湖南省 2022-2023学年高一数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

衡阳市八中2022级高一3月份月考试题数学2023.3考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．A．B．-1C．D．2．已知a，b是实数，则“”是“且”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．坐标平面内点的坐标为，则点位于第（）象限.A．一B．二C．三D．四4．已知点，，则与方向相反的单位向量是A．B．C．D．5．函数（，）的部分图象如图所示，则A．B．C．D．6．如图所示，平面内有三个向量，，，与的夹角为，与的夹角为，且，，若（），则A．1B．C．D．7．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是 A．B．C．D．8．已知函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．实数，满足，设，则下列说法正确的是A．在复平面内对应的点在第一象限B．C．的虚部是D．的实部是10．若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是A．函数的图象关于点成中心对称B．函数的图象关于直线成轴对称C．在区间上，为减函数D．11．下列说法正确的是A．B．若与平行，与平行，则与平行C．若且则D．和的数量积就是在上的投影向量与的数量积12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，则+=．若O是锐角△ABC内的一点，A，B，C是△ABC的三个内角，且点O满足如下的等式：．则 A．为的外心B．C．D．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）13．已知向量，的夹角为，且，，若，则_________．14．设正实数、满足，则的最小值为______．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若，则sinA+sinC的最大值是____________．16．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在处测得处的仰角为37度，在处测得处的仰角为45度，在处测得C处的仰角为53度，点所在等高线值为20米，若管道长为50米，则点所在等高线值为______．（参考数据）四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，在中，，，与交于点，设，，试用基底表示．18．（本小题满分12分）在中，角,,的对边分别为,,，，，．(1)求及的值； (2)求边上的高．19．（本小题满分12分）若某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数：.(1)将利润（单位：元）表示为月产量x的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）20．（本小题满分12分）若函数.(1)求函数的最大值及最小正周期；(2)求使成立的的取值集合．21．（本小题满分12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)证明：；(2)若，且，求．22．（本小题满分12分）设函数和的定义域分别为和，若对，有且仅有个不同的实数，使得（其中，）,则称为的“重覆盖函数”． (1)试判断（）是否为的“重覆盖函数”？并说明理由．(2)已知函数为的“重覆盖函数”，求实数的取值范围． 参考答案：1．A【分析】运用诱导公式和特殊角的三角函数值即可化简求值．【详解】解：．故选：A．2．B【分析】利用不等式的性质，结合反例可判断选项【详解】由不等式的性质若且，则必有，反之不一定成立，如故“”是“且”的必要不充分条件故选：B3．B【分析】利用角的范围，得出三角函数值的正负，判断出点所在的象限．【详解】，，则点位于第二象限，故选：B4．C【分析】求出，即得解.【详解】解：由题意有，所以，所以与方向相反的单位向量是.故选：C5．B【分析】根据给定图象求出函数的周期及函数最大值，再由时取最大值列式求解即得.【详解】依题意，设的周期为T，则有，解得，于是得，显然，因此有：，而时，，从而得，即，解得，而，所以.故选：B6．D【分析】作出的相反向量，再以射线，为邻边，以为对角线作，根据向量加法求解即可.【详解】作出的相反向量，再以射线，为邻边，以为对角线作， 由题意知，，，，所以，所以，即．故选：D7．D【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围【详解】因为，所以.由，得.当时，，又，则.因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.故选：D.8．D【分析】画出函数的大致图象，令，方程有5个不同的实数解，转化为根的分布问题，分情况讨论即可.【详解】函数的大致图象如图所示，对于方程有5个不同的实数解，令，则在，上各有一个实数解或的 一个解为-1，另一个解在内或的一个解为-2，另一个解在内.当在，上各有一个实数解时，设，则解得；当的一个解为-1时，，此时方程的另一个解为-3，不在内，不满足题意；当的一个解为-2时，，此时方程的另一个解为，在内，满足题意.