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十年高考数学真题分项汇编(2014-2023)(理科)专题06数列小题(理科)(Word版附解析)

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十年(2014-2023)年高考真题分项汇编—数列小题目录题型一:数列的概念与通项公式1题型二:等差数列8题型三:等比数列12题型四:等差与等比数列综合17题型五:数列的求和19题型六:数列与数学文化22题型七:数列的综合应用26题型一:数列的概念与通项公式一、选择题1.(2016高考数学浙江理科·第6题)如图,点列分别在某锐角的两边上,且,(表示点与不重合).若,为的面积,则(  )(  )A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列【答案】A【命题意图】本题考查等差数列的概念、平行线的性质等基础知识,意在考查学生分析问题和解决问题的能力.解析:不妨设,过点,分别作直线的垂线,高线分别记为,根据平行线的性质,所以成等差数列,又,所以是等差数列.故选A. 2.(2019·浙江·第10题)已知,,数列满足,,,则(  )A.当时,B.当时,C.当时,D.当时,【答案】A【解析】解法一:对于B,由,得.取,则,所以,不合题意;对于C,由,得或.取,则,所以,不合题意;对于D,由,得.取,则,所以,不合题意.对于A,,,,,递增,当时,,,迭乘法得,,A正确.故选A.解法二:借助图形 其中选项中均含有不动点,由于的不确定性,故都不能说明.故选A.3.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第12题)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推.求满足如下条件的最小整数:且该数列的前项和为的整数幂.那么该款软件的激活码是(  )A.B.C.D.【答案】A 【解析】解法一:本题考查了等比数列的求和,不等式以及逻辑推理能力. 不妨设(其中) 则有,因为,所以 由等比数列的前项和公式可得 因为,所以 所以即,因为 所以,故 所以,从而有,因为,所以,当时,,不合题意 当时,,故满足题意的的最小值为. 解题关键:本题关键在于利用不等式的知识得出. 解法二:将数列的前项按照分组,不妨设这样的分组共有组不满足此特点的单独为一组,则,从而数列的前项的和为: 所以若使数列的前项和为的整数幂,则必存在正整数,使得,即 又,所以,所以,所以,所以 当时,,此时,所以的可能值为,经验证均不符合 题意,当负结合选项也可知道不合题意,直接排除掉的可能性 当时,,此时,结合选项特点可知:,故选A. 事实上验证:或或或或或 只有成立. 点评:此题就是分组和以及和与结论中隐藏的整除性问题,通过构建的不等式限定的可能值,进而求出最小值,还好选项提供的数据减少,很好验证操作. 解法三:检验法 由于这是选择题,为求最小值,从最小的开始检验 选项D:若,由,知第项排在第14行,第19个 由是奇数知不能写成整数幂; 选项C:若,由知,第项排在第21行,第10个 是大于1的奇数,不能写成整数幂; 选项B,若,由知第项排在第26行,第个 ,同理,不能写成整数幂; 选项A时,当时,由,可解出 所以这前和为:,符合题意,故选A. 解法四:直接法 由能写成的整数幂可知,,,且由知,故满足条件的的最小值为,得,此时. 解法五:二进制转化法 按照上面形式重新排列后,第层:,的和为 把每一层的和的二时制数重新排列(低位对齐) 第1层:1 第2层:11 第3层:111 第层:1111 由于的数幂的二进制数为:,前层的和再加多少可以写成的整数幂? 为方便相加,首先,每层都加,则总共加了,得: 第1层:10 第2层:100 第3层:1000 第层:1000 此时层总的和为:,仍然不是的整数幂,再加上即可! 所以在前层总和的基础上,再加上可使和成为的整数幂 设第层的前个数的和为,即 后面的方法同“解法四”. 【考点】等差数列、等比数列的求和. 【点评】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项和求和.另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断.4.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)定义“规范01数列”如下:共有项,其中项为项为1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若,则不同的“规范01数列”共有(  )A.18个B.16个C.14个D.12个【答案】C【解析】由题意,得必有,,则具体的排法列表如图所示,共14个,故选C.000011111011101101001110110100110100011101101001105.(2021年高考浙江卷·第10题)已知数列满足.记数列的前n项和为,则(  )A.B.C.D. 【答案】A解析:因为,所以,.由,即根据累加法可得,,当且仅当时取等号,,当且仅当时取等号,所以,即.故选A.二、填空题1.(2022高考北京卷·第15题)己知数列各项均为正数,其前n项和满足.