四川省绵阳市南山中学实验学校2022-2023学年高一数学下学期6月月考试题（Word版附解析）

绵阳南山中学实验学校高2022级6月月考数学满分：150分时间：120分钟一、单选题（（每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项）1.复数的虚部为（）A.3B.2C.D.【答案】C【解析】分析】根据复数的定义，即可求解．【详解】的虚部为．故选：C．2.已知向量，，若，则（）A.3B.5C.6D.9【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示得出方程，求解即可得出答案.【详解】根据已知可得，，解得.故选：C.3.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的平移变换法则（左加右减）即可求解.【详解】由于函数，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度.故选：A.4.立体几何中的四个基本事实是学习立体几何的基础，下列四个命题中不是立体几何中的基本事实的是 （）A.过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面B.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内C.平行于同一条直线的两条直线平行D.垂直于同一条直线的两条直线平行【答案】D【解析】【分析】由立体几何中的基本事实相关概念可判断各选项正误.【详解】由选项内容可知，ABC选项为立体几何中的基本事实，D选项，垂直于同一条直线的两条直线可能异面，可能相交，可能平行，故D不是立体几何中的基本事实.故选：D5.若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据图像，由“斜二测画法”可得，四边形水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可.【详解】在直观图中，四边形为等腰梯形，，而，则，由斜二测画法得原四边形AOBC是直角梯形，，，如图. 所以四边形AOBC的面积为.故选：D.6.已知，为单位向量，当向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由投影向量的公式，代入计算即可．【详解】向量在向量上的投影向量为：，故选：C．7.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式可求的值.【详解】，故选：B.8.如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位 测得以下数据：两个山头的海拔高度，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的人仰角为，以及，则M，N间的距离为（）A.B.120mC.D.200m【答案】A【解析】【分析】根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解.【详解】由题意，可得，且，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，由余弦定理得，所以.故选：A.二、多选题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分）9.设为直线，，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】ACD【解析】【分析】由空间线面关系，面面关系相关知识判断各选项正误即可.【详解】设为直线，，是两个不同的平面.对于，若，，则与相交或平行，故错误；对于，若，，则，故正确；对于，若，，则与相交，故错误；对于，若，，则与相交､平行或，故错误.故选：.10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（）A.若，则B.若是锐角三角形，恒成立C.若，，，则符合条件的只有一个D.若为非直角三角形，则【答案】AD【解析】【分析】由正弦定理可以判断A；借助诱导公式及正弦函数的单调性可以判断B；作出示意图判断C；根据两角和的正切公式可以判断D.【详解】对A，由正弦定理可知，故选项A正确；对B，因为三角形为锐角三角形，所以， 则，故选项B错误；对C，如示意图，点A在射线上，，易得，则，即符合条件的三角形有2个，故选项C错误；对D，因为为非直角三角形，所以，整理可得，故选项D正确.故选：AD.11.关于函数，下列结论正确的是（　　）A.函数的最大值是B.函数在上单调递增C.函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到D.若方程区间有两个实根，则【答案】BCD【解析】【分析】先利用辅助角公式化简得，利用三角函数的图象与性质可逐一判定各选项.【详解】，显然当时，的最大值是3，故A错误； 令，则在上单调递增，故B正确；根据三角函数的图象变换得：的图象向右平移个单位得到，故C正确；，则由正弦函数图象与性质可知，，解得：，故D正确；故选：BCD12.如图，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上一个动点，则（）A.存在点，使直线平面B.平面截正方体所得截面的最大面积为 C.三棱锥的体积为定值D.存在点，使平面平面【答案】AC【解析】【分析】对于A项，可以通过取的中点H、I，连接HI交于G点，判定即可；对于B项，讨论截面的形状并计算各交线长来判定即可；对于C项，通过等体积法转化即可判定；对于D项，通过反证，利用面与面和面的交线PG、DH是否能平行来判定.