江苏省南通市通州区金沙中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

2021~2022学年第二学期期末学业质量监测高一数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含单项选择题（共8题）、多项选择题（共4题）、填空题（共4题）、解答题（共6题），满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上.3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．请把正确选项填写在答题卡相应位置上．1.设复数z满足，则|z|＝（）A.B.C.3D.1【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】∵复数z满足，∴，则故选：A．2.某科研机构由科技人员、行政人员和后勤职工3种不同类型的人员组成，现要抽取一个容量为45的样本进行调查．已知科技人员共有60人，抽入样本的有20人，且行政人员与后勤职工人数之比为，则该科研机构后勤职工人数是（）A.15B.30C.45D.135【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样等比例抽取的性质，即可容易求得. 【详解】不妨设行政人员有人；后勤职工有人，根据分层抽样等比例抽取的性质，，解得.故后勤人员有人.故选：3.若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（）A.能组成直角三角形B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形D.不能组成三角形【答案】B【解析】【分析】首先设的三边分别为，，，得到角为最大的角，再根据得到为锐角，即可得到答案.【详解】由题知：设的三边分别为，，，因为，所以角为最大的角.因为，，所以为锐角，故三角形为锐角三角形.故选：B4.在平面直角坐标系中，若曲线与在区间上交点的横坐标为，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】在区间上，联立，即可解出．【详解】在上，由可得，而，所以， ，即或，而，所以．故选：D．5.已知是所在平面外一点，到，，的距离相等，且在所在平面的射影在内，则一定是的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心【答案】A【解析】【分析】根据已知条件及三角形的内心、外心、垂心、重心的定义即可求解.【详解】因为到，，的距离相等，且在所在平面的射影在内，所以到，，的距离相等，即点为的内切圆的圆心，即的内心.故选：A.6.直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将直三棱柱补全为正方体，根据正方体性质、线面垂直的判定可得面，由线面角的定义找到与平面所成角的平面角，进而求其大小.【详解】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，为上底面对角线交点，所以，而面，面，故，又，面，故面， 则与平面所成角为，若，所以，，则，故.故选：A7.如图，矩形内放置5个边长均为1的小正方形，其中，，，在矩形的边上，且为的中点，则（）A.B.C.5D.7【答案】D【解析】【分析】由题图，利用向量数乘、加法的几何意义，结合向量数量积的运算律求目标式的值.【详解】由题图知：，，，所以，由，，故.故选：D8.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】结合式子中角特点以及范围，分别求，，再根据正切值缩小的范围，从而得到的范围，即可得到角 的大小.【详解】因为，，而，，所以，，，，所以．故选：D．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．9.设和为不重合的两个平面，下列说法中正确的是（）A.若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行B.直线与垂直的充要条件是与内的两条直线垂直C.若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于D.设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直【答案】AC【解析】【分析】由线面平行、面面平行或垂直的判定判断A、C、D的正误，举反例判断B.【详解】A：由且直线与内的一条直线平行，根据线面平行的判定知：，正确；B：若与内的两条平行直线垂直，推不出直线与垂直，错误；C：如下图示，相交直线、，且，则，而同一平面内必相交，，则，正确； D：由，若内有一条直线垂直于，无法判断，错误；故选：AC10.从高一某班抽三名学生(抽到男女同学的可能性相同)参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下正确的是（　　）A.B.事件A与事件B互斥C.D.事件A与事件C对立【答案】ABD【解析】【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.【详解】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；两事件不可能同时发生，为互斥事件，B正确；事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为，D正确；事件包含：三名学生都男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与事件含义相同，故，C错误；故选：ABD11.中，的对边分别为，则（）A.若，则B.使得C.都有D.若，则是钝角 【答案】D【解析】【分析】特殊值法判断A、C；B由题设有，进而有即可判断；D由已知得，结合即可判断.【详解】A：由题设，若，，，此时，错误；B：若，则，而，所以，又，故不存在这样的，错误；C：当时不成立，错误；D：由，故，而，所以，即，正确.故选：D12.直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（）A.的取值范围是B.点经过的外心C.点所在轨迹的长度为2D.的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D. 【详解】由，又斜边，则，则，A正确；若为中点，则，故，又，所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误；由上，则，又，则，当且仅当等号成立，所以，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.如图，正八边形中，若，则的值为________．【答案】【解析】【分析】以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，由正八边形的性质可得轴，为等腰直角三角形，设，求出、、、点坐标及、、坐标，根据 的坐标运算可得答案.