十年高考数学真题分项汇编(2014-2023)(文科)专题02函数选择题(文科)(Word版附解析)
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十年(2014-2023)年高考真题分项汇编—函数(选择题)目录题型一:函数及其表示1题型二:函数的基本性质8题型三:基本初等函数25题型四:函数的图像27题型五:函数与方程27题型六:函数模型及其应用44题型七:函数的综合问题49题型一:函数及其表示1.(2023年天津卷·第5题)已知函数一条对称轴为直线,一个周期为4,则的解析式可能为( )A.B.C.D.【答案】B解析:由函数的解析式考查函数的最小周期性:A选项中,B选项中,C选项中,D选项中,排除选项CD,对于A选项,当时,函数值,故是函数的一个对称中心,排除选项A,对于B选项,当时,函数值,故是函数的一条对称轴,
故选:B.2.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(文)·第12题)设函数则满足的的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】D解析:【基本解法1】(分类讨论法)由于当时,单调递减;而当时,(为常数),故分以下两种情况:或解这两个不等式组得,故选D.【基本解法2】(数形结合法)作出的图象,如图:结合图象可知或,解得,故选D.3.(2014高考数学陕西文科·第10题)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )A.B.C.D.湖面Ox(千米)y(千米)2【答案】A
解析:由已知设所求三次函数为所以,由给出图像可知所求三次函数过点且在这两点处的切线分别为,所以有即解得所以;也可根据题意设再根据求出,.4.(2014高考数学江西文科·第4题)已知函数,若,则( )A.B.C.D.【答案】A
分析:因为所以5.(2015高考数学浙江文科·第8题)设实数,,满足( )A.若确定,则唯一确定B.若确定,则唯一确定C.若确定,则唯一确定D.若确定,则唯一确定【答案】B解析:因为,所以,所以,故当确定时,确定,所以唯一确定.故选B.6.(2015高考数学新课标1文科·第10题)已知函数,且,则( )A.B.C.D.【答案】A分析:∵,∴当时,,则,此等式显然不成立,当时,,解得,∴=,故选A.
7.(2015高考数学陕西文科·第4题)设,则( )A.B.C.D.【答案】C解析:因为,所以,故答案选8.(2015高考数学山东文科·第10题)设函数,若,则( )A.B.C.D.【答案】D解析:由题意,由得,或,解得,故选.9.(2017年高考数学山东文科·第9题)设,若,则( )A.2B.4C.6D.8【答案】C
【解析】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.10.(2014高考数学山东文科·第3题)函数的定义域为( )A.B.C.D.【答案】解析:由已知,即,解得,故选.11.(2015高考数学重庆文科·第3题)函数的定义域是( )A.B.C.D.【答案】D解析:由解得或,故选D.12.(2015高考数学湖北文科·第6题)函数的定义域为( )A.B.C.D.【答案】C.
解析:由函数的表达式可知,函数的定义域应满足条件:,解之得,即函数的定义域为,故应选.13.(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第10题)下列函数中,其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是( ).A.B.C.D.【答案】D.【解析1】,定义域与值域均为,函数的定义域和值域均为,不满足要求;函数的定义域为,值域为,不满足要求;函数的定义域为,值域为,不满足要求;函数的定义域和值域均为,满足要求;【解析2】利用选项中A、C的定义域与题干对数函数定义域不同,排除;指数函数的值域是,对数的值域是,排除C,从而选D.【解析3】,定义域与值域均为,只有D满足,故选D.14.(2021年全国高考乙卷文科·第8题)下列函数中最小值为4的是( )A.B.C.D.【答案】C解析:对于A,,当且仅当时取等号,所以其最小值为,A不符合题意;对于B,因为,,当且仅当时取等号,等号取不到,所以其最小值不为,B不符合题意;对于C,因为函数定义域为,而,,当且仅当,即时取等号,所以其最小值为,C符合题意;对于D,,函数定义域为,而且,如当,,D不符合题意.故选:C.15.(2014高考数学安徽文科·第9题)若函数的最小值为3,则实数的值为( )A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或8
【答案】D解析:若,则,由图象知,当时,取最小值,所以,解得或(舍);同理,若,可求得;综上或,故选D.16.(2017年高考数学天津文科·第8题)已知函数设,若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】A【基本解法1】由不等式得,,只需要计算在上的最大值和在上的最小值即可,当时,又(当时取等号),(当时取等号),所以,当时,又=(当时取等号),(当时取等号),
所以,综上.故选A.【特殊解法2】(特值排除法)满足题意时的图象恒不在函数下方,当时,函数图象如图所示,排除C,D选项;当时,函数图象如图所示,排除B选项,故选择A.17.(2016高考数学浙江文科·第7题)已知函数满足:且.( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】B解析:由已知可设,则,因为为偶函数,所以只考虑的情况即可.若,则,所以.故选B.18.(2014高考数学大纲文科·第5题)函数=ln()()的反函数是( )A.B.
