值为_______.【答案】
解析:,,,.3.(2022年高考全国甲卷数学(理)·第13题)设向量,的夹角的余弦值为,且,,则_________.【答案】【解析】设与的夹角为,因为与的夹角的余弦值为,即,又,,所以,所以.故答案为:.30.(2021高考北京·第13题)已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则________;________.【答案】①.0②.3解析:以交点为坐标原点,建立直角坐标系如图所示:
则,,,.故答案为:0;3.5.(2019·天津·理·第14题)在四边形中,,点在线段的延长线上,且,则.【答案】答案:解析:以为坐标原点,所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系,则,因为,所以,又,可得,又,所以,所以,.6.(2018年高考数学上海·第8题)在平面直角坐标系中,已知点、,、是轴上的两个动点,且,则的最小值为.【答案】解析:设,则,,最小值为.解法2:.
取中点,则.显然(当关于原点对称).所以.则.7.(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为______.【答案】解析:∵,∴O为线段BC中点,故BC为的直径,∴,∴与的夹角为.8.(2014高考数学江苏·第12题)如图,在平行四边形中,已知,,,,则的值是.ABDCP【答案】22解析:解法一:(基底法)考虑将条件中涉及的向量用基底表示,而后实施计算.,.则.因为,则,故.解法二:(坐标法)不妨以点为坐标原点,所在直线作为轴建立平面直角坐标系,可设,则,.由,得,由,得,则,所求.9.(2015高考数学天津理科·第14题)在等腰梯形中,已知,
动点和分别在线段和上,且,则的最小值为.【答案】解析:因为,,,,当且仅当即时的最小值为.10.(2015高考数学上海理科·第14题)在锐角中,,为边上的一点,与面积分别为2和4,过作于,于,则.【答案】解析:由题可知,,,,,所以,,,化简可得.11.(2015高考数学湖北理科·第11题)已知向量,,则.
【答案】9解析:因为,,所以.12.(2017年高考数学天津理科·第13题)在中,,,.若,,且,则的值为___________.【答案】【解析】以点为坐标原点,以所在直线为轴建立直角坐标系(如图所示).依题意易得,则可得,,于是有,解得.13.(2017年高考数学江苏文理科·第13题)在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是______.【答案】解析:设,由得,由,可得或,由得P点在圆左边弧上上,由限制条件,可得点P横坐标的取值范围为.14.(2016高考数学浙江理科·第15题)已知向量,.若对任意单位向量,均有,则的最大值是.【答案】解析:由于对任意单位向量恒成立,所以,,所以,即,故的最大值是.15.(2016高考数学上海理科·第12题)在平面直角坐标系中,已知,是曲线上一个动点,则的取值范围是.【答案】解析:由题意设,,则,又所以.所以的范围为.16.(2016高考数学江苏文理科·第13题)如图,在中,是的中点,是上两个三等分点,,,则的值是.
【答案】.解析:令,,则,,则,,,,,则,,,由,可得,,因此,因此.17.(2019·上海·第3题)已知向量,,则与的夹角为________.【答案】【解析】.故18.(2019·全国Ⅲ·理·第13题)已知,为单位向量,且,若,则___________.【答案】.【解析】因为,,所以,,所以,所以.【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角.渗透了数学运算、直观想象素养.使用转化思想得出答案.19.(2014高考数学江西理科·第15题)已知单位向量与的夹角为,且,向量与的夹角为,则=_______
【答案】分析:因为所以20.(2021年高考浙江卷·第17题)已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x,y,在方向上的投影为z,则的最小值为___________.【答案】解析:由题意,设,则,即,又向量在方向上投影分别为x,y,所以,所以在方向上的投影,即,所以,当且仅当即时,等号成立,所以的最小值为.故答案为.21.(2021年新高考全国Ⅱ卷·第15题)已知向量,,,_______.【答案】解析:由已知可得,因此,.故答案为:.
题型六:平面向量的模长问题一、选择题23.(2014高考数学大纲理科·第4题)若向量满足:则( )A.2B.C.1D.【答案】B解析:因为,所以,即,所以,又因为,所以,故选B.2.(2015高考数学湖南理科·第8题)已知点,,在圆上运动,且,若点的坐标为,则的最大值为( )A.6B.7C.8D.9【答案】B.分析:由题意得,为圆的直径,故可设,,,∴,∴的最大值为圆上的动点到点距离的最大值,从而易得当时的最大值为,故选B.3.(2018年高考数学浙江卷·第9题)已知是平面向量,是单位向量,若非零向量与的夹角为,向量满足,则的最小值是( )A.B.C.2D.【答案】A解析:解法1:(配方法)由得,即,因此.如图,,,,则向量的终点在以为圆心,1为半径的圆上,而的终点在射线上,,问题转化为圆上的点与射线上的点连线长度最小,显然其最小值为圆心到射线的距离减去半径即为.