【详解】如图，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，，，所以，，所以，即轴，为等腰直角三角形，设，则，，所以，所以，，与关于轴对称，所以，，，，由得，即，解得，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题．14.如图，海岸线上有相距的两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正南方向．海上停泊着两艘 轮船，甲船位于灯塔的北偏西方向，与相距的处；乙船位于灯塔的北偏西方向，与相距的处．则两艘轮船之间的距离为_________．【答案】【解析】【分析】连接，可知为正三角形，再解，即可求出．【详解】如图所示：连接，由题可知，，，所以为正三角形，在中，，，所以，，即．故答案为：．15.设样本数据的平均数为，方差为，若数据的平均数比方差大4，则的最大值是_________．【答案】【解析】【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出．【详解】数据的平均数为，方差为，所以， ，即，则，因为，所以，故当时，的最大值是．故答案：．16.在长方体中，；点分别为中点；那么长方体外接球表面积为__________；三棱锥的外接球的体积为__________.【答案】①.②.【解析】【分析】求出长方体的对角线即为长方体外接球的直径，由此可得球表面积，设分别是中点，可证明平面，设平面与的交点分别为，在平面内过作，过作交于点，证得是三棱锥的外接球球心．在四边形中求得四边形外接圆直径，然后求出，再求出三棱锥的外接球的半径后球体积．【详解】长方体对角线长为，所以长方体外接球半径为，表面积为；如图，分别是中点，则是矩形，平面平面，分别是中点，则，而平面，所以平面，所以平面，而平面，平面，所以平面平面，平面平面， 由平面，平面，得，而，设平面与的交点分别为，则分别是的中点，所以分别是和的外心，在平面内过作，过作交于点，由平面，得，，而，平面，所以平面，同理平面，所以是三棱锥的外接球球心．四边形是圆内接四边形，由长方体性质知，所以，，，，由平面，平面，得，，，，所以，所以三棱锥外接球的体积为．故答案为：；． 三、解答题：本大题共6小题，共计80分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在中，设角，，的对边分别为，，．已知向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出；（2）由正弦定理先求出的关系，再由余弦定理即可解出，最后根据三角形的面积公式即可解出【小问1详解】由可得，，所以，而，所以．【小问2详解】由得，而，即，解得，所以，故的面积为．18.已知复数，，其中为非零实数． （1）若是实数，求的值；（2）若，复数为纯虚数，求实数的值；（3）复平面内，定点与对应，记满足的对应的点的轨迹为曲线，求点到的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根据复数的代数形式的运算法则以及复数的有关概念即可解出；（2）根据复数的代数形式的运算法则以及复数的有关概念即可解出；（3）根据复数的几何意义，复数模的计算以及点到直线的距离公式即可解出．【小问1详解】为实数，所以，而为非零实数，即．【小问2详解】，而，为纯虚数，所以，解得．【小问3详解】定点为，由得，，化简得，，所以对应的点的轨迹为直线，故点到的最小值为点到直线的距离．19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面． （1）求证：；（2）设平面与平面的交线为l，的中点分别为，证明：平面．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）证明，继而根据面面垂直的性质证明平面，根据线面垂直的性质即可证明结论；（2）延长交于点M，连接,证明平面，继而说明直线l为直线，即可证明结论.【小问1详解】证明：，∵设，∴，，,∴，∴，∴，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴．【小问2详解】延长交于点M，连接, ∵，∴D为的中点，∵的中点为E，∴，不在平面内,∵平面，∴平面，又平面，平面，∴平面平面，即直线l为直线，∴平面．20.水平相当的甲、乙两队在某次排球决赛比赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金．（1）求需要进行四局比赛才能结束的概率；（2）若前3局打成2:1时，比赛因故终止．有人提议按2:1分配奖金，请利用相关数学知识解释这样分配是否合理．【答案】（1）；（2）不合理，理由见解析.【解析】【分析】（1）由进行四局比赛结束的情况为前三局{甲两胜，乙一胜，最后一局甲胜}、{甲一胜，乙两胜，最后一局乙胜}，利用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率即可.（2）根据前3局2:1时，利用独立乘法公式求出胜2局者和胜1局者分别获胜的概率，即可判断分配是否合理.【小问1详解】由题意，任意一局甲胜概率为，乙胜的概率为，进行四局比赛结束，若第四局甲胜，则前三局{甲两胜，乙一胜}，此时，若第四局乙胜，则前三局{甲一胜，乙两胜}， 此时，综上，需要进行四局比赛才能结束的概率为.【小问2详解】不合理，理由如下：前3局：若甲胜两局，乙胜一局，甲获胜的情况为{第4局甲胜}、{第4局乙胜，第5局甲胜}，故此情况下，甲获胜的概率为，而乙获胜概率为，所以前3局胜2局者与胜1局者奖金分配应为，故题设分配不合理.21.如图，某学校前后两座教学楼，高度分别为12米和17米，从教学楼顶部看教学楼的张角．（1）求两座教学楼和的底部之间的距离；（2）求的正切值．【答案】（1）米；（2）．【解析】【分析】（1）过点作交于点，分别求出，再根据两角和的正切公式即可解出；（2）先通过解求出，即可求出．【小问1详解】 如图所示：过点作交于点，易知四边形为矩形，设米，所以，，而，所以，，化简得，，而，解得，即米．【小问2详解】在中，，在中，，所以，．22.已知在正三棱柱中，，E是棱的中点．（1）设，求三棱锥的体积；（2）若把平面与平面所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由．【答案】（1） （2）此三棱柱不是“黄金棱柱”，理由见解析.【解析】【分析】（1）首先根据平面，再根据求解即可.（2）延长交的延长线于点，连接，根据题意得到为平面与平面所成二面角的平面角，且，即可得到答案.【小问1详解】取的中点，连接，如图所示：因为，为中点，所以.又因为平面，平面，所以.又因为，所以平面.又因为，平面，平面，所以平面，，，所以【小问2详解】延长交的延长线于点，连接，如图所示： 因为，是棱的中点，所以是的中点.所以，即.因为平面，平面，所以.又因为，，，所以平面.又平面，所以，所以为平面与平面所成二面角的平面角，因为正三棱柱中，，所以，即此三棱柱不是“黄金棱柱”.