C.D..【答案】D 分析:,故排除A,C,因为,原函数的值域就是反函数的定义域,故选D19.(2017年高考数学浙江文理科·第5题)若函数在区间上的最大值是,最小值是,则( )A.与有关,且与有关B.与有关,但与无关C.与无关,且与无关D.与无关,但与有关【答案】B
【解析】(特值法)取得;取得;取得,故与有关,与无关.故选B.
(特例法)当对称轴小于0时,;当对称轴大于1时,;故与有关,与无关.故选B.
题型二:函数的基本性质1.(2023年全国甲卷文科·第11题)已知函数.记,则( )AB.C.D.【答案】A解析:令,则开口向下,对称轴为,因为,而,所以,即由二次函数性质知,因为,而,即,所以,
综上,,又为增函数,故,即.故选:A.2.(2023年北京卷·第4题)下列函数中,在区间上单调递增的是( )A.B.C.D.【答案】C解析:对于A,因为在上单调递增,在上单调递减,所以在上单调递减,故A错误;对于B,因为在上单调递增,在上单调递减,所以在上单调递减,故B错误;对于C,因为在上单调递减,在上单调递减,所以在上单调递增,故C正确;对于D,因为,,显然在上不单调,D错误.故选:C.3.(2023年天津卷·第3题)若,则的大小关系为( )A.B.C.D.【答案】D解析:由在R上递增,则,由在上递增,则.所以.故选:D4.(2023年新课标全国Ⅰ卷·第4题)设函数在区间上单调递减,则的取值范围是( )
A.B.C.D.【答案】D解析:函数在R上单调递增,而函数在区间上单调递减,则有函数在区间上单调递减,因此,解得,所以的取值范围是.故选:D5.(2021年高考全国甲卷文科·第4题)下列函数中是增函数为( )A.B.C.D.【答案】D解析:对于A,为上的减函数,不合题意,舍.对于B,为上的减函数,不合题意,舍.对于C,在为减函数,不合题意,舍.对于D,为上的增函数,符合题意,故选:D6.(2022年全国高考甲卷数学(文)·第12题)已知,则( )A.B.C.D.【答案】A【解析】由可得,而,所以,即,所以.又,所以,即,所以.综上,.故选:A.7.(2022新高考全国I卷·第7题)设,则( )A.B.C.D.
【答案】C解析:设,因为,当时,,当时,所以函数在单调递减,在上单调递增,所以,所以,故,即,所以,所以,故,所以,故,设,则,令,,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,又,所以当时,,所以当时,,函数单调递增,所以,即,所以故选:C.8.(2014高考数学陕西文科·第7题)下列函数中,满足“”的单调递增函数是( )A.B.C.D.【答案】B解析:由可知指数函数满足此关系,又要求函数单调递增,所以.考点:(1)2.2.1函数单调性的判断;(2)2.7.1抽象函数的性质及应用.难度:B9.(2014高考数学山东文科·第5题)已知实数满足,则下列关系式恒成立的是( )A.B.C.D.【答案】解析:由知,所以,选
10.(2014高考数学北京文科·第2题)下列函数中,定义域是且为增函数的是( )A.B.C.D.【答案】B解析:函数的定义域为,但函数为减函数,不满足条件.B.函数的定义域为,函数增函数,满足条件.C.函数的定义域为,函数为增函数,不满足条件.D.函数的定义域为,在上函数是增函数,在上是减函数,不满足条件.故选A.11.(2015高考数学新课标2文科·第12题)设函数,则使得成立的的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】A分析:由可知是偶函数,且在是增函数,所以.故选A.12.(2015高考数学湖南文科·第8题)设函数,则是( )A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数【答案】A解析:函数,函数的定义域为(-1,1),函数所以函数是奇函数.,在(0,1)上,所以在(0,1)上单调递增,故选A.13.(2017年高考数学天津文科·第6题)已知奇函数在上增函数.若,则的大小关系为( )A.B.C.D.【答案】C【基本解法】因为奇函数在上增函数,所以,又因为,所以,即,故选C.14.(2016高考数学天津文科·第6题)已知是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增,若实数满足,则的取值范围是( )A.B.C.D.
