四川省绵阳市南山中学实验学校2022-2023学年高一数学下学期5月月考试题（Word版附解析）

绵阳南山中学实验学校2022级高一（下）五月月考试题数学总分：150分时间：120分钟；第I卷（选择题）一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A.B.C.D.5【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法可求，从而可求其模.【详解】由题设可得，故，故，故选：B.2.下列函数中，在上递增的偶函数是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的性质判断即可.【详解】对于A：为奇函数，故A错误；对于B：为奇函数，故B错误；对于C：为偶函数，但是函数在上单调递减，故C错误；对于D：，则，故为偶函数，且时，函数在上单调递增，故D正确； 故选：D3.若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据轴截面求出圆锥的底面半径和高，求出体积.【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的底面半径为1，且圆锥的高，故体积为.故选：A4.已知不共线的平面向量，满足，，则平面向量，的夹角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设向量，的夹角为，由可得出，再由向量的夹角公式代入即可得出答案.【详解】设向量，的夹角为，∵，∴，即，∴，∴．∵，∴向量，的夹角为．故选：D． 5.如图，P是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线BP异面的是（）A.直线B.直线C.直线D.直线AC【答案】D【解析】【分析】根据异面直线得定义逐一分析判断即可.【详解】对于A，连接，设，由，当点位于点时，与共面；对于B，当点与重合时，直线与直线相交；对于C，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，当点与重合时，与共面；对于D，连接，因为平面，平面，平面，，所以直线BP与直线AC是异面直线.故选：D.6.在中，记，，若，则（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的运算，用表示出即可.【详解】因为在中，若，所以点为中点，所以.故选：D7.如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.直线为图象的一条对称轴B.点为图象的一个对称中心C.函数的最小正周期为2πD.函数在上单调递减【答案】A【解析】【分析】先由函数的图象求出的解析式，再结合题意求出，结合余弦函数的图象性质即可求解详解】由图象知，又，所以的一个最低点为，而的最小正周期为， 所以，又，则，所以,即，又，所以，所以，将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得的图象，再把所得曲线向左平移个单位长度得，即.因为，所以直线是图象的一条对称轴，故A正确；因，所以不是图象的一个对称中心，故B错误；函数在周期，故C错误；由得，所以在上单调递减，当时，可知在递减，在递增，所以D错误.故选：A.8.已知为的外接圆的圆心且，若，且，则（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取的中点，根据给定条件结合共线向量定理的推论可得共线，再在直角三角形中计算作答.【详解】取的中点，连接，如图，则，由，得，又，因此三点共线，由为的外接圆的圆心，得，即，所以.故选：B二、多选题：本大题共4个小题，每个小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.给出下列命题正确的是（）A.平面内所有的单位向量都相等B.长度相等且方向相反的两个向量是相反向量C.若满足，且同向，则D.若四边形满足，则四边形是平行四边形【答案】BD【解析】【分析】根据单位向量以及相反向量可判断AB，由向量以及相等向量可判断AD.【详解】对于A,单位向量是模长相等，方向不一定相同，故A错误，对于B，由相反向量的定义可知长度相等方向相反的两个向量是相反向量，故B正确，对于C，向量不可以比较大小，故C错误, 对于D，，则，且,故为平行四边形，故D正确，故选：BD10.a，b为两条直线，，为两个平面，则以下命题不正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，，则D.若，，则【答案】ABC【解析】【分析】对A，注意判断的情况；对B，注意可能相交或异面；对C，讨论a，b的相交情况，即可判断；对D，根据平面平行的性质判断即可.【详解】对A，由，，可得或，A错误；对B，由，，可得直线可能相交，异面或平行，B错误；对C，，则当相交时，；当平行时，则或相交，C错误；对D，由，，根据平行平面的性质可得，D正确，故选：ABC.11.如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（　　）A.直三棱柱的体积是1B.直三棱柱的外接球表面积是C.三棱锥的体积与点的位置有关D.的最小值为【答案】AD 【解析】【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的体积即可判断A；直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B；由棱锥底面积与高为定值判断C；将侧面展开即可求出最小值判断D．【详解】在直三棱柱中，，，，所以其体积，故A正确；对于B，由直三棱柱结构特征及外接球的对称性可得，其外接球即为长宽高分别为2，1，1的长方体的外接球，所以其外接球半径为，所以其外接球的表面积为，故B错误；由平面，且点E是侧棱上的一个动点，，三棱锥的高为定值，，，故三棱锥的体积为定值，故C错误；将四边形沿翻折，使四边形与四边形位于同一平面内，此时，连接与相交于点E，此时最小，即，故D正确．故选：AD. 12.已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（）A.B.的面积为C.D.