十年高考数学真题分项汇编(2014-2023)(理科)专题03函数填空题(理科)(Word版附解析)
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十年(2014-2023)年高考真题分项汇编—函数(填空题)目录题型一:函数及其表示1题型二:函数的基本性质6题型三:基本初等函数14题型四:函数与方程20题型五:函数模型及其综合应用26题型一:函数及其表示1.(2023年北京卷·第15题)设,函数,给出下列四个结论:①在区间上单调递减;②当时,存在最大值;③设,则;④设.若存在最小值,则a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是____________.【答案】②③解析:依题意,,当时,,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线;当时,,易知其图像是,圆心为,半径为的圆在轴上方的图像(即半圆);当时,,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线;对于①,取,则的图像如下,
显然,当,即时,在上单调递增,故①错误;对于②,当时,当时,;当时,显然取得最大值;当时,,综上:取得最大值,故②正确;对于③,结合图像,易知在,且接近于处,的距离最小,当时,,当且接近于处,,此时,,故③正确;对于④,取,则的图像如下,
因为,结合图像可知,要使取得最小值,则点在上,点在,同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径,此时,因为的斜率为,则,故直线的方程为,联立,解得,则,显然在上,满足取得最小值,即也满足存在最小值,故的取值范围不仅仅是,故④错误.故答案为:②③.2.(2023年北京卷·第11题)已知函数,则____________.【答案】1解析:函数,所以.故答案:13.(2022高考北京卷·第11题)函数定义域是_________.【答案】
解析:因为,所以,解得且,故函数的定义域为;故答案为,4.(2020北京高考·第11题)函数的定义域是____________.【答案】【解析】由题意得,故答案为:5.(2019·江苏·第4题)函数的定义域为.【答案】【解析】由,解得,即函数的定义域为.6.(2014高考数学浙江理科·第15题)设函数若,则实数的取值范围是______【答案】解析:∵函数,它的图象如图所示:由,可得由可得,即,故当时,则实数a的取值范围是,故答案为:].7.(2014高考数学四川理科·第12题)设是定义在上的周期为2的函数,当时,,则【答案】
解析:8.(2014高考数学上海理科·第4题)设若,则的取值范围为_________________.【答案】解析:由,可得,所以得.9.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第15题)设函数,则满足的的取值范围是.【答案】【解析】法一:因为当时,;当时,;当时,由,可解得综上可知满足的的取值范围是.法二:,,即由图象变换可画出与的图象如下:
由图可知,满足的解为.法三:当且时,由得,得,又因为是上的增函数,所以当增大时,增大,所以满足的的取值范围是.10.(2016高考数学江苏文理科·第11题)设是定义在上且周期为2的函数,在区间上其中,若,则的值是.【答案】.解析:由题意得,由可得则,则.11.(2016高考数学江苏文理科·第5题)函数的定义域是.【答案】.解析:,解得,因此定义域为.
题型二:函数的基本性质1.(2023年全国甲卷理科·第13题)若为偶函数,则________.【答案】2解析:因为为偶函数,定义域为,所以,即,则,故,此时,所以,又定义域为,故为偶函数,所以.故答案为:2.2.(2023年全国乙卷理科·第16题)设,若函数在上单调递增,则a的取值范围是______.【答案】解析:由函数的解析式可得在区间上恒成立,则,即在区间上恒成立,故,而,故,故即,故,结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为:.3.(2021年新高考全国Ⅱ卷·第14题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______.①;②当时,;③是奇函数.【答案】(答案不唯一,均满足)解析:取,则,满足①,,时有,满足②,的定义域为,又,故是奇函数,满足③.故答案为(答案不唯一,均满足)4.(2021年新高考Ⅰ卷·第15题)函数的最小值为______.【答案】1解析:由题设知:定义域为,∴当时,,此时单调递减;当时,,有,此时单调递减;当时,,有,此时单调递增;又在各分段的界点处连续,∴综上有:时,单调递减,时,单调递增;∴,故答案为1.5.(2021年新高考Ⅰ卷·第13题)已知函数是偶函数,则______.【答案】1解析:因为,故,因为为偶函数,故,时,整理得到,故,故答案为:16.(2022高考北京卷·第14题)设函数若存在最小值,则a的一个取值为
________;a的最大值为___________.【答案】①0(答案不唯一)②.1解析:若时,,∴;若时,当时,单调递增,当时,,故没有最小值,不符合题目要求;若时,当时,单调递减,,当时,∴或,解得,综上可得;故答案为:0(答案不唯一),17.(2022年浙江省高考数学试题·第14题)已知函数则________;若当时,,则的最大值是_________.【答案】①.②.##解析:由已知,,所以,当时,由可得,所以,当时,由可得,所以,等价于,所以,所以的最大值为.故答案为:,.8.(2020江苏高考·第7题)已知是奇函数,当时,,则的值是____.