解法2:(向量的直径圆式)由,得,所以,如图,,则,即终点在以为直径的圆上,以下同解法1.解法3:(绝对值性质的应用)由,得,即,因此,而由图形得,所以,所以的最小值为.解法4:(坐标法)设起点均为原点,设,,则的终点在射线上,由,得,即,所以向量的终点在圆上,的最小值即为求圆上一点到射线上一点的最小距离,即为.二、填空题1.(2023年新课标全国Ⅱ卷·第13题)已知向量,满足,,则______.【答案】
解析:法一:因为,即,则,整理得,又因为,即,则,所以.法二:设,则,由题意可得:,则,整理得:,即.故答案为:.2.(2019·浙江·第17题)已知正方形的边长为当每个取遍时,,的最小值是,最大值是.【答案】0,【解析】正方形的边长为1,可得,,.所以,由于,2,3,4,5,取遍,取,,,时得,,此时所求最小值为0;由中,中的一个最大值为4,另一个为2,可取,,,,,此时所求最大值为.3.(2014高考数学湖南理科·第16题)在平面直角坐标系中,为原点,,动点满足,则的最大值是________.
【答案】解析:动点的轨迹为以为圆心的单位圆,则设为,则4.(2017年高考数学浙江文理科·第15题)已知向量,满足,则的最小值是_____,最大值是____.【答案】,【解析】(几何法)本题的关键是要挖掘隐含条件:是以为邻边的平行四边形的两条对角线,故.如图,是以为邻边的平行四边形的两条对角线,是以为圆心的单位圆上一动点,构造2个全等的平行四边形.所以.易知当三点共线时,最小,此时;当时,最大,此时.(坐标法)设,,则,,所以,则,所以.(不等式法)最小值:.(当且仅当方向相反,即时,取“=”).最大值:.(当且仅当,即时,取“=”).(转化为二元最值问题)令原题转化为,且,求的最值.方法1(数形结合):直线与圆弧有交点,如图可得.方法2(判别式法):化简得得,所以.当然,本题用基本不等式,柯西不等式等方法都能求最值.
5.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________.【答案】【解析】法一:所以.法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为.法三:坐标法依题意,可设,,所以所以.6.(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第14题)设为单位向量,且,则______________.【答案】【解析】因为为单位向量,所以所以解得:所以故答案为:
题型七:平面向量的综合应用一、多选题1.(2021年新高考Ⅰ卷·第10题)已知为坐标原点,点,,,,则( )A.B.C.D.【答案】AC解析:A:,,所以,,故,正确;B:,,所以,同理,故不一定相等,错误;C:由题意得:,,正确;D:由题意得:,,错误;故选AC.二、选择题1.(2014高考数学浙江理科·第8题)记,,设为平面向量,则( )A.B.C.D.【答案】D解析:对于选项A,取,则由图形可知,根据勾股定理,结论不成立;对于选项B,取,是非零的相等向量,则不等式左边,显然,不等式不成立;
对于选项C,取,是非零的相等向量,则不等式左边=4,而不等式右边2,显然不成立.由排除法可知,D选项正确.故选:D.三、填空题1.(2019·江苏·第12题)如图,在中,是的中点,在边上,,与交于,若,则的值是______.【答案】【解析】法1:,设,则,因为三点共线,,所以,所以,所以,故,所以.法2:不妨设,以为原点,,为轴正方向建系,设,,,则,则,所以点,,所以,所以.法3:极化恒等式+中线定理:同解法一知:,同理可得:,取中点,所以,,,因为,所以.由中线定理得,,所以,所以.
2.(2014高考数学安徽理科·第15题)已知两个不相等的非零向量,两组向量,,,,和,,,,均由2个和3个排列而成.记,表示所有可能取值中的最小值,则下列命题正确的是___________(写出所有正确命题的编号).①有5个不同的值②若,则与无关③若,则与无关④若,则⑤若,,则与的夹角为【答案】②④解析:记,,若与中有两个向量对应,则;若与中有且只有一个向量对应,则,若与中没有向量对应,则.;;又因为,所以.所以①说法有三个不同的值,说法错误;对于②,,当时,,故②正确;又当,与有关,故③说法错误;当时,,故④正确;当时,,所以,所以,所以,故⑤说法错误,综上易知正确的是②④.3.(2015高考数学浙江理科·第15题)已知是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意,,则,,.【答案】,,.解析:问题等价于当且仅当,时取到最小值1,两边平方即在,时,取到最小值1,
,∴.
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