十年高考数学真题分项汇编(2014-2023)(理科)专题05导数选择、填空(理科)(Word版附解析)
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十年(2014-2023)年高考真题分项汇编导数选择、填空目录题型一:导数的概念及其几何意义1题型二:导数与函数的单调性8题型三:导数与函数的极值、最值9题型四:导数与函数的零点14题型五:导数的综合应用16题型六:定积分20题型一:导数的概念及其几何意义一、选择题1.(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点可以作曲线的两条切线,则( )A.B.C.D.【答案】D解析:在曲线上任取一点,对函数求导得,所以,曲线在点处的切线方程为,即,由题意可知,点在直线上,可得,令,则.当时,,此时函数单调递增,当时,,此时函数单调递减,所以,,由题意可知,直线与曲线的图象有两个交点,则,当时,,当时,,作出函数的图象如下图所示:
由图可知,当时,直线与曲线的图象有两个交点,故选D.2.(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第0题)函数的图像在点处的切线方程为( )A.B.C.D.【答案】B【解析】,,,,因此,所求切线的方程为,即.故选:B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程,考查计算能力,属于基础题3.(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第0题)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切,则l的方程为( )A.y=2x+1B.y=2x+C.y=x+1D.y=x+【答案】D解析:设直线在曲线上的切点为,则,函数的导数为,则直线的斜率,
设直线的方程为,即,由于直线与圆相切,则,两边平方并整理得,解得,(舍),则直线的方程为,即.故选:D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用,属于中档题.4.(2019·全国Ⅲ·理·第6题)已知曲线在点处的切线方程为,则( )A.B.C.D.【答案】D【解析】由,根据导数的几何意义易得,解得,从而得到切点坐标为,将其代入切线方程,得,解得,故选D.【点评】准确求导是进一步计算的基础,本题易因为导数的运算法则掌握不熟,二导致计算错误.求导要“慢”,计算要准,是解答此类问题的基本要求.另外对于导数的几何意义要注意给定的点是否为切点,若为切点,牢记三条:①切点处的导数即为切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上。5.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第5题)设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( )A.B.C.D.【答案】D解析:函数,若为奇函数,可得,所以函数,可得,曲线在点处的切线的斜率为:1,则曲线在点处的切线方程为:,故选D.6.(2014高考数学课标2理科·第8题)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=A.0B.1C.2D.3【答案】D解析:因为,所以切线的斜率为,解得,选D7.(2014高考数学大纲理科·第7题)曲线在点(1,1)处切线的斜率等于( )A.2eB.C.2D.1【答案】C解析:因为,所以,根据导数的几何意义可知曲线在
点处切线的斜率,故选C.8.(2016高考数学四川理科·第9题)设分别是函数图像上的点处的切线,与互相垂直并相交于点,且分别与轴相交于点,则的面积的取值范围为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】由题设知:不妨设点的坐标分别为:,其中,则由于分别是点处的切线,直线的斜率分别为而,得:的斜率为,的斜率为;又与垂直,且,由题意易知,则直线联立的方程可得当且仅当即时等号成立而,所以所以的面积的取值范围.9.(2017年高考数学浙江文理科·第7题)函数的导函数的图象如图所示,则函数的图象可能是
xyOxyO
(第7题图)xyO
ABxyOxyO
CD【答案】D【解析】(定义法)导数大于零,原函数递增,导数小于零,原函数递减,对照导函数图象和原函数图象.故选D.
(特例法)取导函数,勾画原函数图象.故选D.
二、填空题1.(2021年高考全国甲卷理科·第0题)曲线在点处的切线方程为__________.【答案】解析:由题,当时,,故点在曲线上.求导得:,所以.故切线方程为.故答案为:.
2.(2022新高考全国II卷·第14题)曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________,____________.【答案】①.②.解析:因为,当时,设切点为,由,所以,所以切线方程为,又切线过坐标原点,所以,解得,所以切线方程为,即;当时,设切点为,由,所以,所以切线方程为,又切线过坐标原点,所以,解得,所以切线方程为,即;故答案为:;3.(2022新高考全国I卷·第15题)若曲线有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是________________.【答案】解析:∵,∴,设切点为,则,切线斜率,切线方程为:,∵切线过原点,∴,整理得:,∵切线有两条,∴,解得或,
∴的取值范围是,故答案为:4.(2019·全国Ⅰ·理·第13题)曲线在点处的切线方程为.【答案】答案:解析:,所以曲线在点处的切线方程为.5.(2019·江苏·第11题)在平面直角坐标系中,点在曲线上,且该曲线在点处的切线经过点(为自然对数的底数),则点的坐标是______.【答案】【解析】设切点,因为,所以切线的斜率,又切线过点,所以,即,解得,则点的坐标是.6.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第14题)曲线在点处的切线的斜率为,则.【答案】解析:记,则依题意有,即,解得.7.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第13题)曲线在点处的切线方程为__________.【答案】解析:因为,所以,切线方程为,即.8.(2014高考数学江西理科·第14题)若曲线上点处的切线平行于直线,则点的坐标是________.【答案】
分析:设切点,则由得:,所以点的坐标是.