在的外接圆上，则的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】利用余弦定理计算，利用余弦定理计算，判断A；根据面积公式计算三角形的面积，判断B；利用正弦定理计算，判断C；设，用表示出，，得出关于的三角函数，从而得到的最大值，判断D.【详解】在三角形中，由余弦定理，，故，故正确；在中，由余弦定理得：，，故正确；由余弦定理可知：，，平分，，，在三角形中，由正弦定理可得：，故，故不正确；，，，，， 为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1，显然当取得最大值时，在优弧上．故，设，则，，，，，，其中，，当时，取得最大值，故正确．故选：．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数为实数，则______.【答案】1【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的分类列式计算作答【详解】由复数为实数，得，解得，所以.故答案为：114.求的最小值是_____【答案】##0.5【解析】【分析】先应用换元法,再应用二次函数最值求解即得. 【详解】,令,,当,.故答案为:15.位于河北省承德避暑山庄西南十公里处双塔山，因1300多年以前，契丹人在双塔峰顶建造的两座古塔增添了诸多神秘色彩．双塔山无法攀登，现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距离．如图，在与两座山峰、山脚同一水平面处选一点A，从A处看塔尖的仰角是，看塔尖的仰角是，又测量得，若塔尖到山脚底部的距离为米，塔尖到山脚底部的距离为米，则两塔塔尖之间的距离为________米．【答案】【解析】【分析】先解直角三角形得AC=60米，米,再利用余弦定理解BC即可.【详解】在中，米，，则米．同理，在中，米，在中，米，米，，由余弦定理，得米．故答案为：. 16.已知正三棱柱的底面边长为6，三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出三棱柱底面正三角形外接圆半径，再求出球半径即可计算作答.【详解】由正三棱柱的底面边长为6，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径，如图，又由三棱柱的高为，则球心到圆O的圆心O的距离，因此球半径R满足：，即有，所以外接球的表面积故答案为：四、解答题:本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17.已知平面向量，且，（1）若，且，求向量的坐标；（2）若，求在方向的投影向量（用坐标表示）.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）设，利用平面向量的共线定理及坐标表示即可求解；（2）利用平面向量数量积的坐标表示求解在方向的投影向量即可.【小问1详解】解：设，， ，又，，或，或.【小问2详解】解：，，设与的夹角为.故，在上的投影向量为.18.如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.（1）已知点满足，求证四点共面；（2）求三棱柱的表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用正方体的结构特征，结合平行公理、平面基本事实推理作答.（2）求出三棱柱各个面的面积作答.【小问1详解】在正方体中，取中点，连接，如图， 因为是的中点，则，即四边形是平行四边形，则有，由，知为的中点，而为中点，于是，即有，所以四点共面.【小问2详解】显然三棱柱是直三棱柱，，上下两个底面的面积和为，侧面积，所以三棱柱的表面积.19.已知，都是锐角，，.（1）求和的值；（2）求的值.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函数的基本关系及二倍角的正余弦公式求解；（2）根据角的变换，利用两角差的正弦公式求解.【小问1详解】 是锐角，，，，，，.【小问2详解】，都是锐角，，又，，.20.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，，，，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME. （1）当时，证明：直线平面PAD；（2）当时，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）构造平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可.（2）根据，求出三棱锥的高，然后利用体积公式即可.【小问1详解】取PD中点N，连接MN、AN，是的中位线，MN//CD，且，又AE//CD，且，四边形AEMN为平行四边形，ME//AN又平面PAD，平面PAD，//平面PAD.【小问2详解】，P到平面ABCD距离为3，点M到平面ABCD的距离为1，.21.已知函数（其中，，均为常数，，，）.在用五点法作出函数在某一个周期的图像时，取点如表所示：0200（1）求函数的解析式，并求出函数的单调递增区间； （2）已知函数满足，若当函数的定义域为（）时，其值域为，求的最大值与最小值.【答案】（1），单调递增区间为；（2）最大值与最小值分别为.【解析】【分析】（1）利用给定的数表，依次求出即可得函数，再利用正弦函数单调性求出递增区间作答.（2）求出函数的解析式，解方程，解不等式，再借助定义域与值域的对应关系分段求解作答.【小问1详解】由数表得，，函数的周期，则，由，得，而，于，所以数的解析式，由，，得，，所以函数的单调递增区间为.【小问2详解】由（1）知，，则，令，则，，解得，，由，得，解得，因为当函数的定义域为（）时，其值域为，显然，当，时，，因此，当，时，，因此， 所以的最大值与最小值分别为.22.如图，在四边形中，，.（1）求的值；（2）若为等边三角形，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理即可解决；（2）由余弦定理求出，再由正弦定理得出，写出三角形的面积函数式化解再求最大值即可.【小问1详解】设，，.因为，所以由正弦定理，得，即，所以.因为，所以，即.因为，所以.【小问2详解】设，，.在中，由余弦定理，得. 因为为等边三角形，所以.由正弦定理，得，则，所以.因为，又因为，所以为锐角，所以，所以，