【答案】【解析】,因为为奇函数,所以,故答案为:9.(2019·上海·第6题)已知函数周期为,且当,,则________.【答案】1【解析】.10.(2019·全国Ⅱ·理·第14题)已知是奇函数,且当时,.若,则 .【答案】.【解析】因为是奇函数,且当时,.又因为,,所以,两边取以为底的对数得,所以,即.【点评】本题主要考查函数奇偶性,对数的计算.渗透了数学运算、直观想象素养.使用转化思想得出答案.11.(2019·北京·理·第13题)设函数(a为常数).若为奇函数,则a=________;若是R上的增函数,则a的取值范围是___________.【答案】(1);(2).【解析】若函数为奇函数,则,对任意的恒成立,故;若函数是上的增函数,则恒成立,.即实数取值范围是.12.(2018年高考数学江苏卷·第9题)函数满足,且在区间上,则的值为.【答案】解析:由得函数的周期为4,所以,因此.
13.(2018年高考数学江苏卷·第5题)函数的定义域为.【答案】[2,+∞)解析:要使函数有意义,则,解得,即函数的定义域为[2,+∞).14.(2018年高考数学北京(理)·第13题)能说明“若对任意的都成立,则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________.【答案】(答案不唯一);解析:在上满足,且在上为增函数,在为减函数.函数需要满足在上的最小值为,并且在上不单调,选取开口向下,对称轴在上的二次函数均可,其余答案也正确.15.(2014高考数学四川理科·第15题)以表示值域为的函数组成的集合,表示具有如下性质的函数组成的集合:对于函数,存在一个正数,使得函数的值域包含于区间例如,当时,.现有如下命题:①设函数的定义域为,则“”的充要条件是“”;②函数的充要条件是有最大值和最小值;③若函数的定义域相同,且,则;④若函数有最大值,则.其中的真命题有(写出所有命题的序号)【答案】①③④解析:若f(x)∈A,则f(x)的值域为R,于是,对任意的b∈R,一定存在a∈D,使得f(a)=b,故①正确.取函数f(x)=x(-1<x<1),其值域为(-1,1),于是,存在M=1,使得f(x)的值域包含于[-M,M]=[-1,1],但此时f(x)没有最大值和最小值,故②错误.当f(x)∈A时,由①可知,对任意的b∈R,存在a∈D,使得f(a)=b,所以,当g(x)∈B时,对于函数f(x)+g(x),如果存在一个正数M,使得f(x)+g(x)的值域包含于[-M,M],那么对于该区间外的某一个b0∈R,一定存在一个a0∈D,使得f(a0)=b-g(a0),即f(a0)+g(a0)=b0∉[-M,M],故③正确.对于f(x)=aln(x+2)+(x>-2),当a>0或a<0时,函数f(x)都没有最大值.要使得函数f(x)有最大值,只有a=0,此时f(x)=(x>-2).易知f(x)∈,所以存在正数,使得f(x)∈[-M,M],故④正确.16.(2014高考数学课标2理科·第15题)已知偶函数在单调递减,.若,则的取值范围是__________.