9.(2014高考数学广东理科·第10题)曲线在点处的切线方程为【答案】答案:.解析:,故切线方程为.本题易错点在符合函数求导忘记乘以.10.(2014高考数学江苏·第11题)在平面直角坐标系中,若曲线(a,b为常数)过点,且该曲线在点P处的切线与直线平行,则的值是.【答案】
解析:曲线过点,则①,又,所以②,由①、②解得所以.11.(2015高考数学陕西理科·第15题)设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直,则的坐标为.【答案】解析:因为,所以,所以曲线在点处的切线的斜率,设的坐标为(),则,因为,所以,所以曲线在点处的切线的斜率,因为,所以,即,解得,因为,所以,所以,即的坐标是,所以答案应填:.12.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第15题)已知为偶函数,当时,,,则曲线在点处的切线方程是_______________.【答案】【解析】当时,,则.又因为是偶函数,所以,所以,则切线斜率为,所以切线方程为,即.13.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第16题)若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则.【答案】【解析】设直线与曲线的切点为,与曲线的切点为则,所以所以,所以,所以.题型二:导数与函数的单调性1.(2023年新课标全国Ⅱ卷·第6题)已知函数在区间上单调递增,则a
的最小值为( ).A.B.eC.D.【答案】C解析:依题可知,在上恒成立,显然,所以,设,所以,所以在上单调递增,,故,即,即a的最小值为.故选:C.2.(2015高考数学福建理科·第10题)若定义在上的函数满足,其导函数满足,则下列结论中一定错误的是( )A.B.C.D.【答案】C解析:由已知条件,构造函数,则,故函数在上单调递增,且,故,所以,,所以结论中一定错误的是C,选项D无法判断;构造函数,则,所以函数在上单调递增,且,所以,即,,选项A,B无法判断,故选C.3.(2014高考数学大纲理科·第16题)若函数在区间是减函数,则的取值范围是.【答案】解析:因为,而时,函数单调递减,所以在恒成立,即恒成立,因为,所以即在恒成立,从而,因为的值域为即,所以.题型三:导数与函数的极值、最值1.(2021年高考全国乙卷理科·第0题)设,若为函数
的极大值点,则( )AB.C.D.【答案】D解析:若,则为单调函数,无极值点,不符合题意,故.有和两个不同零点,且在左右附近是不变号,在左右附近是变号的.依题意,为函数的极大值点,在左右附近都是小于零的.当时,由,,画出的图象如下图所示:由图可知,,故.当时,由时,,画出的图象如下图所示:由图可知,,故.综上所述,成立.故选:D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质,利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
2.(2022年高考全国甲卷数学(理)·第6题)当时,函数取得最大值,则( )AB.C.D.1【答案】B【解析】因为函数定义域为,所以依题可知,,,而,所以,即,所以,因此函数在上递增,在上递减,时取最大值,满足题意,即有.故选:B.3.(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第11题)若是函数的极值点,则的极小值为( )A.B.C.D.1【答案】A【命题意图】本题主要考查导数的极值概念及其极大值与极小值判定条件,意在考查考生的运算求解能力.【解析】解法一:常规解法∵∴导函数∵∴∴导函数令,∴,当变化时,,随变化情况如下表:+0-0+极大值极小值从上表可知:极小值为.二、多选题1.(2023年新课标全国Ⅱ卷·第11题)若函数既有极大值也有极小值,则( ).
A.B.C.D.【答案】BCD解析:函数的定义域为,求导得,因为函数既有极大值也有极小值,则函数在上有两个变号零点,而,因此方程有两个不等的正根,于是,即有,,,显然,即,A错误,BCD正确.故选:BCD三、填空题1.(2022年高考全国乙卷数学(理)·第16题)已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点.若,则a的取值范围是____________.【答案】解析:,因为分别是函数的极小值点和极大值点,所以函数在和上递减,在上递增,所以当时,,当时,,若时,当时,,则此时,与前面矛盾,故不符合题意,若时,则方程的两个根为,即方程的两个根为,即函数与函数的图象有两个不同的交点,∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数,又∵,∴的图象由指数函数向下关于
轴作对称变换,然后将图象上的每个点的横坐标保持不变,纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到,如图所示:设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为,则切线的斜率为,故切线方程为,则有,解得,则切线的斜率为,因为函数与函数的图象有两个不同的交点,所以,解得,又,所以,综上所述,的范围为.2.(2018年高考数学江苏卷·第11题)若函数在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小值的和为.【答案】–3解析:由得,因为函数在上有且仅有一个零点且,所以,因此,,从而函数在上,单调递增,在上单调递减,所以,,最大值与最小值的和为.3.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第16题)已知函数,则
的最小值是.【答案】解法一:先求的最大值,设,即,故根据奇函数知,解法二:导数法+周期函数当;;解法三:均值不等式法当且仅当时,此时,题型四:导数与函数的零点1.(2014高考数学课标1理科·第11题)已知函数=,若存在唯一的零点,且>0,则的取值范围为( )A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)【答案】B
解析1:由已知,,令,得或,
当时,;
且,有小于零的零点,不符合题意.
