陕西省商洛市2021-2022学年高二文科数学下学期期末教学质量检测试题（Word版附解析）

商洛市2021~2022学年度第二学期期末教学质量检测高二数学试卷（文科）考生注意：1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直接根据交集的运算即可得到结果.【详解】因为，，所以.故选：A.2若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算可求得，再利用共轭复数的定义和复数的加法可求得结果.【详解】因为，所以，则．故选：C.3.若向量，满足，则（） A.B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】由两个向量垂直，转化为两个向量的数量积为零，再由数量积的坐标运算得出结果.【详解】因为，所以，所以，解得．故选：D.4.已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据抛物线定义即可求解.【详解】由抛物线的定义可知，，所以．故选：C.5.若圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设圆锥的高为h，利用母线与底面所成角求出高即可得解.【详解】设圆锥的高为h，因为母线与底面所成的角为，所以，解得．圆锥的体积．故选：B6.已知数据，，…，的平均值为，方差为，若数据，，…，的平均值为，方差为，则（）.A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据，若可得，，代入数据，解得的值．【详解】因为，，…，的平均值为，方差为，由数据，，…，的平均值为，方差为，所以，解得，．故选：A．7.函数的图象大致形状是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据的奇偶性和当时可选出答案.【详解】由，得，则函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除A，B，当时，排除C， 故选：D.8.设x，y满足约束条件，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，再将目标函数表示的一簇直线画出，向可行域平移即可求解.【详解】作出可行域，如图所示，目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，转化为，令，则，作出直线并平移使它经过可行域的点，经过时，所以，解得，所以.此时取得最小值，即．故选：C.9.已知函数的最小正周期为，将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先将化为，根据最小正周期求出，再根据正弦函数的图像平移得到答案.【详解】因为的最小正周期为，所以．将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像．故选：A.10.已知函数，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式．【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，所以，解得．故选：B11.已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得． 【详解】由，边化角得，又，所以，展开得，所以，因为，所以．故选：B．12.已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】因为函数与函数的图象关于x轴对称，根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，即方程在上有解，即在上有解．令，，则，可知在上单调递增，在上单调递减，故当时，，由于，，且， 所以．故选：A．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.已知，则=______．【答案】【解析】【分析】由题意，求出，代入二倍角正切公式，计算的值．【详解】因为，所以，则．故答案为：．14.已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】根据双曲线离心率的公式求解即可.【详解】因为的实轴长是虚轴长的3倍，所以，从而．故答案为:.15.将写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是6的倍数的概率为______．【答案】【解析】【分析】利用列举法写出基本事件，再结合古典概型的计算公式即可求解.【详解】从4张卡片中不放回地抽取2张，共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）这6种情况，设抽到的2张卡片上的数字之积是6的倍数的事件为,其中包含的基本事件有（2，3），（3，4）这2 种情况，由古典概型的计算公式得故概率为．故答案为：.16.在长方体中，底面是边长为4的正方形，，过点作平面与分别交于M，N两点，且与平面所成的角为，给出下列说法：①异面直线与所成角的余弦值为；②平面；③点B到平面的距离为；④截面面积的最小值为6．其中正确的是__________（请填写所有正确说法的编号）【答案】②④【解析】【分析】利用异面直线所成角的定义及余弦定理可判断①，利用线面平行的判定定理可判断②，利用等积法可判断③，过点A作，连接，进而可得为与平面所成的角，结合条件及基本不等式可判断④.【详解】依题意得，因为，所以异面直线与所成的角即或其补角， 在中，，所以异面直线与所成角的余弦值为，故①错误．由于平面平面，所以平面，故②正确．设点B到平面的距离为h，由，得，解得，故③错误．如图，过点A作，连接，因为平面，所以，又，所以平面，平面，则，平面平面，平面平面，故为与平面所成的角，则，在中，，则有，在中，由射影定理得， 由基本不等式得，当且仅当，即E为的中点时，等号成立，所以截面面积的最小值为，，故④正确．故答案为：②④.三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式求解作答.（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法计算作答.【小问1详解】等差数列中，，解得，因，，成等比数列，即，设的公差为d，于是得，整理得，而，解得，所以【小问2详解】由（1）知，，所以.18.已知函数．（1）求的图像在点处的切线方程； （2）求在上的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】对于第一小问，把点代入函数解析式，得切点坐标，通过函数求导，得到过切点的切线的斜率，根据直线的点斜式方程，求切线方程．对于第二小问，解不等式，得函数增区间，解不等式，得函数减区间，结合，确定函数单调性，求得最值，进而得值域．【小问1详解】因为，所以，所以，，故所求切线方程为，即．【小问2详解】由（1）知，．令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以．又，，所以，即在上的值域为．19.某产品的广告费用支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表．广告费用支出35679 销售额2040605080（1）在给出的坐标系中画出散点图；（2）建立销售额关于广告费用支出的一元线性回归模型；（3）利用所建立的模型，预测当广告费用支出为12万元时，销售额为多少．（参考公式：线性回归方程中的系数，）【答案】（1）见解析（2）（3）107万元【解析】【分析】（1）根据表中数据直接描点即可；（2）根据公式求出所要求的数据，分别求出，即可得出答案；（2）根据回归方程，将代入即可得解.【小问1详解】解：如图所示， 【小问2详解】解：，，则，，所以，则，所以销售额关于广告费用支出的一元线性回归为；【小问3详解】解：由（2）得，当时，，所以当广告费用支出为12万元时，销售额为万元.20.如图，在三棱锥中，平面，，分别是，的中点，且．（1）证明：平面． （2）若，，求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题可得，进而可得，然后利用线面垂直的判定定理即得；（2）作，可得平面，然后利用等积法即得.【小问1详解】由平面，平面，∴,又，为的中点，所以．由，为的中点，得，所以，即．又，，平面所以平面．【小问2详解】由（1）可得，因为，所以，因为，所以，因为是斜边上的中线，所以，又是线段的中垂线，所以，从而， 作，垂足为，因为，，所以平面，即是三棱锥的高，且，．设点到平面的距离为，由，得，解得．21.已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°，到直线l的距离为．（1）求椭圆C的焦距；（2）若，求椭圆C的方程．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）设出直线方程，利用点到直线距离公式得到，求出椭圆焦距；（2）联立直线方程和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据向量的线性关系得到，代入两根之和，两根之积，求出，求出椭圆方程.【小问1详解】由题意知直线l的方程为．因为到直线l的距离为，所以，解得：， 所以椭圆C的焦距为2．【小问2详解】由（1）知直线l的方程为，设，，联立方程组消去x得，所以，．因为，所以，所以，，消去得，解得：，从而，所以椭圆C的方程为．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线与曲线C交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求．【答案】（1）直线的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转化即可； （2）将直线方程化为参数得标准式，代入曲线方程，再利用一元二次方程根和系数关系式得应用即可得出答案.【小问1详解】解：因为直线的参数方程为（为参数），所以直线的普通方程为，由，得，因为，所以曲线C的直角坐标方程为，即；【小问2详解】解：因，所以点在直线上，将直线得方程转化为参数得标准式为（为参数），代入，得，则，所以.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，正数，满足，求的最小值． 【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）分，和三种情况求解即可，（2），再利用绝对值三角不等式求出的最大值，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值【小问1详解】当时，由，解得，此时；当时，由，解得，此时；当时，由，解得，此时．综上所述，不等式的解集为．【小问2详解】因为，所以，当时取得等号，所以．因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值为．