福建省南平市2022-2023学年高一数学上学期期末质量检测试题（Word版附解析）

南平市2022-2023学年第一学期高一期末质量检测数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据韦恩图所表示的集合为，按照并集和补集的运算求解即可.【详解】集合，则则图中阴影部分表示的集合是.故选：D.2.若幂函数图象过点，则（）A.1B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】把点代入得到，再结合对数的运算，即可求得本题答案.【详解】因为幂函数图象过点，所以，得，所以.故选：C3.“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由，得；反之不成立．再由充分必要条件的判定判断.【详解】由，得；反之，由，得.∴“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.为了得到函数的图象，可以将函数的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】【详解】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.本题选择D选项.5.函数的零点所在的区间是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数单调递增，再根据零点存在性定理，即可得出结果.【详解】因为和都是增函数，所以在上显然单调递增，又，， 根据零点存在性定理可知的零点所在的区间是，因为函数单调递增，所以有且仅有一个零点.故选：C6.函数在的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式，结合特殊值，即可判断函数图象.【详解】设，则，故为上的偶函数，故排除B．又，，排除C、D．故选：A．【点睛】本题考查图象识别，注意从函数奇偶性、单调性和特殊点函数值的正负等方面去判断，本题属于中档题.7.若等腰三角形顶角余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由结合倍角公式求解即可.【详解】设顶角为，，则为锐角.则这个三角形底角的正弦值为.故选：B8.若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】借用中间值，可比较它们的大小，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以. 故选：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性质、特值法和基本不等式逐个选项进行判定即可.【详解】对于A选项，当时，满足，但是，故A不正确；对于B选项，根据不等式的性质可知准确，故B正确；对于C选项，当时，满足，但是，故C不正确；对于D选项，因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，故D正确；故选：BD.10.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.C.函数关于对称D.函数在上是增函数 【答案】BC【解析】【分析】由周期得出，由点得出，再由正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】因为在同一周期内，函数在时取得最大值，时取得最小值，所以函数的最小正周期T满足，由此可得，解得；得函数表达式为，又因为当时取得最大值2，所以，可得，因为，所以取，得，所以，故A错误；，故B正确；令，所以函数关于对称，故C正确；令，解得，令，则其中一个单调增区间为.故D错误.故选：BC11.若定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A.为偶函数B.在上单调递增C.在上单调递增D.最小正周期【答案】ABD【解析】【分析】由可得函数图象关于对称，通过图象的平移判断选项A 正确；由函数为奇函数结合，可得函数的周期为，判断选项D正确；由时，，结合函数的奇偶性和对称性，可得函数的单调性，判断出B正确，C错误．【详解】由得函数的图象关于对称，函数的图象是由函数的图象向左平移一个单位长度得到的，所以函数的图像关于y轴对称，所以函数是偶函数，故A正确；由得，所以，的最小正周期为，故D正确；当时，，因为是定义在上的奇函数，所以当时，，且，所以在上单调递增，在上单调递减，因为的最小正周期，所以在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误.故选：ABD12.已知函数，说法正确的是（）A.在区间上单调递增B.方程在的解为，且C.的对称轴是D.若，则【答案】AB【解析】【分析】将函数写成分段函数，即可画出函数图象，再结合函数图象一一分析即可.【详解】因为， 即，所以的图象如下所示：，由图可知函数是周期为的周期函数，函数在上单调递增，所以在区间上单调递增，故A正确，由图可知不是函数的对称轴，故C错误；因为，所以与的交点即为所求，如图知有四个交点，且，，所以，故B正确.由图象可知若，所以，，则，，，，所以，，，故D错误.故选：AB三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13._______.【答案】【解析】 【分析】根据指数幂与对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】由指数幂与对数的运算性质，可得：.故答案为：.14.若是第二象限角，，则___________.【答案】【解析】【分析】先确定属于第三象限，求出的值，然后利用公式展开，即可求得本题答案.