湖南省部分校2022-2023学年高一数学下学期第一次月考试题（Word版附解析）

湖南省高一年级阶段性诊断考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至第二册第七章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合A，B，再利用并集的定义求解作答.【详解】依题意，，，所以.故选：C2.已知向量，，若，则（）A.－1B.6C.－6D.2【答案】B【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标表示，和向量共线的坐标表示，求解参数.【详解】向量，，则， 由，得，解得.故选：B3.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算可得，进而可求模长.【详解】∵，则，∴.故选：A.4.若函数的最大值为4，则函数的最小正周期为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由正弦函数的值域和的最大值求得，再由余弦型函数的周期公式求的最小正周期.【详解】由，函数的最大值为4，则，函数的最小正周期为.故选：D5.从O地到A地的距离为1.5km，从A地到B地的距离为2km，且，则（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据，结合数量积的运算律运算求解.【详解】由题意可得：，∵，故.故选：B.6.在中，角的对边分别是.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理得到，再根据余弦定理得到，设，代入计算得到答案.【详解】，即，故，，设，则，解得或（舍去）.故选：A7.设钝角满足，则（）A.B.C.7D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式化简求出，再利用同角公式及和角的正切公式求解作答.【详解】因为，则 ，解得，而为钝角，则，，所以.故选：D8.泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB，高约为50m，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度CD为（）A.75mB.mC.mD.80m【答案】A【解析】【分析】中边角关系解出，中由正弦定理解得，中由边角关系解得.【详解】由已知得为等腰直角三角形，，，，，则有，A处测C处的仰角为15°，则，∴， 中，由正弦定理，，即，解得，中，.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数，满足，，则，（）A.B.在复平面内对应的点位于第三象限C.为纯虚数D.的共轭复数为【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，求出复数，，再逐一计算判断各个选项作答.【详解】因为，，则，，解得，A正确；复数在复平面内对应的点位于第三象限，B正确；，则为实数，C错误；，所以的共轭复数为，D正确.故选：ABD10.如图，I，J分别为CD，CE的中点，四边形，，均为正方形，则（） A.B.在上的投影向量为C.D.在上的投影向量为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，根据可判断；对于B，根据投影向量的定义可判断；对于C，根据与的夹角为可判断；对于D，根据投影向量的定义可判断.详解】对于A，由图可知，则，所以，A正确；对于B，如图，设M，N分别为AB，HG的中点，连接IM，CN，在上的投影向量为，B正确；对于C，因为与的夹角为，所以，C错误；对于D，在上的投影向量为，D正确．故选：ABD11.若，，分别是定义在上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数是偶函数的是（） A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义逐项判断即可.【详解】若，，分别是定义在上的偶函数、奇函数、偶函数，则，，对于函数，则，则为奇函数；对于函数，则，则偶函数；对于函数，则，则为偶函数；对于函数，则，则为偶函数.故选：BCD.12.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，B的角平分线交AC于D，，则（） A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据已知条件及角平分线的定义，利用三角形的面积公式、三角形的内角和定理及锐角三角形限制角的范围，结合正弦定理的边角化及两角差的正弦公式，再利用二倍角的正弦余弦公式及三角函数的性质即可求解.【详解】因为是角的平分线，所以.由题意可知，,即,所以，即，因为为锐角三角形，所以,所以，所以，所以，即，所以，即,故A错误；在中，,即，因为为锐角三角形，所以，解得，故B正确； 由正弦定理得,即,因为，所以，即，所以，故C正确；由正弦定理，所以所以，因为，所以，所以，所以，所以，故D正确.故选：BCD.【点睛】解决此题的关键是利用等面积法及锐角三角形限制角的范围，结合正弦定理的边角化及三角恒等变换，再利用三角函数的性质即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知正数a､b，，则的最小值为__________．【答案】8【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式得到，进而可求出结果.【详解】因为，所以（当且仅当，即，时取等号），故的最小值为，故答案为：14.若复数z的虚部小于0，且，则______________．【答案】【解析】【分析】设且，根据，求出，再根据复数的出发运算即可得解.【详解】设且，则，所以，则或（舍去），所以（舍去）或，所以，则.故答案为：.15.已知函数，若在区间内恰好存在两个不同的，使得，则ω的最小值为______________．【答案】 【解析】【分析】时有，依题意有，可求ω的最小值.【详解】函数，由，则，时，，依题意有，解得，所以ω的最小值为.故答案为：16.已知向量，满足，，且，为任意向量，则的最小值为______________．【答案】##-2.5【解析】【分析】由已知可得向量，夹角为，可取取，，设，利用配方法求的最小值.【详解】由，，且，设向量，夹角为，则，由，得，取，，满足，，且，设，则，， ，所以当时，有最小值.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在4×4正方形网格中，向量，满足，，且．（1）在图中，以A为起点作出向量，使得；（2）在（1）的条件下，求．【答案】（1）作图见解析（2）2【解析】【分析】（1）由向量线性运算的几何表示作出向量；（2）利用向量，为基底，求.【小问1详解】，以A为起点作出向量，如图所示， 【小问2详解】由图中网格可得：，由，，且则有18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）证明：．（2）若D为BC的中点，从①，②，③这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证；（2）三种情况，在中，利用余弦定理证明即可.【小问1详解】已知，由余弦定理可得，即，又由正弦定理，得，角A，B为△ABC中内角，所以.【小问2详解】△ABC中,，D为BC的中点，如图所示， ①②③已知，，求证.证明：，中，，解得.①③②已知，，求证.证明：，所以中，.②③①已知，，求证：证明：，在中，由余弦定理，，所以19.已知函数（，且）的定义域和值域都是．（1）求的值；（2）求不等式解集．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）对分类讨论，根据函数的单调性可得关于的等式，求解得答案；（2）由（1）得解析式确定函数单调性，列不等式求解即可.【小问1详解】当时，函数在上单调递减，所以，无解；当时，函数在上单调递增，所以，解得或（舍）；综上，;【小问2详解】由（1）得，，则函数上单调递增，又，则，解得，所以不等式得解集为.20.如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，，BC⊥CD，E为AD的中点，AC与BE相交于点F．（1）求△ACD的面积；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）在中用余弦定理求出，再利用诱导公式及三角形面积公式求解作答.（2）利用余弦定理求出，由正弦定理求出，然后利用和差角及二倍角的三角函数公式求解作答..【小问1详解】在中，由余弦定理得：，由得：，所以的面积.【小问2详解】在中，由（1）知，由余弦定理得，由正弦定理，得，而，即是锐角，则，在中，，，因此， 在中，，即，，而是锐角，解得，，在中，，所以.21.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）若方程在上恰有三个不相等的实数根，求的取值范围和的值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由函数图象可得，，求得，将点代入的解析式，求得，即可求得函数的解析式；.（2）将问题转化为函数与的图象在上有三个不同的交点，结合图象以 及对称性求解即可.【小问1详解】解：由函数的图象可得，且，解得，所以，即，将点代入的解析式，可得，解得，因为，可得，所以.【小问2详解】方程在上恰有三个不相等的实数根，则函数与的图象在上有三个不同的交点，设交点的横坐标分别为.函数在上的图象如下图所示：由图可知，.由对称性可知，.故22.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）若，求的值；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理分别求出，再根据三角形内角和定理将用表示，再将所求化简即可得解；（2）利用余弦定理结合可得，结合基本不等式求出的范围，计算可得，令，再根据二次函数的性质即可得解.【小问1详解】因为，所以，所以，则；【小问2详解】由，得，因为，所以，所以，当且仅当时，取等号，， ，令，则，则，因为，所以，所以的最小值为．