给出下列四个结论:①的第2项小于3;②为等比数列;③为递减数列;④中存在小于的项.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④解析:由题意可知,,,当时,,可得;当时,由可得,两式作差可得,所以,,则,整理可得,因为,解得,①对; 假设数列为等比数列,设其公比为,则,即,所以,,可得,解得,不合乎题意,故数列不等比数列,②错;当时,,可得,所以,数列为递减数列,③对;假设对任意,,则,所以,,与假设矛盾,假设不成立,④对.故答案为:①③④.2.(2015高考数学新课标2理科·第16题)设是数列的前项和,且,,则________.【答案】解析:由已知得,两边同时除以,得,故数列是以为首项,为公差的等差数列,则,所以.考点:等差数列和递推关系.3.(2017年高考数学上海(文理科)·第14题)已知数列和,其中,,的项是互不相等的正整数,若对于任意,的第项等于的第项,则________.【答案】2【解析】.4.(2016高考数学浙江理科·第13题)设数列的前项和为.若,则,.【答案】【命题意图】本题主要考查等比数列的概念、通项公式,通项与前项和之间的关系等知识,意在考查学生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.解析:由于,解得,由得,所以,所以是以为首项,以为公比的等比数列,所以,即,所以. 题型二:等差数列一、选择题1.(2020北京高考·第8题)在等差数列中,,.记,则数列(  ).A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项【答案】B【解析】由题意可知,等差数列的公差,则其通项公式为:,注意到,且由可知,由可知数列不存在最小项,由于,故数列中的正项只有有限项:,.故数列中存在最大项,且最大项为.故选:B.2.(2019·全国Ⅰ·理·第9题)记为等差数列的前项和.已知,,则(  )A.B.C.D.【答案】A解析:,所以,故选A.3.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第4题)记为等差数列的前项和,,.则(  )A.B.C.D.【答案】B解析:∵为等差数列的前项和,,,∴,把,代入得∴,故选B. 4.设是等差数列,,,则这个数列的前6项和等于(  )A.12B.24C.36D.48【答案】B解:是等差数列,∴,则这个数列的前6项和等于,选B.5.(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第3题)已知等差数列前9项的和为27,,则(  )A100B99C98D97【答案】C【解析】由等差数列性质可知:,故,而,因此公差∴.故选C.6.(2014高考数学福建理科·第3题)等差数列的前n项和为,若,则等于(  )A.8B.10C.12D.14【答案】解析:由题意可得,解得,∴公差,,故选:C.7.(2015高考数学重庆理科·第2题)在等差数列中,若,,则(  )A.B.0C.1D.6【答案】B解析:由等差数列的性质得,选B.8.(2015高考数学北京理科·第6题)设是等差数列.下列结论中正确的是(  )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】C解析:先分析四个答案支,A举一反例,而,A错误,B举同样反例,,而,B错误,下面针对C进行研究,是等差数列,若,则设公差为,则,数列各项均为正,由于,则,故选C.9.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第4题)记为等差数列的前项和.若,,则的公差为(  )A.B.C.D.【答案】C 【解析】设公差为,,,联立解得,故选C. 秒杀解析:因为,即,则,即,解得,故选C. 【考点】等差数列的基本量求解 【点评】求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质,如为等差数列,若,则.10.(2014高考数学辽宁理科·第8题)设等差数列的公差为d,若数列为递减数列,则(  )A.B.C.D.【答案】C解析:根据题意可得∵数列为递减数列,∴,.解析2:由数列为递减数列,根据指数函数的性质,知,得,或,当时,,所以,,当时,,所以,综上:.二、填空题1.(2019·全国Ⅲ·理·第14题)记为等差数列{an}的前n项和,,则___________.【答案】4.【解析】因,所以,即,所以.【点评】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算.渗透了数学运算素养.使用转化思想得出答案.2.(2019·江苏·第8题)已知数列是等差数列,是其前n项和.若,则的值是.【答案】16【解析】由,得,从而,即,解得,所以.3.(2019·北京·理·第10题)设等差数列的前n项和为,若a2=−3,S5=−10,则a5=__________,Sn的最小值为__________.【答案】(1)0;(2)-10.【解析】等差数列中,,得,则公差,∴,由等差数列的性质得时,,当时,大于0,所以的最小值为或 ,值为.4.(2018年高考数学上海·第6题)记等差数列的前项和为.若,,则.【答案】14解析:,,,,.5.