【答案】解析:因为是偶函数,所以不等式,因为在上单调递减,所以,解得17.(2015高考数学浙江理科·第10题)已知函数,则,的最小值是.【答案】,.解析:,当时,,当且仅当时,等号成立,当时,,当且仅当时,等号成立,故最小值为.考点:分段函数18.(2015高考数学新课标1理科·第13题)若函数为偶函数,则【答案】1解析:由题知是奇函数,所以=,解得=1.考点:函数的奇偶性19.(2015高考数学四川理科·第15题)已知函数,(其中)。对于不相等的实数,,设,,现有如下命题:(1)对于任意不相等的实数,,都有;(2)对于任意的及任意不相等的实数,,都有;(3)对于任意的,存在不相等的实数,,使得;(4)对于任意的,存在不相等的实数,,使得.其中的真命题有(写出所有真命题的序号).【答案】①④解析:设.对(1),从的图象可看出,恒成立,故正确.对(2),直线CD的斜率可为负,即,故不正确.对(3),由m=n得,即.令,则.由得:,作出的图象知,方程不一定有解,所以不一定有极值点,即对于任意的a,不一定存在不相等的实数,使得,即不一定存在不相等的实数,使得.故不正确.对(4),由m=-n得,即.令,则.
由得:,作出的图象知,方程必一定有解,所以一定有极值点,即对于任意的a,一定存在不相等的实数,使得,即一定存在不相等的实数,使得.故正确.所以(1)(4)考点:函数与不等式的综合应用.20.(2015高考数学福建理科·第14题)若函数(且)的值域是,则实数的取值范围是.【答案】解析:当,故,要使得函数的值域为,只需()的值域包含于,故,所以,所以,解得,所以实数的取值范围是.考点:分段函数求值域.【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题,分段函数是一个函数,其值域是各段函数值取值范围的并集,将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系,是本题的一个亮点,要注意分类讨论思想的运用,属于中档题.21.(2017年高考数学浙江文理科·第17题)已知,函数在区间上的最大值是5,则的取值范围是.【答案】【解析】(绝对值几何意义)令,则,所以,的最大值是5.当时,最大值为5,成立;当时,,,其几何意义为数轴上的数到数和数到数0的距离之和最大值为5,则.综上,.法二:因为,最大值为即或,解得或,所以.【考点】绝对值,函数最值22.(2017年高考数学山东理科·第15题)若函数(是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为__________.①②③④【答案】①④【解析】①在上单调递增,故具有性质;
②在上单调递减,故不具有性质;③,令,则,当时,,当时,,在上单调递减,在上单调递增,故不具有性质;④,令,则,在上单调递增,故具有性质.23.(2017年高考数学江苏文理科·第11题)已知函数,其中e是自然对数的底数.若,则实数的取值范围是______.【答案】解析:因为,所以为奇函数,因为,所以在R上是单调递增函数,又,即,所以,即,解得,故实数的取值范围是.【考点】利用函数性质解不等式【点评】解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为的形式,然后根据函数的单调性去掉“”,转化为具体的不等式(组),此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内24.(2016高考数学天津理科·第13题)已知是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满足,则的取值范围是_____________.【答案】解析:由是偶函数可知,单调递增;单调递减又,可得,即25.(2016高考数学四川理科·第14题)若函数是定义上的周期为的奇函数,当时,,则.【答案】【解析】由题意知,
所以.题型三:基本初等函数1.(2018年高考数学上海·第11题)已知常数,函数的图像经过点.若,则.【答案】解析:由题意:,所以,所以,所以,又因为,所以.2.(2018年高考数学上海·第7题)已知.若幂函数为奇函数,且在上递减,则.【答案】解析:由为奇函数,所以,又在上递减可知.3.(2018年高考数学上海·第4题)设常数,函数,若的反函数的图像经过点,则.【答案】7解析:由题意可知经过,所以.4.(2014高考数学重庆理科·第12题)函数的最小值为_________.【答案】解析:根据对数的运算变型,换元法令,,得最小值为5.(2014高考数学上海理科·第9题)若,则满足的的取值范围是___________.【答案】解析:首先注意定义域:;再由得,作图即得结果为
6.(2014高考数学陕西理科·第11题)已知则=________.【答案】解析:由得7.(2014高考数学江苏·第10题)已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是.【答案】解析:画出二次函数的分析简图:由图象分析可得结论:开口向上的二次函数在上恒小于0的充要条件为开口向下的二次函数在上恒大于0的充要条件为.8.(2015高考数学浙江理科·第12题)若,则.【答案】.解析:∵,∴,∴.考点:对数的计算9.(2015高考数学上海理科·第10题)设为的反函数,则的最大值为.【答案】解析:通过分析,我们可得函数在定义域上是单调递增的,且值域为,由反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域以及反函数与原函数的单调性相同,可得的定义域为,值域为,又原函数与反函数的公共定义域为,故.