【答案】C解析:由是偶函数得,再由偶函数在对称区间上单调性相反,得在上单调递减所以由,得,即.15.(2016高考数学北京文科·第4题)下列函数中,在区间上为减函数的是( )A.B.C.D.【答案】D解析:由在上单调递减,故选D.16.(2023年全国乙卷文科·第5题)已知是偶函数,则( )AB.C.1D.2【答案】D解析:因为为偶函数,则,又因为不恒为0,可得,即,则,即,解得.故选:D.17.(2023年新课标全国Ⅱ卷·第4题)若为偶函数,则( ).A.B.0C.D.1【答案】B解析:因为为偶函数,则,解得,当时,,,解得或,则其定义域为或,关于原点对称.,故此时为偶函数.故选:B.
18.(2021年高考全国甲卷文科·第12题)设是定义域为R奇函数,且.若,则( )A.B.C.D.【答案】C解析:由题意可得:,而,故.故选:C.19.(2021年全国高考乙卷文科·第9题)设函数,则下列函数中为奇函数的是( )A.B.C.D.【答案】B解析:由题意可得,对于A,不是奇函数;对于B,是奇函数;对于C,,定义域不关于原点对称,不是奇函数;对于D,,定义域不关于原点对称,不是奇函数.故选:B20.(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第8题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】D解析:因为定义在上的奇函数在上单调递减,且,
所以在上也是单调递减,且,,所以当时,,当时,,所以由可得:或或解得或,所以满足的的取值范围是,故选:D.21.(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第8题)若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】D解析:因为定义在上的奇函数在上单调递减,且,所以在上也是单调递减,且,,所以当时,,当时,,所以由可得:或或解得或,所以满足的的取值范围是,故选:D.22.(2022高考北京卷·第4题)己知函数,则对任意实数x,有( )A.B.C.D.【答案】C解析:,故A错误,C正确;,不是常数,故BD错误;故选,C.23.(2019·上海·文理·第15题)已知,函数,存在常数,使得
为偶函数,则可能的值为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】法一(推荐):依次代入选项的值,检验的奇偶性,选C;法二:,若为偶函数,则,且也为偶函数(偶函数×偶函数=偶函数),∴,当时,,选C.24.(2019·全国Ⅱ·文·第6题)设为奇函数,且当时,,则当时,( )A.B.C.D.【答案】D【解析】是奇函数,.当时,,,得.故选D.25.(2014高考数学重庆文科·第4题)下列函数为偶函数的是( )A.B.C.D.【答案】D解析:利用奇偶性的判断法则:为奇函数;为偶函数即可得到答案为D.26.(2014高考数学辽宁文科·第10题)已知为偶函数,当时,,则不等式的解集为( )A.B.C.D.【答案】A解析:当时,即;当时,即,综上当时,的t的取值范围为,又因为为偶函数,由对称性知所以的解集为,所以求不等式的解集,只需令,
解得,所以不等式的解集为,故选A27.(2014高考数学课标1文科·第5题)设函数的定义域为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.是偶函数B.是奇函数C.是奇函数D.是奇函数【答案】C解析:设,则,∵是奇函数,是偶函数,∴,为奇函数,选C.28.(2014高考数学湖南文科·第4题)下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是( )A.B.C.D.【答案】A解析:根据“偶函数”条件排除C、D,“又在区间上单调递增”,所以又排除B,29.(2014高考数学广东文科·第5题)下列函数为奇函数的是( )A.B.C.D.【答案】A解析:对于A选项中的函数,其定义域为,,故A选项中的函数为奇函数;对于B选项中的函数,其定义域为,由于函数与函数均为奇函数,则函数为偶函数;对于C选项中的函数,其定义域为,,故函数为偶函数;对于D选项中的函数,,,则,因此函数为非奇非偶函数,故选A.30.(2014高考数学大纲文科·第12题)奇函数的定义域为R.若为偶函数,且,则=( )A.-2B.-1C.0D.1【答案】D 解析:因为函数是奇函数,所以,又因为是偶函数,所以,所以,而,,同理,所以,故选D.31.(2015高考数学山东文科·第8题)若函数是奇函数,则使成立的的取值范围为( )A.()B.()C.D.【答案】C解析:
由题意,即所以,,由得,故选.32.(2015高考数学广东文科·第3题)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )A.B.C.D.【答案】D解析:函数的定义域为,关于原点对称,因为,,所以函数既不是奇函数,也不是偶函数;函数的定义域为,关于原点对称,因为,所以函数是偶函数;函数的定义域为,关于原点对称,因为,所以函数是偶函数;函数的定义域为,关于原点对称,因为,所以函数是奇函数.故选D.33.(2015高考数学福建文科·第3题)下列函数为奇函数的是( )A.B.C.D.【答案】D解析:函数和是非奇非偶函数;是偶函数;是奇函数,故选D.34.(2015高考数学安徽文科·第4题)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )A.B.C.D.【答案】D解析:选项A:的定义域为(0,+∞),故不具备奇偶性,故A错误;选项B:是偶函数,但无解,即不存在零点,故B错误;选项C:是奇函数,故C错;选项D:是偶函数,且,,故D项正确.35.(2017年高考数学北京文科·第5题)已知函数,则( )A.是偶函数,且在上是增函数B.是奇函数,且在上是增函数C.是偶函数,且在上是减函数D.是奇函数,且在上是减函数【答案】B
【解析】解法一:的定义域为,为奇函数.在上为减函数,在上为增函数.又在上为增函数,在上为增函数.
