福建省南平市浦城县2022-2023学年高一数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

2022－2023学年第二学期第一次月考高一数学试题（考试时间：120分钟；满分：150分）一、单选题．（共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的．）1.若是纯虚数，则a＝（）A.－1B.1C.－9D.9【答案】A【解析】【分析】先将复数化简，再根据纯虚数列出方程组求解即可.【详解】,因为是纯虚数，故，得，故选：A.2.下列命题中正确的是（）A.单位向量都相等B.相等向量一定是共线向量C.若，则D.任意向量的模都是正数【答案】B【解析】【分析】根据单位向量，共线向量及向量的基本概念逐项分析即得.【详解】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误；对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确；对于C，若，，而与不一定平行，故C错误；对于D，零向量的模长是，故D错误．故选：B.3.已知平面向量满足与的夹角为（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】利用平方的方法化简，由此求得与的夹角.【详解】设与的夹角为，由两边平方得，即，由于，所以.故选：C4.等边的边长为3，若，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】取中点，建立直角坐标系，得到，再根据模长的坐标公式即可求解.【详解】如图，取中点，建立直角坐标系，则，由，若，则，所以得：，由，若，则， 所以得：，所以，故.故选：A5.函数的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项；再利用特殊值即可排除选项，进而求解.【详解】函数的定义域为，且，所以是奇函数，图象关于原点对称，排除选项，只需研究的图象，当时，，则，排除选项.故选：．6.若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义判断在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，进而求出其面积.【详解】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，， 故选：D.7.以下命题中，正确的是（）A.如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数B.如果a+bi=c+di，那么a=c，b=dC.复平面上，虚轴上点与纯虚数一一对应D.复平面上，实轴上的点与实数一一对应【答案】D【解析】【分析】根据复数的定义和几何意义即可解答.【详解】A：，当时,不是纯虚数，故A错误；B：如果a＋bi＝c＋di，当且仅当a、b、c、d∈R时，a＝c，b＝d，故B错误；C：复平面上，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C错误；D：复平面上，实轴上的点与实数一一对应，故D正确.故选：D.8.定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令，下面说法错误的是()A.若与共线，则B.C.对任意的，有D.【答案】B【解析】【分析】根据运算“”的定义，结合向量数量积以及共线的坐标运算即可逐一选项检验.【详解】若与共线，则有，故A正确；因为，而，所以有，故B错误，而，故，C正确，，故，D正确，故选：B． 二、多选题．（共4小题，每小题5分，共20分．每小题有多个选项符合题目要求，多选、错选得0分，漏选得2分．）9.下列各式中正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据正切函数的函数值的正负以及单调性可判断A，B，利用诱导公式结合正余弦函数的性质可判断C，D.【详解】对于A，，A错误;对于B，，由于函数在上单调递增，故，B正确；对于C，，，故，C正确；对于D,函数在上是增函数，而，所以，D不正确；故选：BC10.已知向量，则下列命题正确的是（）A.的最大值为2B.存在，使得C.向量是与共线的单位向量D.在上的投影向量为 【答案】ABD【解析】【分析】A.根据向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变形和性质，即可判断；B.利用数量积公式，可得，即可求解；C.根据模的公式，计算，即可判断；D.根据投影向量公式，即可计算求值.【详解】对于选项，，当，即时取最大值2，故A正确；对于B选项，要使，则，则，因为，所以，故存在，使得，故B正确；对于C选项，因为，所以向量不是单位向量，故C错误；对于选项，因为为单位向量，则在上的投影向量为，故D正确.故选：.11.已知锐角三角形中，设，则下列判断正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据锐角三角形分析角的范围与关系，并利用诱导公式，以及对数函数的单调性，即可判断正误.【详解】解：因为三角形为锐角三角形，所以，则，所以，A选项正确；同理，则，，因此，，B，C选项正确； 由于，所以在是增函数，又，所以，D选项错误．故选：ABC．12.下列结论正确的是（）A.若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是B.点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心C.点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则D.点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心【答案】BC【解析】【分析】对于A，由∠ABC为锐角，可得且两向量不共线；对于B，设边上的中点为，证明在边的中线上即可；对于C，由，得，设的中点为，的中点为，可知三点共线，且，从而可判断；对于D，证明是的角平分线，是的角平分线，即可判断.