10.(2015高考数学上海理科·第7题)方程的解为.【答案】解析:由条件可得,所以或,检验后只有符合;11.(2015高考数学山东理科·第14题)已知函数的定义域和值域都是,则.【答案】解析:若,则在上为增函数,所以,此方程组无解;若,则在上为减函数,所以,解得,所以.考点:指数函数的性质.12.(2017年高考数学上海(文理科)·第12题)定义在上的函数的反函数为,若为奇函数,则的解为________.【答案】【解析】,∴的解为.13.(2016高考数学浙江理科·第12题)已知.若,则,.【答案】【命题意图】本题主要考查对数运算、指数运算等知识点,意在考查学生的运算求解能力.解析:由于,则,因为,即,所以或(舍去),所以,即,所以,所以,,所以(舍去),所以.14.(2016高考数学上海理科·第5题)已知点在函数的图像上,则的反函数.【答案】解析:将点带入函数的解析式得,所以,用表示得
,所以.题型四:函数与方程1.(2023年天津卷·第15题)若函数有且仅有两个零点,则的取值范围为_________.【答案】解析:(1)当时,,即,若时,,此时成立;若时,或,若方程有一根为,则,即且;若方程有一根为,则,解得:且;若时,,此时成立.(2)当时,,即,若时,,显然不成立;若时,或,若方程有一根为,则,即;若方程有一根为,则,解得:;若时,,显然不成立;综上,当时,零点为,;当时,零点为,;
当时,只有一个零点;当时,零点为,;当时,只有一个零点;当时,零点为,;当时,零点为.所以,当函数有两个零点时,且.故答案为:.2.(2022高考北京卷·第13题)若函数的一个零点为,则________;________.【答案】①.1②.解析:∵,∴∴故答案为:1,3.(2021高考北京·第15题)已知函数,给出下列四个结论:①若,恰有2个零点;②存在负数,使得恰有个1零点;③存在负数,使得恰有个3零点;④存在正数,使得恰有个3零点.其中所有正确结论的序号是_______.【答案】①②④解析:对于①,当时,由,可得或,①正确;对于②,考查直线与曲线相切于点,对函数求导得,由题意可得,解得,
所以,存在,使得只有一个零点,②正确;对于③,当直线过点时,,解得,所以,当时,直线与曲线有两个交点,若函数有三个零点,则直线与曲线有两个交点,直线与曲线有一个交点,所以,,此不等式无解,因此,不存在,使得函数有三个零点,③错误;对于④,考查直线与曲线相切于点,对函数求导得,由题意可得,解得,所以,当时,函数有三个零点,④正确.故答案为:①②④.4.(2018年高考数学浙江卷·第15题)已知,函数,当时,不等式的解集是,若函数恰有2个零点,则的取值范围是.【答案】,解析:当时,,若,,得,于是;若,,得,于是;不等式的解集为;
第二空两种解法方法一:代数法(分类讨论两段函数根的个数)①当时,由于有一个零点,问题等价于当时,有一个零点,因为,只需要;②当,由于无零点,问题等价于当时,有两个零点,而,当时,有两零点1,3满足条件;综上可知,或.方法二:几何法(图像观察)当直线从左到右的运动过程中,当或时,与轴有两个交点,即恰有2个零点,即的取值范围是或.5.(2018年高考数学天津(理)·第14题)已知,函数若关于的方程恰有2个互异的实数解,则的取值范围是.【答案】解析:当时,由,得,,且,所以,当时,无解;当时,有一个解;当时,有两个解;当时,由,得,,且,所以,所以当时,无解;当时,有一个解;当时,有两个解;综上,要使关于的方程恰有2个互异的实数解,则的取值范围是.