解法二:令且,则
,又
在上为增函数,在上为奇函数在上为增函数.
36.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第7题)下列函数中,其图像与函数的图像关于直线对称的是( )A.B.C.D.【答案】B解析:关于对称,则,故选B.另解:因为过点,点关于直线对称的点必在所求函数的图像上,只有B选项满足.故选B.37.(2015高考数学新课标1文科·第12题)设函数的图像与的图像关于直线对称,且,则( )A.B.C.D.【答案】C分析:设是函数的图像上任意一点,它关于直线对称为(),由已知知()在函数的图像上,∴,解得,即,∴,解得,故选C.38.(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第12题)已知函数有唯一零点,则( )A.B.C.D.【答案】C【解析】法一:设,当时,,当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,当时,函数取得最小值,设,当时,函数取得最小值,若,函数和没有交点,当时,时,函数和有一个交点,即,所以,故选C.解法二:由条件,,得:
所以,即为的对称轴由题意,有唯一零点,∴的零点只能为即解得.39.(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第9题)已知函数,则( )A.在单调递增B.在单调递减C.的图像关于直线对称D.的图像关于点对称
【答案】C
【解析】(法一)函数的定义域为,,
设,为增函数,当时,为增函数,
为增函数,当时,为减函数,为减函数.排除A,B,
因为是二次函数,图像关于直线对称,故,
所以,的图像关于直线对称,故选C;
(法二),当时,,为增函数.
当时,,为减函数,故排除A,B.故选C;
40.(2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题)已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则( )A.B.C.D.【答案】B解析:因为函数为偶函数,则,可得,因为函数为奇函数,则,所以,,所以,,即,故函数是以4为周期的周期函数,因为函数为奇函数,则,故,其它三个选项未知,故选B.
41.(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第10题)设函数,则( )A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数定义域为,其关于原点对称,而,所以函数为奇函数.又因为函数在上单调递增,在上单调递增,而在上单调递减,在上单调递减,所以函数在上单调递增,在上单调递增.故选:A.42.(2019·全国Ⅲ·文·第11题)设是定义域为R的偶函数,且在单调递减,则( )A.B.C.D.【答案】C【解析】是定义域为的偶函数,,,在上单调递减,,故选:C.全国卷设置1.(2021年新高考全国Ⅱ卷·第7题)已知,,,则下列判断正确的是( )A.B.C.D.【答案】C解析:,即,故选C.2.(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第8题)设,则( )A.B.C.D.【答案】B
【解析】由可得,所以,所以有,故选:B.3.(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第12题)若,则( )A.B.C.D.【答案】A【解析】由得:,令,为上的增函数,为上的减函数,为上的增函数,,,,,则A正确,B错误;与的大小不确定,故CD无法确定.故选:A.4.(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第10题)设,,,则( )A.B.C.D.【答案】A【解析】因为,,所以.故选:A.5.(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第7题)已知函数在上单调递增,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】D解析:由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以,故选:D
6.(2022年浙江省高考数学试题·第7题)已知,则( )A.25B.5C.D.【答案】C解析:因为,,即,所以.故选,C.7.(2021高考天津·第5题)设,则a,b,c的大小关系为( )A.B.C.D.【答案】D解析:,,,,,,.故选:D.8.(2014高考数学四川文科·第7题)已知,,,,则下列等式一定成立的是( )A.d=acB.C.D.【答案】B解析:相除得,又,所以.选B.9.(2014高考数学辽宁文科·第3题)已知,,则( )A.B.(C)D.【答案】C解析:,,,,故选C10.(2014高考数学安徽文科·第5题)设,,,则( )A.B.C.D.【答案】B解析:因为,,,所以,故选B.
