十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（文科）专题05数列小题（文科）（Word版附解析）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—数列小题目录题型一：数列的概念与通项公式1题型二：等差数列5题型三：等比数列10题型四：等差与等比的综合15题型五：数列的求和16题型六：数列与数学文化18题型七：数列的综合应用21题型一：数列的概念与通项公式1．(2019·浙江·文理·第10题)已知，，数列满足，，，则(　　)A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】A【解析】解法一：对于B，由，得．取，则，所以，不合题意；对于C，由，得或．取，则，所以，不合题意；对于D，由，得．取，则，所以，不合题意．对于A，，，，，递增，当时，，，迭乘法得，，A正确．故选A．解法二:借助图形 其中选项中均含有不动点，由于的不确定性，故都不能说明．故选A．2．(2016高考数学浙江文科·第8题)如图，点列分别在某锐角的两边上，且，,(表示点P与Q不重合)，若为的面积，则(　　)A．是等差数列B．是等差数列C．是等差数列D．是等差数列 【答案】A解析：表示点到对面直线的距离(设为)乘以，由题目条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．3．(2022高考北京卷·第15题)己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④解析:由题意可知，，，当时，，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，，则，整理可得，因为，解得，①对；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，，可得，解得，不合乎题意，故数列不等比数列，②错；当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；假设对任意，，则， 所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对．故答案为：①③④．4．(2014高考数学课标2文科·第16题)数列满足，，则．【答案】解析：∵，∴．∵，∴．∴．∴，可知周期为4∴．5．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第16题)数列满足，前16项和为540，则______________．【答案】【解析】，当为奇数时，；当为偶数时，．设数列的前项和为，，．故答案为：．6．(2019·上海·文理·第8题)已知数列前n项和为，且满足，则______.【答案】【解析】由得：()题型二：等差数列1．(2023年全国甲卷文科·第5题)记为等差数列的前项和．若，则(　　) A．25B．22C．20D．15【答案】C解析：方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即,又，解得：，所以．故选：C．方法二：，，所以，，从而，于是，所以．故选：C．2．(2020年浙江省高考数学试卷·第7题)已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是(　　)A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．【答案】D解析：对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；对于B，由题意可知，，，∴，，，．∴，．根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；对于C，，当时，，C正确；对于D，，， ．当时，，∴即；当时，，∴即，所以，D不正确．故选：D3．(2022高考北京卷·第6题)设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C解析:设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数．若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列．所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”．所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件．故选,C．4．(2020北京高考·第8题)在等差数列中，，．记，则数列(　　)．A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差， 则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，．故数列中存在最大项，且最大项为．故选：B．5．(2014高考数学重庆文科·第2题)在等差数列中，，则(　　)A．5B．8C．10D．14【答案】B解析：由等差数列通项公式及解得,于是．6．(2015高考数学新课标2文科·第5题)设是等差数列的前项和,若,则(　　)A．B．C．D．【答案】A解析：解析：由,所有．故选A．7．(2015高考数学新课标1文科·第7题)已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则(　　)A．B．C．D．【答案】B分析：∵公差，，∴，解得=，∴，故选B．8．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第14题)记为等差数列前n项和．若，则__________．【答案】【解析】是等差数列，且，设等差数列的公差根据等差数列通项公式：可得 即：整理可得：解得：根据等差数列前项和公式：可得：．故答案为：．9．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第14题)将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】解析：因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：．10．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第15题)将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】解析：因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：．11．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第13题)记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．【答案】2解析：由可得，化简得，即，解得． 故答案为：2．12．(2019·全国Ⅲ·文·第13题)记为等差数列的前n项和，若，，则___________．【答案】100【解析】在等差数列中，由，，得，．则．13．