【详解】对于A，由，得，因为∠ABC为锐角，故且不共线，所以，解得且，故A错误；对于B，设边上的中点为，则，因为，所以，所以，又点为公共端点，所以三点共线，即点在边的中线上， 同理可得点也在两边的中线上，所以点O为△ABC的重心，故B正确；对于C，因为，所以，如图，设的中点为，的中点为，则，所以，又点为公共端点，所以三点共线，且，所以，又，所以，即，故C正确；对于D，由，可得，即，又因，所以，所以是的角平分线，由，可得，即，又，所以，所以是的角平分线，所以点O是且△ABC的内心，故D错误.故选：BC.三、填空题．（每小题5分，共20分，其中第16小题第1空3分，第2空2分．） 13.已知函数，若，则______．【答案】##【解析】【分析】利用诱导公式化简即可解决.【详解】由题知，，因为，所以，故答案为：14.已知，是不共线的向量，，，，若A，B，C三点共线，则实数，满足__________．【答案】.【解析】【分析】方法1：运用三点共线，再运用向量相等列方程消去m可得结果.方法2：先计算、，再运用A，B，C三点共线则列方程可得结果.【详解】方法1：因为A，B，C三点共线，所以设，即：，所以，消去m得：.方法2：，，因为A，B，C三点共线，所以， 故，所以．故答案为：.15.中，角A，，对边分别为，，，且满足，，，则的面积为______．【答案】【解析】【分析】已知式变形后由正弦定理化边为角，再由诱导公式、两角和的正弦公式变形可求得，然后由余弦定理求得，再由面积公式计算．【详解】∵，，∴，∴，展开得，∴由三角形内角的性质知：sinC不为0，故，∴，∴，，所以的面积.故答案为：．16.如图，已知复平面上的平行四边形OACB，O为坐标原点，点A、B分别对应的复数为、，M是OC、AB的交点，则点C，M分别对应的复数为______、______． 【答案】①.②.【解析】【分析】平行四边形OACB中，由复数的几何意义，结合向量运算即可求【详解】由题意，，，平行四边形OACB中，，故C分别对应的复数为，M为OC中点，则，故M分别对应的复数为.故答案为：；.四、解答题．（共70分）17.已知是复数，、均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．【答案】【解析】【分析】设，化简、并根据其均为实数求得参数x，y，化简并根据其在复平面上对应的点在第一象限列不等式即可求得的范围.【详解】设，∵为实数，∴，∴.∵为实数，∴．∴．∵在复平面上对应的点在第一象限，∴，解得.∴实数a的取值范围是． 18.函数的最小正周期为．（1）求函数在上的单调递增区间；（2）当时，求的最大值和最小值及对应x的值．【答案】（1），（2）的最大值为2，，的最小值为－1，【解析】【分析】（1）根据函数的最小正周期可求得的值，从而可得到的解析式，再利用整体代入法求函数的单调递增区间，进而可求得函数在上的单调增区间；（2）根据的取值范围可得到的取值范围，从而可求出的最大值和最小值及对应x的值．【小问1详解】因为的最小正周期，所以，故，令，则，即的单调递增区间为，又，所以函数在上的单调增区间是，．【小问2详解】当时，，所以当，即时，函数有最大值2，当，即时，函数有最小值－1，所以的最大值为2，这时，的最小值为－1，这时．19.某轮船以V海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60度，轮船从A处向北航行30分钟后到达B处，测得油井P在南偏东15度，且 海里．轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达C点．（1）求轮船的速度V；（2）求P，C两点的距离．【答案】（1）海里/小时（2）海里【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可求出结果；（2）利用余弦定理即可求出结果；【小问1详解】由题可知，在中，，，所以，又，由正弦定理有：，即，解得，所以，故轮船的速度是海里/小时．【小问2详解】由（1）有，，由题可知，，所以在中，由余弦定理有：，所以所以.20.设两个向量满足，（1）求方向的单位向量；（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，求得的坐标和模后求解；（2）根据向量与向量的夹角为钝角，由，且向量不与向量反向共线求解.【小问1详解】由已知，所以，所以，即方向的单位向量为；【小问2详解】由已知，，所以，因为向量与向量的夹角为钝角，所以，且向量不与向量反向共线，设，则，解得，从而，解得. 21.已知在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且．（1）求C；（2）若，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将题设条件化为，结合余弦定理即可知C大小.（2）由（1）及正弦定理边角关系可得，再应用辅助角公式、正弦函数的性质即可求最大值.【小问1详解】由，得，即，由余弦定理得：，又，所以．【小问2详解】由（1）知：，则，．设△ABC的外接圆半径为R，则，当时，取得最大值为．22.已知函数，.（1）若，，求的对称中心；（2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是 的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意利用正弦函数的性质可求出的最小正周期为，从而可求出，则可求得解析式，然后可求出其对称中心；（2）先利用三角函数图象变换规律求出，再根据是的一个零点和可求出，从而可求出的解析式，则可求出的最小正周期，再利用正弦函数的零点和周期性可求得结果.小问1详解】因为，，所以的最小正周期为，因为，的最小正周期为，所以，得，所以，由，得，所以的对称中心为；【小问2详解】由函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，可得，因为是的一个零点， 所以，所以，所以，或，解得或，因为，所以，所以，所以的最小正周期为，令，则，解得，或，所以，或，因为函数在（且）上恰好有10个零点，且要使最小，必须使恰好为的零点，前两个零点相距，所以的最小值为.