福建省南平市2022-2023学年高一数学下学期期末冲刺试卷（三）（Word版附解析）

2022-2023学年高一下学期期末冲刺卷（三）时间：120min总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设，，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】计算求出其在复平面内对应的点即可求解.【详解】，在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故选：C2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中，与共线的向量有A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【详解】在向量，，，，，，，，，，中与共线的向量有：向量，，．故选C． 3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A.2B.C.D.1【答案】D【解析】【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．平面，到平面的距离等于到平面的距离，由题计算得，在中，，边上的高，所以，所以，利用等体积法，得:,解得:考点：利用等体积法求距离4.在中，已知，，的外接圆半径为1，则A.B.C.D.6【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理求出边a，和sinB，进而求的角C，再根据三角形面积公式求解．【详解】已知A=，得sinA=，∵b=1，R=1，根据正弦定理，得，sinB=,∵，易知B为锐角，∴B=,∴C= 根据三角形的面积公式，S△ABC=.故选C.【点睛】本题考查了正弦定理，三角形中边角关系，以及三角形面积公式的应用，属于基础题．5.已知数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（）A.和B.和C.和D.和【答案】B【解析】【分析】根据平均数和方差的性质直接求解.【详解】因为数据的平均数为，方差为，所以，，…，的平均数和方差分别为和故选：B6.如图所示的四组数据，标准差最小的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析】 根据图形计算出各组数据的标准差即可判断.【详解】对A，，，对B，，，对C，，，对D，，，所以标准差最小的是A.故选：A.7.已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出侧棱长，再求出侧面积和两个底面积，即可得表面积．【详解】由题意侧棱长为．所以表面积为：．故选：A.【点睛】本题考查棱柱的表面积，解题关键是求出侧棱长．8.海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积S的公式，表达式为： ；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（）A.B.C.D.12【答案】C【解析】【分析】用正弦定理将条件转化为边长的比，结合周长可求出三边的长度，将三边的长度代入海伦－秦九韶公式即可求出三角形的面积.【详解】在中，因为，由正弦定理可得：，设，，，且，∴，解得，即，，，且，∴.故选：C.【点睛】本题考查三角形正弦定理和海伦－秦九韶公式的应用，考查理解辨析、运算求解能力，属基础题.二、多项选择题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（）A.抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜D.小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜【答案】ACD 【解析】【分析】在四个选项中分别列出小明与小华获胜的情况，由此判断两人获胜是否为等可能事件．【详解】解：对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平对于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正两种情况，而两枚都正面向上仅有正，正一种情况，所以游戏不公平对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6,6），（6,8），（8,6），（8,8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．故选：ACD．【点睛】本题考查等可能事件的判断，考查运算求解能力，是基础题．10.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，由面积公式求出，再由余弦定理求出，即可得解.【详解】，由正弦定理可得，整理可得，所以，为三角形内角，， ∴，∵，，故A正确，B错误；∵，，，解得，由余弦定理，得，解得或（舍去），故D正确，C错误.故选：AD.11.如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（）A.，，三点共线B.，，，四点共面C.，，，四点共面D.，，，四点共面【答案】ABC【解析】【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可；【详解】解：在正方体中，为的中点，直线交平面于点，在选项中，直线交平面于点，平面，直线，又平面，平面，为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点，平面，且平面， 又平面，且平面，，，三点共线，故选项正确；在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；在选项中，直线，，，，，四点不共面，故错误．故选：．12.对于三角形ABC，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若sin2A＋sin2B＜sin2C，则三角形ABC是钝角三角形B.若A＞B，则sinA＞sinBC.若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的三角形ABC有两个D.若三角形ABC为斜三角形，则【答案】ABD【解析】分析】对于A，先利用正弦定理转化为边之间的关系，再利用余弦定理可判断三角形的角的大小；对于B，由三角形中大角对大边，再结合正弦定理判断；对于C，利用余弦定理求解即可；对于D，利用三角函数恒等变换公式判断【详解】对于A，因为sin2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得，所以，所以为钝角，所以三角形ABC是钝角三角形，所以A正确；对于B，因为A＞B，所以，所以由正弦定理得sinA＞sinB，所以B正确；对于C，由余弦定理得，，所以，所以符合条件的三角形ABC有一个，所以C错误；对于D，因为，所以因为， 所以，所以，所以D正确，故选：ABD三、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，，.