(2019·江苏·文理·第8题)已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是.【答案】16【解析】由，得，从而，即，解得，所以.14．(2018年高考数学上海·第6题)记等差数列的前项和为．若，，则．【答案】14解析：，，，，．15．(2014高考数学江西文科·第13题)在等差数列中,,公差为,前项和为,当且仅当时取最大值,则的取值范围_________．【答案】 分析:由题意得:,所以,即 考点:等差数列性质16．(2015高考数学安徽文科·第13题)已知数列中，，()，则数列的前9项和等于．【答案】27解析：∵时，∴为首项，为公差的等差数列∴17．(2016高考数学江苏文理科·第8题)已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是．【答案】．解析：设公差为，则由题意可得，，解得，，则．18．(2015高考数学陕西文科·第13题)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________ 【答案】5解析：若这组数有个，则，，又，所以；若这组数有个，则，，又，所以；故答案为5题型三：等比数列1．(2023年天津卷·第6题)已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为(　　)A．3B．18C．54D．152【答案】C解析：由题意可得：当时，，即，①当时，，即，②联立①②可得，则．故选：C．2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第8题)记为等比数列的前n项和，若，，则(　　)．A．120B．85C．D．【答案】C解析：方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C．方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列， 所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去．故选：C．3．(2021年高考全国甲卷文科·第9题)记为等比数列的前n项和．若，，则(　　)A．7B．8C．9D．10【答案】A解析：∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴．故选：A．4．(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第10题)设等比数列，且，，则(　　)A．12B．24C．30D．32【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，，因此，．故选：D．5．(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第6题)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=(　　)A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此．故选：B．6．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第10题)已知等比数列的前3项和为168，，则(　　)A14B．12C．6D．3【答案】D解析：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以．故选：D．7．(2019·全国Ⅲ·文·第5题)已知各项为正数的等比数列的前4项和为15，且，则(　　)A．16B．8C．4D．2【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则由前4项和为15，且，有，，，故选：C．8．(2018年高考数学浙江卷·第10题)已知成等比数列，且，若，则(　　)A．B．C．D．【答案】B 解析：由的结构，想到对数放缩最常用公式，所以，得到，于是公比．若，则，而，即，矛盾，所以，于是，故选B．9．(2014高考数学课标2文科·第5题)等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前项和=(　　)Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】A解析：∵，，，成等比数列，∴，即．解得，．∴．∴选A．10．(2014高考数学大纲文科·第8题)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)A．31B．32C．63D．64【答案】C　解析:由题意，成等比数列，则，．11．(2015高考数学新课标2文科·第9题)已知等比数列满足,,则(　　)【答案】C分析：由题意可得,所以,故,选C．12．(2023年全国甲卷文科·第13题)记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．【答案】解析：若，则由得，则，不合题意．所以．当时，因为，所以， 即，即，即，解得．故答案为：13．(2019·全国Ⅰ·文·第14题)记为等比数列的前项和，若，，则　　．【答案】【解析】，，设等比数列公比为，，，所以.14．(2014高考数学广东文科·第13题)等比数列的各项均为正数，且，则＝．【答案】　解析：在等比数列中，．因为，所以，所以，所以15．(2014高考数学江苏·第7题)在各项均为正数的等比数列中，，则的值是．【答案】4解析：设公比为，因为，则由得，，解得或(舍)，所以．16．(2015高考数学新课标1文科·第13题)数列中为的前n项和，若，则．【答案】6分析：∵，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴，∴n=6．17．(2015高考数学广东文科·第13题)若三个正数，，成等比数列，其中，，则．【答案】解析：因为三个正数，，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：．18．(2017年高考数学江苏文理科·第9题)等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则=____． 【答案】32 解析:当时,显然不符合题意; 当时,,解得,则． 题型四：等差与等比的综合1．(2014高考数学天津文科·第5题)设是首项为，公差为－1的等差数列，为其前n项和．若成等比数列，则=(　　)A．2B．-2C．D．【答案】D解析：依题意得，所以，解得．故选D．2．(2014高考数学辽宁文科·第9题)设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则(　　)A．B．C．D．【答案】D解析:,故选D3．(2015高考数学浙江文科·第10题)已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则，．【答案】解析：由题可得，，故有，又因为，即，所以．4．(2015高考数学福建文科·第16题)若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．【答案】9解析：由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以．