【详解】因为是第二象限角，且，所以为第三象限角，所以，所以.故答案为：15.中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中T为信噪比.若不改变带宽W，而将信噪比T从499提升到1999，则C大约增加________.（结果保留一位小数） 参考数据：.【答案】22.3【解析】【分析】将与代入，作差后求增长率即可【详解】当时，，当时，则，所以C大约增加了，即C大约增加了.故答案为：22.316.某市以市民需求为导向，对某公园进行升级改造，以提升市民的游园体验.已知公园的形状为如图所示的扇形区域，其半径为2千米，圆心角为，道路的一个顶点C在弧上.现在规划三条商业街道，要求街道与平行，交于点D，街道与垂直（垂足E在上），则街道长度最大值为___________千米.【答案】【解析】【分析】设，利用几何关系得出，由勾股定理得出，再由正弦函数的性质得出长度的最大值.【详解】过点作的垂线，垂足为，设， 则，又，所以.在直角三角形中，，其中.因为，所以，又，所以当时，有最小值为，即.综上，街道长度的最大值为千米.故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，求下列各式的值.（1）；（2）. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数的定义，结合倍角公式计算即可；（2）由诱导公式计算即可.【小问1详解】因为角的终边与单位圆交于点，所以.；【小问2详解】.18.已知集合.（1）求集合；（2）若集合，且，求实数a的取值范围.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）解不等式求得集合,再根据并集的运算可求得.（2）根据集合与集合的关系,可得关于a的不等式组,解不等式组即可求得参数a的取值范围.【小问1详解】等价于，解得，故集合.等价于，解得，故集合. 所以.【小问2详解】由（1）可得集合，集合，所以.于是，由，且得，解得，即实数a的取值范围是.19.已知函数.（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在上最大值和最小值，并求出取得最值时x的值.【答案】（1）最小正周期，单调递增区间是（2）时，取得最小值；时，取得最大值1【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，进而由正弦函数的性质求解；（2）由，结合正弦函数的性质求解即可.【小问1详解】.所以的最小正周期. 令得所以的单调递增区间是.【小问2详解】因为，所以，所以，故，所以当，即时，取得最小值；当，即时，取得最大值1.20.某企业拟购买一批智能机器人生产A型电子元件，以提高生产效率，降低生产成本.已知购买x台机器人的总成本（万元）.（1）要使所购买的机器人的平均成本最低，应购买多少台机器人？（2）现将按（1）所求得的数量购买的机器人全部投入生产，并安排m名工人操作这些机器人（每名工人可以同时操作多台机器人）.已知每名工人操作水平无差异，但每台机器人每日生产A型电子元件的个数Q与操作工人人数有关，且满足关系式：.问在引进机器人后，需要操作工人的人数m为何值时，机器人日平均生产量达最大值，并求这个最大值.【答案】（1）购买120台机器人；（2）当大于等于20时，机器人日平均生产量达最大值，且最大值为19200个.【解析】【分析】(1)利用基本不等式即可求成本的最小值；(2)根据分段函数讨论函数的最大值即可求解.【小问1详解】由总成本，可得每台机器人的平均成本. 因为.当且仅当，即时，等号成立.所以要使所购机器人的平均成本最低，应购买120台机器人.【小问2详解】当时，120台机器人的日平均生产量为，所以当时，120台机器人日平均生产量最大值为19200.当时，120台机器人日平均生产量为.所以120台机器人的日平均产量的最大值为19200个.所以当大于等于20时，机器人日平均生产量达最大值，且最大值为19200个.21.函数定义在上的奇函数.（1）求m的值；（2）判断的单调性，并用定义证明；（3）解关于x的不等式.【答案】（1）（2）在上单调递增，证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由即可得解；（2）由定义证明单调性即可；（3）根据函数的奇偶性和单调性求解即可.【小问1详解】解法1：因为为定义在上的奇函数，所以，所以， 得，即.因为，所以，即.解法2：因为为定义在上的奇函数，所以.当时，，所以【小问2详解】在上单调递增.由（1）得.任取，由于，又,所以，所以在上单调递增.【小问3详解】由（2）得函数在上单调递增，且为奇函数，所以不等式等价于等价于，等价于，等价于所以，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为空集.22.已知函数且. （1）若函数有零点，求a的取值范围；（2）设函数，在（1）的条件下，若，使得，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）函数有零点，即方程有解，则函数的图象与直线有交点，再分和两种情况讨论，即可得解；（2），使得成立，即成立，利用基本不等式求出的最小值，分离参数，从而可得出答案.【小问1详解】若函数有零点，即，即方程有解，令，则函数的图象与直线有交点，当时，，故方程无解，当时，，由方程有解可知，所以，综上，a取值范围是；【小问2详解】 当时，，由（1）知，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，由题意，，使得成立，即成立，所以对恒成立，设，则对恒成立，设函数，因为函数和函数在上都是减函数，所以函数在上是减函数，所以，所以，即m的取值范围是.