四川省绵阳市南山中学实验学校2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

绵阳南山中学实验学校高2022级半期考试试题数学总分：150分时间：120分钟第I卷（选择题）一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积的坐标表示并结合三角函数的和差角公式即可求解.【详解】因为，，所以.故选：C.2.已知点，，向量，则向量（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，由求出，从而求出.【详解】设，则，故，解得，所以，又因为，所以.故选：A 3.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再由正弦定理进行求解.【详解】因为，所以，由正弦定理得，即，所以.故选：B4.为了得到函数图象，只需要把函数图象（）A.先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位B.先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位C.先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D.先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解.【详解】解：先将函数图像横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到，再向右平移个单位得到的图像；或者将函数图像向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得到的图像.故选：B5.在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，，则（） A.B.C.1D.【答案】A【解析】【分析】根据图象及其性质，即可得出，，进而根据，即可求出的值，即可得出答案.【详解】因为是的中点，所以，.又因为是的中点，所以，，又，所以，，所以．故选：A．6.已知的角的对边分别为，且满足，若，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简求得，利用余弦定理可构造方程求得的值.【详解】由正弦定理得：，，又，，，由余弦定理得：，解得：（舍）或.故选：B. 7.在平行四边形中，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量加减运算法则得到，，两式平方相加求出答案.【详解】因为，，，，所以，又，因为，，两式相加得，.故选：D8.如图是函数在一个周期内的图象，该函数图象分别与轴、轴相交于、B两点，与过点的直线相交于另外两点、，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求得两点的坐标，根据对称性求得，进而求得.【详解】因函数，由，所以， 令，即，可得即，当时，，所以，因为函数关于点A对称，所以关于A的对称点为，即的中点为A，所以又因为，所以.故选：D二、多选题：本大题共4个小题，每个小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.关于非零向量，，下列命题中不正确的是（）A.若，则B.C.若，，则D.向量在上的投影向量为【答案】AB【解析】【分析】A选项，方向不一定相同；B选项，可举出反例；C选项，根据向量定义可得；D选项，根据投影向量定义和公式可得.【详解】对于A，，但方向不定，不一定相等，A错误；对于B，向量运算不满足结合律，可令， 则，，故，B错误；对于C，向量相等可以传递，C正确；对于D，，均为非零向量，在上的投影向量为，D正确.故选：AB10.若函数，则下列结论正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数在区间上单调递增C.函数图象关于对称D.函数的图象关于点对称【答案】BCD【解析】【分析】化简的解析式，然后根据三角函数的周期性、单调性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】所以最小正周期为，A错误；当，则，故在上递增，B正确；由，故是的一条对称轴，C正确；由，故是一个对称点，D正确.故选：BCD11.在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（） A.若，则一定是钝角三角形B.若，则C.若，则为等腰三角形D.若为锐角三角形，则【答案】ABD【解析】【分析】根据余弦定理、正弦定理、诱导公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A选项，因为，则，故角为钝角，A选项正确；对于B选项，因为，由正弦定理可得，所以，B选项正确；对于C选项，因为，即，整理可得，所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，C选项错误；对于D选项，若为锐角三角形，所以，所以，则，D选项正确.故选：ABD12.已知函数，则（）A.函数关图象于轴对称B.函数的最小正周期为C.函数的值域为D.方程在上恰好个实数根，则【答案】AC【解析】【分析】A选项，根据函数奇偶性定义得到函数为偶函数，故A正确；B选项，求出，B错误；C选项，画出时，函数的图象，数形结合得到函数最值和值域；D 选项，数形结合得到函数有4个实数根时，的取值范围.【详解】A选项，定义域为R，因为，所以函数为偶函数，故A正确；B选项，若，则，而，此时，故，所以不是函数周期，故B错误；C选项，对，当时，，，作出函数图象，由图象知，最大值为2，当时，可取最小值，故函数值域为，故C正确；D选项，由图象知，与在恰好有4个交点，则，D错误.