11.(2015高考数学天津文科·第7题)已知定义在上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为( )A.B.C.D.【答案】B解析:由为偶函数得,所以,,所以,故选B.12.(2015高考数学陕西文科·第10题)设,若,,,则下列关系式中正确的是( )A.B.C.D.【答案】C解析:;;因为,由是个递增函数,所以,故答案选13.(2015高考数学山东文科·第3题)设则的大小关系是( )A.B.C.D.【答案】C解析:由在区间是单调减函数可知,,又,故选.14.(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科·第8题)函数的单调递增区间是( )A.B.C.D.【答案】C
【解析】本题由题知的定义域为.
令,则,且递增.
当时,关于递减,关于递减;
当时,关于递增,关于递增;
故的递增区间为.故选D.
15.(2016高考数学浙江文科·第5题)已知,且,若,则( )A.B.C.D.【答案】D解析:,当时,,
当时,,故选D.16.(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第7题)已知则( )(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】因为,,又函数在上是增函数,所以,即,故选A.17.(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第8题)若,则( )A.B.C.D.【答案】B【解析】对于选项A:,,而,所以,但不能确定的正负,所以它们的大小不能确定;对于选项B:,而,两边同乘以一个负数改变不等号方向所以选项B正确;对于选项C:利用在第一象限内是增函数即可得到,所以C错误;对于选项D:利用在上为减函数易得为错误.所以本题选B.18.(2015高考数学北京文科·第3题)下列函数中为偶函数的是( )A.B.C.D.【答案】B解析:根据偶函数的定义,A选项为奇函数,B选项为偶函数,C选项定义域为不具有奇偶性,D选项既不是奇函数,也不是偶函数,故选B.题型三:基本初等函数1.(2019·北京·文·第3题)下列函数中,在区间上单调递增的是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】在上单调递增,和在上都是减函数.故选A.2.(2018年高考数学天津(文)·第5题)已知,则的大小关系为( )A.B.C.D.【答案】D
解析:,,,,,故.3.(2021高考天津·第7题)若,则( )A.B.C.1D.【答案】C解析:,,.故选:C.4.(2014高考数学天津文科·第4题)设a=,,c=,则( )A.B.C.D.【答案】C解析:由题可知,所以,故选C.5.(2014高考数学浙江文科·第7题)已知函数,且,则( )A.B.C.D.【答案】C解析:由题意知化简得解得所以,所以,解得.故选C.题型四:函数的图像1.(2014高考数学浙江文科·第8题)在同一直角坐标系中,函数,的图象可能是( )
【答案】D解析:根据对数函数性质知,,所以幂函数是增函数,排除A(利用点也可以排除);选项B从对数函数图象看,与幂函数图象矛盾;选项C从对数函数图象看,与幂函数图象矛盾.故选D.2.(2023年天津卷·第4题)函数图象如下图所示,则的解析式可能为( )( )A.B.C.D.【答案】D解析:由图知:函数图象关于y轴对称,其为偶函数,且,由且定义域为R,即B中函数为奇函数,排除;当时、,即A、C中上函数值为正,排除;故选:D3.(2021年高考浙江卷·第7题)已知函数,则图象为如图的函数可能是( )
( )A.B.C.D.【答案】D解析:对于A,,该函数为非奇非偶函数,与函数图象不符,排除A;对于B,,该函数为非奇非偶函数,与函数图象不符,排除B;对于C,,则,当时,,与图象不符,排除C.故选D.4.(2020年浙江省高考数学试卷·第4题)函数y=xcosx+sinx在区间[–π,+π]的图象大致为( )A.B.C.D.【答案】A解析:,则,为奇函数,函数图象关于坐标原点对称,据此可知选项CD错误;
且时,,据此可知选项B错误.故选:A.5.(2022年全国高考甲卷数学(文)·第7题)函数在区间的图象大致为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】令,则,所以为奇函数,排除BD;又当时,,所以,排除C.故选:A.6.(2022年高考全国乙卷数学(文)·第8题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像,则该函数是( )( )
A.B.C.D.【答案】A解析:设,则,故排除B;设,当时,,所以,故排除C;设,则,故排除D.故选:A.7.(2021高考天津·第3题)函数的图像大致为( )A.B.C.D.【答案】B解析:设,则函数的定义域为,关于原点对称,又,所以函数偶函数,排除AC;当时,,所以,排除D.