5．(2020江苏高考·第11题)设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列 的前项和，则的值是_______．【答案】【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意．等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，通过对比系数可知，故．故答案为：题型五：数列的求和1．(2021年高考浙江卷·第10题)已知数列满足．记数列的前n项和为，则(　　)A．B．C．D．【答案】A解析:因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号，所以，即．故选A．2．(2020年浙江省高考数学试卷·第11题)已知数列{an}满足，则S3=________．【答案】10解析：因为，所以．即．3．(2015高考数学江苏文理·第11题)设数列满足，且(),则数列前10项的和为_______．【答案】解析：由题意得：所以题型六：数列与数学文化1．(2022新高考全国II卷·第3题)图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0．1的等差数列，且直线的斜率为0．725，则(　　) (　　)A．0．75B．0．8C．0．85D．0．9【答案】D解析：设，则，依题意，有，且，所以，故．故选D．2．(2021高考北京·第6题)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则A．64B．96C．128D．160【答案】C解析：由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，因为，，可得，可得，又由长与宽之比都相等，且，可得，所以．故选：C．3．(2018年高考数学北京(文)·第5题)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率，则第八个单音频率为(　　) A．B．C．D．【答案】D解析：因为每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，所以，而，所以，故选D．4．(2023年北京卷·第14题)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．【答案】①．48②．384解析：方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，则，且，可得，则，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因为为等比数列，则，且，所以；又因为，则；空2：设后7项公比为，则，解得，可得，所以．故答案为：48；384．5．(2021年新高考Ⅰ卷·第16题)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______．【答案】5解析:(1)对折次可得到如下规格：，，，，，共种；(2)由题意可得，，，，，，设，则，两式作差得，因此，,故答案为；．题型七：数列的综合应用1．(2023年北京卷·第10题)已知数列满足，则(　　)A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立【答案】B 解析：法1：因为，故，对于A，若，可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立，由数学归纳法可得成立．而，，，故，故，故为减数列，注意故，结合，所以，故，故，若存在常数，使得恒成立，则，故，故，故恒成立仅对部分成立，故A不成立．对于B，若可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立即由数学归纳法可得成立．而， ，，故，故，故为增数列，若，则恒成立，故B正确．对于C，当时，可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立即由数学归纳法可得成立．而，故，故为减数列，又，结合可得：，所以，若，若存在常数，使得恒成立，则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误．对于D，当时，可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立由数学归纳法可得成立．而，故，故为增数列，又，结合可得：，所以， 若存在常数，使得恒成立，则，故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误．故选：B．法2：因为，令，则，令，得或；令，得；所以在和上单调递增，在上单调递减，令，则，即，解得或或，注意到，，所以结合的单调性可知在和上，在和上，对于A，因为，则，当时，，，则，假设当时，，当时，，则，综上：，即，因为在上，所以，则为递减数列，因为， 令，则，因为开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，故，所以在上单调递增，故，故，即，假设存常数，使得恒成立，取，其中，且，因为，所以，上式相加得，，则，与恒成立矛盾，故A错误；对于B，因为，当时，，，假设当时，，当时，因为，所以，则，所以，又当时，，即，假设当时，，当时，因为，所以，则，所以，综上：，因为在上，所以，所以为递增数列，此时，取，满足题意，故B正确； 对于C，因为，则，注意到当时，，，猜想当时，，当与时，与满足，假设当时，，当时，所以，综上：，易知，则，故，所以，因为在上，所以，则为递减数列，假设存在常数，使得恒成立，记，取，其中，则，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C错误；对于D，因为， 当时，，则，假设当时，，当时，，则，综上：，因为在上，所以，所以为递增数列，因为，令，则，因为开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，故，所以，故，即，假设存在常数，使得恒成立，取，其中，且，因为，所以，上式相加得，，则，与恒成立矛盾，故D错误．故选：B2．(2017年高考数学上海(文理科)·第14题)已知数列和,其中,,的项是互不相等的正整数,若对于任意,的第项等于的第项,则________．【答案】2【解析】．3．(2016高考数学上海文科·第14题)无穷数列由个不同的数组成，为的前项和．若对任意的，，则的最大值为． 【答案】4【解析】当时，或；当时，若，则，于是，若，则，于是．从而存在，当时，．其中数列：2,1，-1,0,0，……满足条件，所以．4．(2015高考数学江苏文理·第14题)设向量()，则的值为_______．【答案】解析：akak+1因为的周期皆为，一个周期的和皆为零，因此(akak+1)5．(2018年高考数学江苏卷·第14题)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为．【答案】27解析：设，则＝＝＝由得，，所以，即．所以只需研究是否有满足条件的解，此时，＝＝，，m为等差数列的项数，且m＞16．由＞，＞0，所以，，所以满足条件的最小值为27．