(2018年高考数学北京(理)·第9题)设是等差数列,且,,则的通项公式为__________.【答案】解析:,∴,∴.6.(2014高考数学北京理科·第12题)若等差数列满足,,则当=时,的前项和最大.【答案】8解析:,,,∴时,数列的前n项和最大.7.(2015高考数学陕西理科·第13题)中位数1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为.【答案】解析:设数列的首项为,则,所以,故该数列的首项为,所以答案应填:.8.(2015高考数学广东理科·第10题)在等差数列{}中,若,则=.【答案】10解析:因为是等差数列,所以,,即,故应填入109.(2016高考数学江苏文理科·第8题)已知是等差数列,是其前项和.若,,则的值是.【答案】.解析:设公差为,则由题意可得,,解得,,则.10.(2016高考数学北京理科·第12题)已知为等差数列,为其前项和,若,则=__________.【答案】解析:∵∴,∵,∴,∴. 题型三:等比数列一、选择题1.(2023年天津卷·第6题)已知为等比数列,为数列的前项和,,则的值为(  )A.3B.18C.54D.152【答案】C解析:由题意可得:当时,,即,①当时,,即,②联立①②可得,则.故选:C.2.(2023年新课标全国Ⅱ卷·第8题)记为等比数列的前n项和,若,,则(  ).A.120B.85C.D.【答案】C解析:方法一:设等比数列的公比为,首项为,若,则,与题意不符,所以;由,可得,,①,由①可得,,解得:,所以.故选:C.方法二:设等比数列的公比为,因为,,所以,否则,从而,成等比数列,所以有,,解得:或,当时,,即为,易知,,即; 当时,,与矛盾,舍去.故选:C.3.(2023年全国甲卷理科·第5题)设等比数列的各项均为正数,前n项和,若,,则(  )A.B.C.15D.40【答案】C解析:由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C.4.(2022年高考全国乙卷数学(理)·第8题)已知等比数列的前3项和为168,,则(  )A.14B.12C.6D.3【答案】D解析:设等比数列的公比为,若,则,与题意矛盾,所以,则,解得,所以.故选:D.5.(2019·全国Ⅲ·理·第5题)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15,且,则(  )A.16B.8C.4D.2【答案】C【解析】设正数的等比数列的公比为,则,解得, ,故选C.另解:数感好的话由,立即会想到数列:,检验是否满足,可以迅速得出.【点评】在数列相关问题中,用基本量的通性通法是最重要的,当然适当积累一些常见数列,对解题大有裨益.6.(2018年高考数学浙江卷·第10题)已知成等比数列,且,若,则(  )A.B.C.D.【答案】B解析:由的结构,想到对数放缩最常用公式,所以,得到,于是公比.若,则,而,即,矛盾,所以,于是,故选B.7.(2014高考数学重庆理科·第2题)对任意等比数列,下列说法一定正确的是(  )A.成等比数列B.成等比数列C.成等比数列D.成等比数列【答案】D解析:根据等比数列中等比中项的性质可得,如果数列为等比数列,即若则有8.(2015高考数学新课标2理科·第4题)已知等比数列满足,,则(  )A.21B.42C.63D.84【答案】B解析:设等比数列公比为,则,又因为,所以,解得,所以,故选B.9.(2015高考数学湖北理科·第5题)设,.若:成等比数列;:,则(  )A.是的充分条件,但不是的必要条件B.是的必要条件,但不是的充分条件C.是的充分必要条件D.既不是的充分条件,也不是的必要条件 【答案】A解析:对命题p:成等比数列,则公比且;对命题,①当时,成立;②当时,根据柯西不等式,等式成立,则,所以成等比数列,所以是的充分条件,但不是的必要条件.二、填空题1.(2023年全国乙卷理科·第15题)已知为等比数列,,,则______.【答案】解析:设的公比为,则,显然,则,即,则,因为,则,则,则,则,故答案为:.2.(2019·全国Ⅰ·理·第14题)记为等比数列的前项和.若,,则.【答案】解析:由,得,所以,又因为,所以,.3.(2014高考数学广东理科·第13题)若等比数列的各项均为正数,且,则【答案】.解析:由等比数列的性质得,.依题意有,运用对数的运算可得所求等式左边4.(2014高考数学江苏·第7题)在各项均为正数的等比数列中,,则的值是.【答案】4解析:设公比为,因为,则由得,,解得或(舍),所以.5.(2015高考数学安徽理科·第14题)已知数列是递增的等比数列,,则数列的前项和等于.【答案】 解析:由题意,,解得或者,而数列是递增的等比数列,所以,即,所以,因而数列的前项和.6.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设等比数列满足,,则.【答案】【解析】设等比数列的公比为,则依题意有,解得所以.7.(2017年高考数学江苏文理科·第9题)等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则=____. 【答案】32 解析:当时,显然不符合题意; 当时,,解得,则. 