若与共线，则在方向上的投影为________.【答案】【解析】【分析】先根据向量的坐标运算，表示出，根据共线求出，然后可得在方向上的投影.【详解】因为，，所以；因为与共线，，所以，解得；所以在方向上的投影为.故答案为：.14.已知复数满足条件，那么的最大值为______．【答案】4【解析】【分析】由，所以复数对应的点在单位圆上，由表示复数对应的点与复数对应的点之间的距离，根据圆的性质可得答案.【详解】因为，所以复数对应的点在单位圆上，表示复数对应的点与复数对应的点之间的距离，而．所以的最大值为.故答案为：415.在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角 ，已知铁塔部分高米，山高_______．【答案】米【解析】【分析】设米，在直角三角形中表示出，利用的长求得，从而得．【详解】由，易得，，设，则，，，．16.如图，点E是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的有__________． ①直线与直线始终是异面直线②存在点，使得③四面体的体积为定值④当时，平面平面【答案】②③④.【解析】【分析】取点为线段的中点可判断①，建立空间直角坐标系假设存在点，使得，利用解出的值即可判断②；连接、交于点，证明，线段到平面的距离为定值，可判断③；求出点的坐标，然后计算平面和平面的法向量，即可判断④.【详解】对于①：连接交于点，当点在点时直线与直线相交，故①不正确，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，， ，，，，，对于②：，假设存在点，使得，，，所以，解得，所以当时，故②正确；对于③：连接、交于点，因为点E是棱的中点，此时，故线段到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，故③正确；对于④：当时，，，，设平面的法向量为，由令，可得，，可得，设平面的法向量为，，由解得:，令可得，所以，因为，所以平面平面，故④正确；故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；（2）利用性质：（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）；（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于.四、解答题.（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）17.实数取什么值时,复数(1)与复数相等(2)与复数互为共轭复数(3)对应的点在轴上方. 【答案】（1）m＝－1（2）m＝1（3）m<－3或m>5.【解析】【详解】解：(1)根据复数相等的充要条件得解得m＝－1.(2)根据共轭复数的定义得解得m＝1.(3)根据复数z的对应点在x轴的上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.18.已知向量(1)若，求证：;(2)若向量共线，求.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【详解】【试题分析】（1）计算即可证得两向量垂直.（2）根据两个向量共线的公式，得到，化简求得，利用向量模的计算公式，计算出.【试题解析】（1）当时，又（2）因为向量共线，即当，则与矛盾，故舍去；当时，由得：又 另解：由得所以19.为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准(吨)，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图,其中.（1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨)，估计的值，并说明理由.【答案】（1），；4.07（2）35.2万；（3）【解析】【分析】（1）由频率之和为1以及列方程组求得的值，并由频率分布直方图中间值作为代表，计算出平均数；（2）计算不低于2吨人数对应的频率，求出对应的人数；（3）由频率分布直方图计算频率，可判断，再根据频率列出方程，求出的值.详解】解：（1）由频率分布直方图可得，又，则，，该市居民用水的平均数估计为： ；（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：，则月均用水量不低于2吨的频率为：，所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：（万）；（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过的标准（吨），，，解得，即标准为5.8吨.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，求平均数，计算频率，总体百分位数的估计，考查了数据处理能力和运算能力，属于中档题.20.如图，在三棱锥中，平面ABC，底面ABC是直角三角形，，O是棱的中点，G是的重心，D是PA的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由线面垂直推出，由直角三角形推出，即可证明线面垂直；（2）连结并延长交于点，连结，，通过证明平面PBC、平面PBC证明平面DOE平面PBC，从而推出线面平行.【详解】（1）证明：平面ABC，且平面ABC，，底面ABC是直角三角形且，， 又平面PAB，平面PAB，，平面.(2)证明：连结并延长交于点，连结，,是的重心，为边上的中线，为边上的中点，又有为边上的中点，，平面PBC，平面PBC，同理可得平面PBC，又平面DOE，平面DOE，，平面DOE平面PBC，又有平面DOE，平面21.如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求B；（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简即可． （2）在，利用余弦定理求出，已知，可得，再余弦定理求出，即可和面积，可得四边形的面积．【详解】解：（1）由正弦定理得，得.因为，所以，即.（2）在中AB=2，BC=3，，，解得.在中，，A，B，C，D在圆上，因为，所以，所以，解得或（舍去），所以四边形ABCD的面积.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.22.如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，. （1）求证：；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】【分析】（1）由线面平行的性质定理可推出，再由平行的传递性可证得（2）先找出二面角的平面角，表示出，求出，再设，建立方程求出，进而求出.【详解】（1）在棱柱中，面，面，面面，由线面平行的性质定理有，又，故；（2）证明：在底面中，，，.，，又因侧棱底面，则底面面，又，面过点作于，连接，则是二面角的平面角．，，则，故，，．设，则． ，故，故．【点睛】方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．