当时,
要使有唯一的零点且>0,只需,即,.选B
解析2:由已知,=有唯一的正零点,等价于
有唯一的正零根,令,则问题又等价于有唯一的正零根,即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记,,由,,,
,要使有唯一的正零根,只需,选B
2.(2015高考数学新课标2理科·第12题)设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】A解析:记函数,则,因为当时,,故当时,,所以在单调递减;又因为函数是奇函数,故函数是偶函数,所以在单调递减,且.当时,,则;当时,,则,综上所述,使得成立的的取值范围是,故选A.3.(2015高考数学新课标1理科·第12题)设函数,其中,若存在唯一的整数,使得0,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】D解析:设=,,由题知存在唯一的整数,使得在直线的下方.因为,所以当时,<0,当时,>0,所以当时,=,当时,=-1,,直线恒过(1,0)斜率且,故,且,解得≤<1,故选D.
考点:本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题4.(2015高考数学安徽理科·第15题)设,其中均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是.(写出所有正确条件的编号)①;②;③;④;⑤.【答案】①③④⑤解析:令,求导得,当时,,所以单调递增,且至少存在一个数使,至少存在一个数使,所以必有一个零点,即方程仅有一根,故④⑤正确;当时,若,则,易知,在上单调递增,在上单调递减,所以,,要使方程仅有一根,则或者,解得或,故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.题型五:导数的综合应用1.(2014高考数学辽宁理科·第11题)当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C解析:当0≤x≤1时,ax3-x2+4x+3≥0可化为,令,则,当0≤x≤1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增,f(x)max=f(1)=-6,∴a≥-6;当-2≤x<0时,ax3-x2+4x+3≥0可化为,当-2≤x<-1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当-1<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,f(x)min=f(-1)=-2,∴a≤-2;综上所述,实数a的取值范围是-6≤a≤-2,即实数a的取值范围是[-6,-2].2.(2016高考数学山东理科·第10题)若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的
切线互相垂直,则称具有性质.下列函数中具有性质的是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知,存在两点处的切线斜率的积,即导函数值的积为.当时,,有,所以在函数图像存在两点使条件成立,故A正确;函数的导数值均非负,不符合题意,故选A.二、多选题25.(2022新高考全国I卷·第10题)已知函数,则( )A.有两个极值点B.有三个零点C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线【答案】AC解析:由题,,令得或,令得,所以在上单调递减,在,上单调递增,所以是极值点,故A正确;因,,,所以,函数在上有一个零点,当时,,即函数在上无零点,综上所述,函数有一个零点,故B错误;令,该函数的定义域为,,则是奇函数,是的对称中心,将的图象向上移动一个单位得到的图象,所以点是曲线的对称中心,故C正确;令,可得,又,当切点为时,切线方程为,当切点为时,切线方程为,
故D错误故选:AC.三、填空题1.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第16题)如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的等边三角形的中心为为圆上的点,,,分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以为折痕折起,,,使得重合,得到三棱锥.当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:)的最大值为__________.
【答案】
【解析】如下图,设正三角形的边长为x,则.
,
三棱锥的体积.
令,则,
令,,,
.
2.(2016高考数学北京理科·第14题)设函数.①若,则的最大值为____________________;②若无最大值,则实数的取值范围是_________________.【答案】,.解析:由,得如下图,是的两个函数在没有限制条件时的图象.⑴;⑵当时,有最大值;当时,在时无最大值,且,所以,.3.(2021年新高考全国Ⅱ卷·第16题)已知函数,函数的图象在点和点的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则取值范围是_______.【答案】解析:由题意,,则,所以点和点,,所以,所以,所以,同理,所以.故答案为
.题型六:定积分1.(2014高考数学陕西理科·第3题)定积分的值为( )A.B.C.D.【答案】C解析:,故选C.2.(2014高考数学山东理科·第6题)直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.B.C.D.【答案】解析:由题意知.3.(2014高考数学江西理科·第8题)若则( )A.B.C.D.1【答案】B
分析:设,则因此
4.(2014高考数学湖北理科·第6题)若函数、满足,则称、在区间上的一组正交函数,给出三组函数:①,;②,;③,.其中为区间上的正交函数的组数是( )A.0B.1C.2D.3【答案】C解析:对于①,=
==0.故①为一组正交函数;对于②,==,故②不是一组正交函数;对于③,.故③为一组正交函数,故选C.二、填空题1.(2015高考数学天津理科·第11题)曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.【答案】解析:在同一坐标系内作出两个函数的图象,解议程组得两曲线的交点坐标为,由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积.考点:定积分几何意义与定积分运算.2.(2015高考数学湖南理科·第11题).【答案】.分析:.考点:定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算,意在考查学生的运算求解能力,属于容易题,定积分的计算通常有两类基本方法:一是利用牛顿-莱布尼茨定理;二是利用定积分的几何意义求解.
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