综上可知，实数a的取值范围为.故选：D.9．ABD【分析】根据题意先求出z，进而根据复数的概念和几何意义求得答案.【详解】实数x，y满足(1+i)x+(1-i)y=2，可化为x+y-2+(x-y)i=0，∴解得x=y=1，∴z=x+yi=1+i.对于A，z在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故A正确.对于B，|z|=，故B正确.对于C，z的虚部是1，故C错误.对于D，z的实部是1，故D正确.故选：ABD.10．AC【分析】根据对称性，周期性的定义可得关于成轴对称，关于成中心对称， 以为周期的周期函数，再由题意可得函数在区间上单调递增，即可判断；【详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，又，即关于对称，故B不正确；所以，即，所以，所以是以为周期的周期函数，因为在区间上，有，所以在上单调递增，因为，即，所以的图象关于点成中心对称，故A正确；因为关于成轴对称，关于成中心对称，且在上单调递增，所以在上单调递减，故C正确；因为，故D错误；故选：AC11．AD【分析】根据向量的数量积的定义，结合三角函数的值域可以判定A正确；当为零向量时,利用零向量和任意向量都平行的规定可以判定B错误；由移项，提取公因式，可等价转化为与垂直，进而判定C错误；利用投影向量的定义和数量积的定义运算可以判定D正确.【详解】，故A正确；当为零向量时，对于任意的与，与平行，与平行总是成立，故B错误；等价于，当与垂直时成立，不一定，即推不出，故C错误；在上的投影向量为，，所以和的数量积就是在上的投影向量与的数量积．故正确.故选：. 12．BCD【分析】由根据数量积的运算律可得,可得为的垂心；结合与三角形内角和等于可证明B选项；结合B选项结论证明即可证明C选项，利用奔驰定理证明可证明D选项．【详解】解：因为，同理，，故为的垂心，故A错误；，所以，又，所以，又，所以，故B正确；故，同理，延长交与点，则，同理可得，所以，故C正确；，同理可得，所以，又，所以，故D正确．故选：BCD．13．【分析】先求出的值，再由结合数量积的运算性质可得出答案.【详解】由题意则，则故答案为： 14．【分析】由已知可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为正实数、满足，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.15．【分析】根据已知，利用三角形面积公式、余弦定理可得，B为钝角知，由三角形内角和的性质得，即可求最大值.【详解】由题设，，则，∴，又B为钝角即为锐角，∴，即，又，∴且，而，∴当时，的最大值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据已知条件，利用三角形面积公式、余弦定理可得到，再 应用三角形内角性质及三角恒等变换写出关于的二次函数式，求最值.16．50【分析】根据垂直投影图画出水平投影图，利用三个直角三角形可求出B的高度.【详解】根据垂直投影图，画出水平投影图如下：由，得，设，则，得由，得，解得，所以点所在等高线值为20+30=50.故答案为：50.【点睛】新文化类题目，先仔细读懂题意，再转化为数学模型，利用相关数学知识可解；此题的关键是由俯视图（垂直投影）画出正视图（水平投影），利用三角函数可解.17．.【解析】先设，根据三点共线，得，根据三点共线，得，解方程组即得结果.【详解】设，则，.三点共线，与共线，，①.同理可得，.三点共线，与共线，，②. 联立①②解得.【点睛】本题考查向量基底表示以及根据向量共线求参数，考查综合分析求解能力，属中档题.18．(1)(2)【分析】(1)根据题意利用余弦定理求出b，进而求出，结合三角函数的同角关系即可得出；(2)设AB边上的高为h，利用三角形的面积公式计算即可.(1)在中，，由余弦定理，得，即，由得，所以，所以；(2)设AB边上的高为h，由，得.19．(1)(2)当每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元【分析】（1）利用题中给出的总收入关于月产量的关系式，由利润总收入总成本即可得到答案；（2）分和时，分别利用二次函数的性质以及函数的单调性求出最值，比较即可得到答案．(1)解：由题可知总成本为，∴.(2)解：当，，∴时，有最大值25000；当时，是减函数，∴.∴时，有最大值25000. 即当每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元.20．(1)最大值为，最小正周期为(2)【分析】（1）化简的解析式，由此求得的最大值以及最小正周期.（2）通过解三角不等式求得的取值范围.(1)，∴，最小正周期.(2)∵，∴，∴，，解得，，∴使成立的的取值集合为.21．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理进行化简证明.（2）利用向量的运算、模长公式以及正弦定理、余弦定理建立方程求解.【详解】（1）因为，所以，由正弦定理可得，由余弦定理可得，整理得.（2）由得D为的中点，所以，所以，又，所以，因为，由（1）的解题过程可知，所以，即，解得（负值舍去）， 所以由正弦定理可得.22．解：（1）（）是的“重覆盖函数”，……1分理由如下：由可知，，………………………………2分 综上所述：………………………………12分综上所述：………………………………12分