故选：AC【点睛】方法点睛： 函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________.【答案】【解析】【分析】设，，根据求出，得到答案.【详解】因为是与反向的单位向量，设，，所以，所以，故.故答案为：14.__________.【答案】【解析】【分析】根据正切和角公式得到，代入即可求解.【详解】因为，所以所以故答案为：15.萧县的萧窑､淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.2015年，安徽省启动对萧县欧盘村窑址的考古发掘，大量瓷器的出土和窑炉遗迹的揭露，将萧窑的历史提溯至隋代.为进一步摸清萧窑窑址的分布状况､时空框架以及文化内涵等，经国家文物局批准，2021年3月，正式对萧县白土寨窑址进行主动性考古发掘.如图，为该地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为_______cm. （参考数据：取）【答案】14【解析】【分析】作出辅助线，由正弦定理得到，求出，在中，利用余弦定理求出，得到答案.【详解】如图，延长交于点，因为，所以，故，由题意得，故，故两点之间的距离为.故答案为：1416.已知函数满足，若函数在区间上单调，且，当取得最大值时，则__________.【答案】##【解析】【分析】利用辅助角公式得到，，由得到方程，求出 ，，从而得到，结合题目条件得到的最大值为半个周期，故，，代入求出答案.【详解】因为，其中，又因为，所以，所以，即，所以，解得，所以，又因为在区间上单调，且，所以点关于对称中心对称，且的最大值为半个周期，易知的对称中心为，所以，，所以.故答案为：四、解答题:本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17.已知两个非零向量与不共线.（1）若与平行，求实数的值；（2）若，，且，求.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】根据向量平行设出，从而得到方程组，求出； （2）表达出，根据模长得到方程，求出的值.【小问1详解】因为与平行，且与不共线所以所以，解得【小问2详解】因为所以，解得或.经检验，均满足与不共线，故或18.在中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识化简已知条件，由此求得.（2）利用余弦定理求得，根据三角形的面积公式求得三角形的面积.【小问1详解】依题意，，由正弦定理得，，由于，所以，则为锐角，所以.【小问2详解】 由余弦定理得，即，解得.所以.19.已知，，.（1）若，求实数的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量平行列方程，根据同角三角函数的基本关系式求得的值.（2）化简的解析式，根据诱导公式、二倍角公式求得.【小问1详解】因为，所以，因为，所以.【小问2详解】因为，所以，所以. 20.如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面，它的右侧有一点且距离地面.风车翼片的一个端点从开始计时，按逆时针方向旋转.（1）试写出点距离地面的高度关于时刻（min）的函数关系式；（2）在点旋转一周的时间内，有多长时间点距离地面不超过？【答案】（1）（2）分钟.【解析】【分析】（1）以圆环的圆心为坐标原点，过圆心且平行于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，先求出为终边的角为，接着利用三角函数的定义求出点纵坐标，即可求解；（2）解法一：用三角函数的性质求解，可得到距离地面超过持续时间，即可求解；解法二：用三角函数的性质求解，即可得到距离地面不超过持续时间.【小问1详解】以圆环的圆心为坐标原点，过圆心且平行于地面的直线为轴，过圆心且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系.以轴非负半轴为始边，设为终边的角为，则，故；点时刻所转过的圆心角为：，若时刻时蚂蚁爬到圆环点处，那么以轴非负半轴为始边， 为终边的角为，则点纵坐标为，所以【小问2详解】解法1：令，即所以，解得，所以在一周时间范围内，距离地面超过持续时间为：分钟，所以不超过8m的时间是分钟..解法二：即所以，解得在一周内，距离地面不超过持续时间为：分钟，所以不超过8m时间分钟.21.记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）已知等式结合倍角公式和余弦定理，化简得，可求；（2）结合正弦定理表示出a和c，进而将周长表示为关于角A的正弦函数，利用正弦函数性质以及A的范围即可求得答案．【小问1详解】 ，由倍角公式得，由余弦定理，，化简得，则，由，得.【小问2详解】由正弦定理得︰，∴，，，，由，，∴，即（当且仅当时，等号成立），从而周长的取值范围是22.如图，点，点A是单位圆与轴的正半轴的交点.（1）若，求；（2）设点为单位圆上的动点，点满足，，，求的取值范围；（3）在(2)的条件下，当时，求四边形的面积. 【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用三角函数定义并结合二倍角的正弦公式即可求解；（2）先根据三角函数的定义和平面向量的坐标表示求出，然后结合的范围即可求出的取值范围；（3）先根据求出，然后利用面积公式可求得结果.【小问1详解】由三角函数定义，可知，，所以.【小问2详解】由三角函数定义，知，所以，所以，因为，所以，即，于是，所以的取值范围是.【小问3详解】当时，，即，因为，所以解得或（此时不能构成四边形，舍去）， 易知四边形为菱形，此时菱形的面积为.