【详解】对于A项，如图所示，取中点H、I，连接HI交于G点，此时，由正方体的性质知：面，又，则面，面，可得，在正方形中，易知，，面，所以平面，故A正确；对于B项，若G点靠C远，如图一示，过G作，即截面为四边形EFQR，显然该截面在G为侧面CB1的中心时取得最大，最大值为， 若G靠C近时，如图二示，G作KJEF，延长EF交、DA延长线于M、H，连接MK、HJ交、AB于L、I，则截面为六边形EFIJKL，若K，J为中点时六边形面积为，，即B错误；对于C项，随着G移动但G到面的距离始终不变即，故是定值，即C正确；对于D项，如图所示，连接，H为侧面的中心，则面与面和面分别交于线PG、DH，若存在G点使平面平面，则PGDH，又A1DCB1，则四边形PGHD为平行四边形，即PD=GH，而PD＞，此时G应在延长线上，故D错误； 故选：AC三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知，______.【答案】【解析】【分析】确定，，再计算模长得到答案.【详解】，则，，则.故答案为：.14.若，则的值是______.【答案】【解析】【分析】用二倍角公式对、进行化简运算即可得出结论.【详解】因为，所以，，所以.故答案为：.15.在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．【答案】## 【解析】【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，因为，则，故，则，所以所求体积为.故答案为：.16.如图，已知球O的面上四点A，B，C，P，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，，，则球O的表面积等于____________．  【答案】【解析】【分析】将三棱锥补为正方体，由三棱锥的外接球是正方体的外接球求解. 【详解】解：将三棱锥补正方体如图所示：则三棱锥的外接球是正方体的外接球，外接球的直径为，解得，所以外接球的表面积为，故答案为；四、解答题17.已知向量.（1）若，求实数的值；（2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意求得，结合向量垂直数量积的表示，列出方程，即可求解；（2）根据题意，利用且与不共线，结合向量的坐标表示和数量积的运算，即可求解.【小问1详解】解：由向量，可得，因为，可得，解得.【小问2详解】解：由（1）知，，解得，又由向量与不共线，可得，解得， 所以实数的取值范围是18.在正方体中，M，N分别是线段，BD的中点.（1）求证：平面；（2）若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据中位线定理，结合线面平行的判定定理，可得答案；（2）根据面面垂直性质定理，可得三棱锥的高，根据三角形中线的性质，求得三棱锥的底面积，结合三棱锥的体积公式，可得答案.【小问1详解】连接，如下图：是线段的中点，底面是长方形，是线段的中点，又是线段的中点，在中，，平面，平面，平面.【小问2详解】取的中点为，连接，如下图： 分别是线段的中点，在中，，，又在正方体中，平面，平面，为的中点，，.19.已知的内角的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角函数恒等式，由特殊角三角函数即可；（2）根据（1）的结论，结合余弦定理，三角形面积公式即可得三角形周长.【小问1详解】因为，由利用正弦定理可得：，即；又因为，所以，即， 又，可得.【小问2详解】由余弦定理可得：，即，由面积，可得，所以，即，所以，因此三角形的周长为：.20.已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，，∠ACB＝90°．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明，即可证明平面；（2）过作于，则直线与平面所成的角为，然后解三角形求解即可．【小问1详解】因为底面，平面，则，又因为，即，，，平面，所以平面．【小问2详解】 过作于，连接，因为底面，平面，则，，平面，所以平面，所以直线与平面所成的角为，因为，//，，则，是等边三角形，可得，又因为，在中，，中求得，所以，即直线与平面所成的角的正弦值为．21.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据函数的图象求得A和，再将代入求解；（2）由（1）得到，再令，转化为二次方程求解.【小问1详解】解：由函数的图象知：，则，所以，，因为，所以，则，又因为，则，所以；【小问2详解】由题意得：，令，则化为：，即在上有解，由对勾函数的性质得：，所以.22.如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，，根据规划，在两条公路之间的区域内建一工厂，分别在两条公路边上建两个仓库，（异于村庄），要求（单位：）. （1）当时，求线段的长度；（2）设，当取何值时，工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）在中求得，然后在中由勾股定理求得；（2）在中由正弦定理求得，然后在中由余弦定理求得，再利用三角函数恒等变换，结合正弦函数性质得最大值．【小问1详解】，，则，又，∴，，，∴；【小问2详解】，则，由正弦定理得，由余弦定理得 ，由三角形知，，当且仅当，即时，取得最大值3，工厂产生的噪音对居民的影响最小．