【考点】等比数列通项 【点评】在解决等差、等比数列的运算问题时,有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 8.(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第15题)设等比数列满足,,则的最大值为.【答案】64【解析】由于是等比数列,设,其中是首项,是公比.∴,解得:.故,∴ 当或时,取到最小值,此时取到最大值.所以的最大值为64.题型四:等差与等比数列综合一、选择题1.(2015高考数学浙江理科·第3题)已知是等差数列,公差不为零,前项和是,若,,成等比数列,则(  )A.B.C.D.【答案】B.解析:∵等差数列,,,成等比数列,∴,∴,∴,,故选B.2.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第9题)等差数列的首项为,公差不为.若成等比数列,则前项的和为(  )A.B.C.D.【答案】A【解析】数列的首项,设公差为,则由成等比数列可得,所以,即,整理可得,因为,所以,所以,故选A.【考点】等差数列求和公式;等差数列基本量的计算【点评】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.二、填空题3.(2014高考数学天津理科·第11题)设是首项为,公差为的等差数列,为其前项和.若成等比数列,则的值为_________.【答案】 解析:由已知得,即,解得. 4.(2014高考数学安徽理科·第12题)数列是等差数列,若构成公比为 的等比数列,则.【答案】1解析:设数列的公差为,由题意可得,即,所以,所以.5.(2015高考数学湖南理科·第14题)设为等比数列的前项和.若,且,,成等差数列,则.【答案】.分析:∵,,成等差数列,∴,又∵等比数列,∴.考点:等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质,属于容易题,在解题过程中,需要建立关于等比数列基本量的方程即可求解,考查学生等价转化的思想与方程思想.6.(2017年高考数学北京理科·第10题)若等差数列和等比数列满足,,则_______.【答案】【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比为和,,求得,那么.【考点】等差数列和等比数列【点评】在等差、等比数列中,各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组),因此数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.7.(2020江苏高考·第11题)设是公差为的等差数列,是公比为的等比数列.已知数列的前项和,则的值是_______.【答案】【解析】设等差数列的公差为,等比数列的公比为,根据题意.等差数列的前项和公式为,等比数列的前项和公式为,依题意,即, 通过对比系数可知,故.故答案为:题型五:数列的求和一、选择题1.(2014高考数学大纲理科·第10题)等比数列中,,则数列的前8项和等于(  )A.6B.5C.4D.3【答案】C解析:依题意可得,所以,所以,所以数列为等差数列,从而所求的前8项和为,故选C.2.(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第6题)数列中,,,若,则(  )A.2B.3C.4D.5【答案】C解析:在等式中,令,可得,,所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列,则,,,则,解得.故选:C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值,解答的关键就是求出数列的通项公式,考查计算能力,属于中等题.二、填空题 1.(2020年浙江省高考数学试卷·第11题)已知数列{an}满足,则S3=________.【答案】10解析:因为,所以.即.2.(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第15题)将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为________.【答案】解析:因为数列是以1为首项,以2为公差的等差数列,数列是以1首项,以3为公差的等差数列,所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项,以6为公差的等差数列,所以的前项和为,故答案为:.3.(2019·上海·第8题)已知数列前n项和为,且满足,则______.【答案】【解析】由得:()【点评】本题主要考查数列求和,的递推式.∴为等比数列,且,,∴.4.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第14题)记为数列的前项和.若,则.【答案】解析:为数列的前项和.若,①当时,,解得,当时,,②,由①﹣②可得,∴, ∴是以为首项,以2为公比的等比数列,∴.5.(2015高考数学江苏文理·第14题)设向量(),则的值为_______.【答案】解析:akak+1因为的周期皆为,一个周期的和皆为零,因此(akak+1)6.(2015高考数学江苏文理·第11题)设数列满足,且(),则数列前10项的和为_______.