解法二:当时,由,得,即,很明显不是原方程的解,则;当时,由,得,即,很明显不是原方程的解,则;令,其中,,作出的图象如图所示,由图可知,要使函数与函数的图象有两个不同的交点,且考虑到,则的取值范围是.6.(2014高考数学天津理科·第14题)已知函数,.若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为_________.【答案】解析:画出函数的大致图象,
令,则函数的图象与函数的图象有且仅有4个不同的交点,如图,显然(不可能).联立消去得,由解得或(舍去);联立消去得,由解得或(舍去).结合图象,实数的取值范围为.7.(2014高考数学江苏·第13题)已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是.【答案】解析:作出函数的图象,可知,当时,,,方程在上有10个零点,即函数的图象与直线在上有10个交点,由于函数的周期为3,因此直线与函数的图象有4个交点,则.8.(2015高考数学湖南理科·第15题)已知,若存在实数,使函数
有两个零点,则的取值范围是.【答案】.分析:分析题意可知,问题等价于方程与方程的根的个数和为,若两个方程各有一个根:则可知关于的不等式组有解,∴,从而;若方程无解,方程有2个根:则可知关于的不等式组有解,从而,综上,实数的取值范围是.9.(2015高考数学湖北理科·第12题)函数的零点个数为.【答案】2解析:因为所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数,函数与图象如图,由图知,两函数图象有2个交点,所以函数有2个零点.考点:二倍角的正弦、余弦公式,诱导公式,函数的零点.10.(2015高考数学北京理科·第14题)设函数①若,则的最小值为;②若恰有2个零点,则实数的取值范围是.【答案】(1)1,(2)或.解析:①时,,函数在上为增函数,函数值大于1,在为减函数,在为增函数,当时,取得最小值为1;(2)①若函数在时与轴有一个交点,则,并且当时,,则,函数与轴有一个交点,所以
;②若函数与轴有无交点,则函数与轴有两个交点,当时与轴有无交点,在与轴有无交点,不合题意;当时,,与轴有两个交点,和,由于,两交点横坐标均满足;综上所述的取值范围或.考点:本题考点为函数的有关性质,涉及函数图象、函数的最值,函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性,求出函数的最值,涉计参数问题,针对参数进行分类讨论.11.(2015高考数学江苏文理·第13题)已知函数,,则方程实根的个数为___.【答案】4解析:由题意得:求函数与交点个数以及函数与交点个数之和,因为,所以函数与有两个交点,又,所以函数与有两个交点,因此共有4个交点考点:函数与方程12.(2017年高考数学江苏文理科·第14题)设是定义在且周期为1的函数,在区间上,其中集合,则方程的解的个数是______.【答案】8解析:由于,则需考虑的情况在此范围内,且时,设,且互质若,则由,可设,且互质因此,则,此时左边为整数,右边非整数,矛盾,因此,因此不可能与每个周期内对应的部分相等,只需考虑与每个周期的部分的交点,画出函数图像,图中交点除外,其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期的部分,且处,则在附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8个.【考点】函数与方程【点评】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,
结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.13.(2016高考数学山东理科·第15题)已知函数其中,若存在实数,使得关于的方程有三个不同的根,则的取值范围是________________.【答案】【解析】画出函数图象如下图所示:。由图所示,要有三个不同的根,需要红色部分图像在深蓝色图像的下方,即,解得题型五:函数模型及其综合应用1.(2019·北京·理·第14题)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________.【答案】①130;②15.【解析】①,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元;②设顾客一次购买水果的促销前总价为元,当0<时,李明得到的金额为,符合要求;当时,有恒成立,即恒成立,故.