故选:B.8.(2020天津高考·第3题)函数的图象大致为( )AB.( )C.D.【答案】A【解析】由函数的解析式可得:,则函数为奇函数,其图象关于坐标原点对称,选项CD错误;当时,,选项B错误.故选:A.9.(2020北京高考·第6题)已知函数,则不等式的解集是( ).A.B.C.D.【答案】D【解析】因为,所以等价于,在同一直角坐标系中作出和的图象如图:两函数图象的交点坐标为,不等式的解为或.所以不等式的解集为:.故选:D.10.(2019·浙江·文理·第6题)在同一直角坐标系中,函数,
的图象可能是( )【答案】D【解析】当时,函数的图象恒过点,且在上单调递增;的图象恒过点,在上单调递减,故选项D满足条件.当时,函数的图象恒过,在上单调递减;的图象恒过点,在上单调递增,各选项均不符合.11.(2019·全国Ⅰ·文·第5题)函数的图象在,的大致为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】∵,∴为奇函数,排除A.又,排除C,,排除B,故选D.12.(2018年高考数学浙江卷·第5题)函数的图像可能是( )
【答案】B解析:设,则,所以该函数是一个奇函数,其图像关于原点对称,排除A,B,又,排除C,故选D.13.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第9题)函数的图像大致为( )【答案】D解析:易知函数为偶函数,而,所以当时,;当时,,所以函数在、上单调递增,在、上单调递减.故选D.14.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第3题)函数的图像大致为( )【答案】B解析:函数,则函数
为奇函数,图象关于原点对称,排除A,当时,,排除D.当时,,排除C,故选B.15.(2014高考数学山东文科·第6题)已知函数的图象如右图,则下列结论成立的是( )A.B.C.D.【答案】解析:由图可知,函数的图象是由函数的图象向左平移个单位而得到的,其中,再根据单调性易知,故选.16.(2014高考数学江西文科·第9题)在同意直角坐标系中,函数的图像不可能的是( )【答案】B
分析:当时,两函数图像为D所示,当时,由得:或,的对称轴为.当时,由知B不对.当时,由知A,C正确.17.(2015高考数学浙江文科·第5题)函数(且)的图象可能为( )
【答案】D解析:因为,故函数是奇函数,所以排除A,B;取,则,故选D.18.(2015高考数学新课标2文科·第11题).如图,长方形的边,,是的中点.点沿着边,与运动,记.将动点到两点距离之和表示为的函数,则的图像大致为( )( )【答案】B分析:由题意可得,由此可排除C,D;当时点在边上,,,所以,可知时图像不是线段,可排除A,故选B.19.(2014高考数学福建文科·第8题)若函数,且的图像如图所示,则下列函数图像正确的是( )
【答案】B解析:由对数函数的图象知,此函数图象过点,故有,解得.对于A,由于是一个减函数,与函数图象不对应,A错.对于B,由于幂函数是个一增函数,且是奇函数,图象过原点且关于原点对称,图象与函数的性质对应,所以B对.对于C,由于,所以是一个减函数,与函数图象不对应,C错.对于D,由于和的图象关于轴对称,所给的图象不满足这一特征,D错.20.(2017年高考数学新课标Ⅲ卷文科·第3题)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( )A.月接待游客逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【答案】
【解析】由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据可得:
月接待游客量逐月有增有减,故A错误;
年接待游客量逐年增加,故B正确;
各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故C正确;
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳,故正确;
故选:
21.(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科·第8题)函数的部分图像大致为( )【答案】C
【解析】由题意知,函数为奇函数,故排除B;当时,,排除D;当时,,排除A.故选C.22.(2016高考数学浙江文科·第3题)函数的图象是( )( )ABCD【答案】D解析:因为为偶函数,所以它的图象关于轴对称,排除A、C选项;当,即时,,排除B选项,故选D.23.(2016高考数学课标Ⅰ卷文科·第9题)函数在[–2,2]的图像大致为( )yxy2O-21Cx2O-21Byx2O-21Ax2O-21Dy【答案】D【解析】函数在[–2,2]上是偶函数,其图象关于轴对称,因为,所以排除选项;当时,有一零点,设为,当时,为减函数,当时,为增函数.故选D
题型五:函数与方程全国卷设置1.(2019·天津·文·第8题)已知函数,若关于的方程恰有两个互异的实数解,则的取值范围为( )A.B.C.D.【答案】D【思路分析】分别作出和的图象,考虑直线经过点和时,有两个交点,直线与在相切,求得的值,结合图象可得所求范围.【解析】作出函数的图象,以及直线的图象关于的方程恰有两个互异的实数解,即为和的图象有两个交点,平移直线,考虑直线经过点和时,有两个交点,可得或,考虑直线与在相切,可得,由,解得舍去),综上可得的范围是,.故选D.法二:因为关于的方程恰有两个互异的实数解,即方程恰有两个互异的实数解;则;
①当时,令,则;当,此时为增函数;②当时,,在(1,2)单调递减,在(2,+∞)上单调递增;则时,取得最小值为,根据图像可得,当时,有有两个互异的实数解;当时,有有两个互异的实数解;故选D.2.(2020天津高考·第9题)已知函数若函数恰有4个零点,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】注意到,所以要使恰有4个零点,只需方程恰有3个实根即可,令,即与的图象有个不同交点.因为,当时,此时,如图1,与有个不同交点,不满足题意;当时,如图2,此时与恒有个不同交点,满足题意;当时,如图3,当与相切时,联立方程得,令得,解得(负值舍去),所以.综上,的取值范围为.故选:D.