【答案】解析:由题意得:所以7.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第15题)等差数列的前项和为,,,则.【答案】【解析】设等差数列的首项为,公差为,由题意有:,解得, 数列的前n项和,裂项有:,据此:。8.(2016高考数学上海理科·第11题)无穷数列由个不同的数组成,为的前项和.若对任意,,则的最大值为________.【答案】4解析:要满足,说明的最大值为,最小值为所以涉及最多的项的数列可以为,所以最多由4个不同的数组成.题型六:数列与数学文化一、选择题1.(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第0题)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(  )(  )A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C解析:设第n环天石心块数为,第一层共有n环,则是以9为首项,9为公差的等差数列,,设为的前n项和,则第一层、第二层、第三层的块数分 别为,因为下层比中层多729块,所以,即即,解得,所以.故选:C【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题,考查学生数学运算能力,是一道容易题.2.(2022新高考全国II卷·第3题)图1是中国古代建筑中的举架结构,是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举,是相等的步,相邻桁的举步之比分别为.已知成公差为0.1的等差数列,且直线的斜率为0.725,则(  )(  )A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9【答案】D解析:设,则,依题意,有,且,所以,故.故选D.3.(2021高考北京·第6题)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm) 成等差数列,对应的宽为(单位:cm),且长与宽之比都相等,已知,,,则A.64B.96C.128D.160【答案】C解析:由题意,五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列,设公差为,因为,,可得,可得,又由长与宽之比都相等,且,可得,所以.故选:C.4.(2018年高考数学北京(理)·第4题)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为,则第八个单音的频率为(  )A.B.C.D.【答案】D解析:单音的频率构成以为首项,为公比的等比数列,则.5.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(  )A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【答案】B【解析】解法一:常规解法一座7层塔共挂了381盏灯,即;相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,即,塔的顶层为;由等比前项和可知:,解得.解法二:边界效应等比数列为递增数列,则有,∴,解得,∴.二、填空题1.(2023年北京卷·第14题)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且,则___________;数列 所有项的和为____________.【答案】①.48②.384解析:方法一:设前3项的公差为,后7项公比为,则,且,可得,则,即,可得,空1:可得,空2:方法二:空1:因为为等比数列,则,且,所以;又因为,则;空2:设后7项公比为,则,解得,可得,所以.故答案为:48;384.2.(2021年新高考Ⅰ卷·第16题)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为的长方形纸,对折1次共可以得到,两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______;如果对折次,那么______.【答案】5解析:(1)对折次可得到如下规格:,,,,,共种; (2)由题意可得,,,,,,设,则,两式作差得,因此,,故答案为;.题型七:数列的综合应用一、选择题1.(2023年北京卷·第10题)已知数列满足,则(  )A.当时,为递减数列,且存在常数,使得恒成立B.当时,为递增数列,且存在常数,使得恒成立C.当时,为递减数列,且存在常数,使得恒成立D.当时,为递增数列,且存在常数,使得恒成立【答案】B解析:法1:因为,故,对于A,若,可用数学归纳法证明:即,证明:当时,,此时不等关系成立;设当时,成立,则,故成立,由数学归纳法可得成立. 而,,,故,故,故为减数列,注意故,结合,所以,故,故,若存在常数,使得恒成立,则,故,故,故恒成立仅对部分成立,故A不成立.对于B,若可用数学归纳法证明:即,证明:当时,,此时不等关系成立;设当时,成立,则,故成立即由数学归纳法可得成立.而,,,故,故,故为增数列,若,则恒成立,故B正确.