所以的最大值为.2.(2015高考数学四川理科·第13题)某食品的保鲜时间(单位:小时)与储藏温度(单位:)满足函数关系(为自然对数的底数,为常数).若该食品在的保鲜时间是192小时,在23的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是________小时.【答案】24解析:由题意得:,所以时,.考点:函数及其应用.3.(2015高考数学陕西理科·第16题)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.【答案】解析:建立直角坐标系,如图所示:原始的最大流量是,设抛物线的方程为(),因为该抛物线过点,所以,解得,所以,即,所以当前最大流量是,故原始的最大流量与当前最大流量的比值是,所以答案应填:.【考点定位】1、定积分;2、抛物线的方程;3、定积分的几何意义.4.(2017年高考数学北京理科·第14题)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数,点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数,.①记为第名工人在这一天中加工的零件总数,则中最大的是_________.
②记为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则中最大的是_________.【答案】;【解析】作图可得中点纵坐标比中点纵坐标大,所以第一题选;分别作关于原点的对称点,比较直线斜率,可得最大,所以选.【考点】①图象的应用;②实际应用.【点评】本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力,以及转化与化归的能力.因为第名工人加工总的零件数是,比较总的零件数的大小,即可转化为比较的大小,而表示中点连线的纵坐标.第二问也可转化为中点与原点连线的斜率.5.(2014高考数学山东理科·第15题)已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为,满足:对任意,两个点,关于点对称,若是关于的“对称函数”,且恒成立,则实数的取值范围是.【答案】解析:由题意知,得,恒成立,即,恒成立,当与相切时,,同一直角坐标系中由与的图象可知.6.(2014高考数学湖北理科·第14题)设是定义在上的函数,且,对任意,若经过点,的直线与轴的交点为,则称为、关于函数的平均数,记为,例如,当时,可得,即
为、的算术平均数.(Ⅰ)当时,为、的几何平均数;(Ⅱ)当时,为、的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)【答案】;(或填;,其中,为正常数均可)解析:过点,的直线方程为,令得.令几何平均数,可取;令调和平均数,可取.7.(2021年高考浙江卷·第12题)已知,函数若,则___________.【答案】2解析:,故,故答案为2.8.(2019·浙江·第16题)已知,函数.若存在,使,则实数的最大值是.【答案】【解析】解法一:存在,使得,即,即.设,得,所以,所以的最大值为.解法二:定积分的几何意义,,则.故只需求的最小值.不妨设.根据定积分的几何意义知,只需,故.
9.(2019·上海·第12题)已知,若,与轴交点为,为曲线,在上任意一点,总存在一点(异于)使得且,则__________.【答案】【解析】设点,则或设;根据函数特征在(上递减,在上递增,故必各在一个区间内),不失一般性.假设;对应的;则设满足,而根据题意,满足其中,;故恒成立,即或(舍)【点评】本题主要考查图象的平移、翻折变换、极限思想.10.(2019·江苏·第14题)设是定义在R上的两个周期函数,的周期为4,的周期为2,且是奇函数.当时,,,其中.若在区间上,关于的方程有8个不同的实数根,则的取值范围是.
【答案】【解析】当时,等价于().结合是周期为4的奇函数,可作出在上的图象:因为当时,,且的周期为2由图可知:当∪∪∪时,与的图象有2个交点.由已知,与在上有8个交点,所以当∪∪∪∪时,与的图象有6个交点.又当时,表示的直线恒过定点,且斜率,结合的周期为2及图象,可知:当∪时,与的图象无交点所以当∪∪时,与的图象有6个交点.由与的周期性可知:当时,与的图象有2个交点.如图,当线段与圆弧(,)相切时有,解得,.又,所以(此时恰有1个交点);当线段过点时,(此时恰有2个交点).
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