3.(2019·浙江·文理·第9题)设,,函数若函数恰有个零点,则( )A.,B.,C.,D.,【答案】C【解析】解法一:设.当时,,此时最多一个零点;当时,,,若,即,,在,上递增,此时最多一个零点.不合题意;若,即时,又知在上函数递增,在上函数递减.此时函数最多有2个零点;要使恰有3个零点,则函数必满足在上有1个零点,在,上有2个零点.如图,可知且,解得,,,即,.故选C.
解法二:当时,,最多一个零点.(取决于与0的大小),所以关键研究当时,方程的解的个数,即,利用奇穿偶回画右边的三次函数的图象,分类讨论如下.①当,即时,处为偶重零点反弹,为奇重零点穿过,又在单调递增,故与最多只能有一个交点,不符合题意.②当,即时,处为3重零点穿过,也不符合题意.③当,即时,处为偶重零点反弹,为奇重零点穿过,若,则与可以有两个交点,且同时需,故,.故选C.
4.(2019·全国Ⅲ·文·第23题)函数在的零点个数( )A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】函数在,的零点个数,即:在区间,的根个数,即,令左右为新函数和,和,作图求两函数在区间,的图象可知:和,在区间,的图象的交点个数为3个.故选:B.5.(2014高考数学重庆文科·第10题)已知函数且在内有且仅有两个不同的零点,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】A.解析:函数的图像如图所示.在内有且仅有两个不同的零点,可看成函数与直线的交点,又知道该直线过定点.要有两个交点,直线的位置必须是如图所示的红色直线之间或是蓝色直线之间.计算出这些直线的斜率,可以得到满足条件的直线的斜率的范围是.6.(2014高考数学湖北文科·第9题)已知是定义在上的奇函数,当时,,则函数的零点的集合为( )
A.B.C.D.【答案】D解析:设x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-3(-x)]=-x2-3x.求函数g(x)=f(x)-x+3的零点等价于求方程f(x)=-3+x的解.当x≥0时,x2-3x=-3+x,解得x1=3,x2=1;当x<0时,-x2-3x=-3+x,解得x3=-2-.故选D.7.(2014高考数学北京文科·第6题)已知函数,在下列区间中,包含零点的区间是( )A.B.C.D.【答案】C解析:方法一:∵,∴,,满足,∴在区间内必有零点,故选:C方法二:在同一坐标系中作出函数与的大致图像,如图所示,可得的零点所在的区间为.8.(2015高考数学天津文科·第8题)已知函数,函数,则函数的零点的个数为( )A.2B.3C.4D.5【答案】A解析:当时,所以,,此时函数的小于零的零点为;当时,,函数无零点;当时,,,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2.故选A.题型六:函数模型及其应用1.(2022高考北京卷·第7题)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保
二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是.下列结论中正确的是( )( )A.当,时,二氧化碳处于液态B.当,时,二氧化碳处于气态C.当,时,二氧化碳处于超临界状态D.当,时,二氧化碳处于超临界状态【答案】D解析:当,时,,此时二氧化碳处于固态,故A错误.当,时,,此时二氧化碳处于液态,故B错误.当,时,与4非常接近,故此时二氧化碳处于固态,另一方面,时对应的是非超临界状态,故C错误.当,时,因,故此时二氧化碳处于超临界状态,故D正确.故选,D2.(2020年高考课标Ⅲ卷文科·第4题)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:,其中K为最大确诊病例数.当I()=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则约为( )(ln19≈3)A60B.63C.66D.69【答案】C【解析】,所以,则,所以,,解得.故选:C.
3.(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第6题)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)( )A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天【答案】B解析:因,,,所以,所以,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为天,则,所以,所以,所以天.故选:B.4.(2019·北京·文·第7题)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是,天狼星的星等是,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】设太阳的星等是,天狼星的星等是,由题意可得:,所以,则,故选A.5.(2016高考数学四川文科·第7题)某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金万元,在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长,则该公司全年投入的研发奖金开始超过万元的年份是( )(参考数据:,,)(A)年(B)年(C)年(D)年【答案】B解析:设从2015年后第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得,两边取常用对数得
,故选B.6.(2017年高考数学北京文科·第8题)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是( )(参考数据:)A.B.C.D.【答案】D
【解析】法一:因为,因此选项D符合题意.