对于C,当时,可用数学归纳法证明:即,证明:当时,,此时不等关系成立;设当时,成立,则,故成立即由数学归纳法可得成立. 而,故,故为减数列,又,结合可得:,所以,若,若存在常数,使得恒成立,则恒成立,故,的个数有限,矛盾,故C错误.对于D,当时,可用数学归纳法证明:即,证明:当时,,此时不等关系成立;设当时,成立,则,故成立由数学归纳法可得成立.而,故,故为增数列,又,结合可得:,所以,若存在常数,使得恒成立,则,故,故,这与n的个数有限矛盾,故D错误.故选:B.法2:因为,令,则,令,得或; 令,得;所以在和上单调递增,在上单调递减,令,则,即,解得或或,注意到,,所以结合的单调性可知在和上,在和上,对于A,因为,则,当时,,,则,假设当时,,当时,,则,综上:,即,因为在上,所以,则为递减数列,因为,令,则,因为开口向上,对称轴为,所以在上单调递减,故,所以在上单调递增,故,故,即,假设存常数,使得恒成立,取,其中,且, 因为,所以,上式相加得,,则,与恒成立矛盾,故A错误;对于B,因为,当时,,,假设当时,,当时,因为,所以,则,所以,又当时,,即,假设当时,,当时,因为,所以,则,所以,综上:,因为在上,所以,所以为递增数列,此时,取,满足题意,故B正确;对于C,因为,则,注意到当时,,,猜想当时,,当与时,与满足, 假设当时,,当时,所以,综上:,易知,则,故,所以,因为在上,所以,则为递减数列,假设存在常数,使得恒成立,记,取,其中,则,故,所以,即,所以,故不恒成立,故C错误;对于D,因为,当时,,则,假设当时,,当时,,则,综上:,因为在上,所以,所以为递增数列,因为,令,则, 因为开口向上,对称轴为,所以在上单调递增,故,所以,故,即,假设存在常数,使得恒成立,取,其中,且,因为,所以,上式相加得,,则,与恒成立矛盾,故D错误.故选:B.2.(2020年浙江省高考数学试卷·第7题)已知等差数列{an}的前n项和Sn,公差d≠0,.记b1=S2,bn+1=Sn+2–S2n,,下列等式不可能成立的是(  )A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.D.【答案】D解析:对于A,因为数列为等差数列,所以根据等差数列的下标和性质,由可得,,A正确;对于B,由题意可知,,,∴,,,.∴,.根据等差数列的下标和性质,由可得,B正确;对于C,,当时,,C正确;对于D,,, .当时,,∴即;当时,,∴即,所以,D不正确.故选:D3.(2022高考北京卷·第6题)设是公差不为0的无穷等差数列,则“为递增数列”是“存在正整数,当时,”的(  )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C解析:设等差数列的公差为,则,记为不超过的最大整数.若为单调递增数列,则,若,则当时,;若,则,由可得,取,则当时,,所以,“是递增数列”“存在正整数,当时,”;若存在正整数,当时,,取且,,假设,令可得,且,当时,,与题设矛盾,假设不成立,则,即数列是递增数列.所以,“是递增数列”“存在正整数,当时,”.所以,“是递增数列”是“存在正整数,当时,”的充分必要条件.故选,C.4.(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第11题)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足,且存在正整数,使得成立,则称其为0-1周期序列,并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列,是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1序列中,满足的序列是(  ) A.B.C.D.【答案】C解析:由知,序列的周期为m,由已知,,对于选项A,,不满足;对于选项B,,不满足;对于选项D,,不满足;故选:C【点晴】本题考查数列的新定义问题,涉及到周期数列,考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力,是一道中档题.5.(2023年全国乙卷理科·第10题)已知等差数列的公差为,集合,若,则(  )A.-1B.C.0D.【答案】B解析:依题意,等差数列中,,显然函数的周期为3,而,即最多3个不同取值,又,则在中,或,于是有,即有,解得, 所以,.故选:B二、填空题1.(2018年高考数学江苏卷·第14题)已知集合,.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和,则使得成立的n的最小值为.【答案】27解析:设,则===由得,,所以,即.所以只需研究是否有满足条件的解,此时,==,,m为等差数列的项数,且m>16.由>,>0,所以,,所以满足条件的最小值为27.

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发布时间:2023-09-09 16:35:02 页数:35
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文章作者:随遇而安

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