法二:设,两边取对数,,所以,即最接近,故选D.7.(2017年高考数学北京文科·第8题)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是( )(参考数据:)A.B.C.D.【答案】D
【解析】法一:因为,因此选项D符合题意.
法二:设,两边取对数,,所以,即最接近,故选D.8.(2016高考数学课标Ⅲ卷文科·第4题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中点表示十月的平均最高气温约为,点表示四月的平均最低气温约为.下面叙述不正确的是( )( )
A.各月的平均最低气温都在以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于的月份有5个【答案】D【解析】由图可知均在虚线框内,所以各月的平均最低气温都在以上,A正确;由图可在七月的平均温差大于,而一月的平均温差小于,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在,基本相同,C正确;由图可知平均最高气温高于的月份有3个或2个,所以不正确.故选D.9.(2020年高考课标Ⅰ卷文科·第5题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:°C)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据得到下面的散点图:由此散点图,在10°C至40°C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近,因此,最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.故选:D.10.(2020年高考课标Ⅱ卷文科·第4题)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者( )A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B【解析】由题意,第二天新增订单数为,设需要志愿者x名,,,故需要志愿者名.故选:B
11.(2014高考数学北京文科·第8题)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率与加工时间(单位:分钟)满足的函数关系(、、是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A.分钟B.分钟C.分钟D.分钟0.80.70.5pO543t【答案】B解析:将,,(5,0.5)分别代入,可得,解得,,,∴,对称轴为.故选:B.12.(2015高考数学四川文科·第8题)某食品的保鲜时间(单位:小时)与储藏温度(单位:)满足函数关系(为自然对数的底数,为常数).若该食品在的保鲜时间是192小时,在22的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是( )(A)16小时(B)20小时(C)24小时(D)28小时【答案】C解析:由题意:得于是当x=33时,y=e33k+b=(e11k)3·eb=×192=24(小时)题型七:函数的综合问题1.(2016高考数学课标Ⅱ卷文科·第12题)已知函数满足,若函数与图象的交点为,则( )
(A)0(B)(C)(D)【答案】B【解析1】由得的图象关于直线对称,又的图象也关于直线对称.所以它们交点也关于直线对称,所以对于每一组对称点都有,因此,.故选B.【解析2】由得的图象关于直线对称,取一个关于直线对称的函数,可知两个图象有3个交点,于是,故选B.2.(2022新高考全国II卷·第8题)已知函数的定义域为R,且,则( )A.B.C.0D.1【答案】A解析:因为,令可得,,所以,令可得,,即,所以函数为偶函数,令得,,即有,从而可知,,故,即,所以函数的一个周期为.因为,,,,,所以一个周期内的.由于22除以6余4,所以.故选:A.3.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第12题)已知是定义域为的奇函数,满足.若,则( )A.B.0C.2D.50【答案】C解析:是奇函数,且,故关于对称,,又,且,,则,则,故选C.4.(2016高考数学上海文科·第18题)设、、是定义域为的三个函数,对于命题:①若、、均为增函数,则、、中至少有一个增函数;②若、、均是以为周期的函数,则、、
均是以为周期的函数,下列判断正确的是( )A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题D.①为真命题,②为假命题C.①为假命题,②为真命题【答案】D【解析】因为必为周期为的函数,所以②正确;增函数减增函数不一定为增函数,因此①不一定.选D.5.(2016高考数学山东文科·第9题)已知函数的定义域为.当时,;当时,;当时,.则( )A.B.C.0D.2【答案】D解析:当时,,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又因为当时,,所以,故选D.6.(2021年高考全国甲卷文科·第6题)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为( )()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【答案】C解析:由,当时,,则.故选:C.7.(2014高考数学山东文科·第9题)对于函数,若存在常数,使得取定义域内的每一个值,都有,则称为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是( )A.B.C.D.【答案】解析:由为准偶函数的定义可知,若的图象关于对称,则为准偶函数.在中,函数的图.象关于对称,故选.
8.(2015高考数学湖北文科·第7题)设,定义符号函数则( )A.B.C.D.【答案】D.解析:对于选项,右边,而左边,显然不正确;对于选项,右边,而左边,显然不正确;对于选项,右边,而左边,显然不正确;对于选项,右边,而左边,显然正确;故应选.9.(2017年高考数学山东文科·第10题)若函数(e=2.71828是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质.下列函数中具有M性质的是A.B.C.D.
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