安徽省滁州市2021-2022学年高三文科数学下学期第二次教学质量检测试题（Word版附解析）

滁州市2022年高三第二次教学质量监测文科数学试题本试卷4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回．一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用补集和交集的定义可求得结果.【详解】由已知可得，因此，，故选：D.2.已知为虚数单位，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】直接利用复数的四则运算将所求式化简计算成代数形式即可.【详解】.故选：B.3.某品牌为了研究旗下某产品在淘宝、抖音两个平台的销售状况，统计了2021年7月到12月淘宝和抖音官方平台的月营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．下列说法错误的是（）A.抖音平台的月营业额的平均值在内B.淘宝平台的月营业额总体呈上升趋势C.抖音平台的月营业额极差比淘宝平台的月营业额极差小D.10、11、12月份的总营业额淘宝平台比抖音平台少【答案】D【解析】【分析】根据图表逐项分析计算即可【详解】对于:抖音平台的月营业额的平均值,正确.对于B:由图可知正确对于C:抖音平台的月营业额极差,淘宝平台的月营业额极差.正确对于:淘宝10、11、12月份的总营业额抖音10、11、12月份的总营业额,错误故选:D. 4.已知，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用“分段法”来求得的大小关系.【详解】，，，所以.故选：B5.已知是公差不为零的等差数列，若，则（）A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质即可获解【详解】由等差数列的性质得，所以,即故选:A6.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊值法可判断BD选项，判断C选项在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于B选项，，与题图不符；对于C选项，当时，，则，与题图不符；对于D选项，，与题图不符.排除BCD选项.故选：A7.若将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移一个单位得到函数的图象，则函数（）A.图象关于点对称B.图象关于对称C.在上单调递减D.最小正周期是【答案】C【解析】【分析】先求得变换后函数的解析式，再逐一判断对称性，单调性以及最小正周期 【详解】由题得对于A当时,所以函数的图象不关于点对称，故A错误;对于B当时，，所以函数的图象不关于直线对称，故B错误;对于C.令，解得:，取，得，所以在上单调递减因,所以在上单调递减， 故C正确对D.的最小正周期,故D错误.故选:C.8.已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】在直角三角形中利用几何关系即可获解【详解】圆即,半径因为,所以又是的中点,所以所以点的轨迹方程为故选：B9.我国古代发明了求函数近似值的内插法，当时称为招差术．如公元一世纪的《九章算术》中所说的“盈不足术” ，即相当于一次差内插法，后来经过不断完善和改进，相继发明了二次差和三次差内插法．此方法广泛应用于现代建设工程费用估算．某工程费用利用一次差内插法近似计算公式如下：，其中为计费额的区间，为对应于的收费基价，x为某区间内的插入值，为对应于x的收费基价．若计费额处于区间500万元（收费基价为16万元）与1000万元（收费基价为30万元）之间，则对应于600万元计费额的收费基价估计为（）A.16.8万元B.17.8万元C.18.8万元D.19.8万元【答案】C【解析】【分析】根据题意代入数据计算即可【详解】故选：C10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原原图，从而计算出几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为如下图的四棱锥，设分别是的中点，根据三视图的知识可知，则，所以，，，，所以几何体的表面积为.故选：A11.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设线段的中点为，连接、，利用圆的几何性质可得出，求得，利用椭圆的定义可求得，可判断出的形状，即可得解.【详解】在椭圆中，，，，设线段的中点为，连接、，则为圆的一条直径，则， 因为为的中点，则，则，所以，为等边三角形，由图可知，直线的倾斜角为.故选：C.12.已知函数，关于x的不等式的解集中有且只有一个整数，则实数a的范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】显然，，则将不等式等价转化为，在同一直角坐标系中作出直线与函数的图象，数形结合即可求出的取值范围.【详解】因为，所以不是不等式的一个解当时，则不等式有且只有一个整数解等价于只有一个整数解 即的图象在直线的上方只有一个整数解令，则当时，，单调递增当时，，单调递减作出的图象，由图象可知的取值范围为即，故选:B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，则___________．【答案】0【解析】【分析】利用向量坐标运算求得正确选项.【详解】，.故答案为：14.已知函数偶函数，当时，，且，则 _______．【答案】【解析】【分析】先算出，再利用偶函数的性质求解【详解】所以因为为偶函数，所以所以故答案为：15.已知三棱锥中，，则外接球的表面积为___________．【答案】【解析】【分析】先求出，得到和均为直角三角形，且都以为斜边，确定球心，解出半径即可求解.【详解】因为，，，所以，所以，所以，因为，，所以和均为直角三角形，且都以为斜边，所以三棱锥外接球的球心在的中点处.设外接球的半径为，所以，解得，所以外接球的表面积为：.故答案为：.16.已知数列满足：，设 ，．则__________．【答案】【解析】【分析】利用配凑法、累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案.【详解】依题意，，所以数列是首项，公比为的等比数列，所以，.，也满足，所以，，所以.故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某校体育组组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，100名喜爱冰雪运动的学生参赛，现将成绩制成如下频率分布表．学校计划对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶． 成绩分组频率0.080.260.420.180.06（1）试求众数及受奖励的分数线的估计值；（2）从受奖励的15名学生中按表中成绩分组利用分层抽样抽取5人．现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个不低于90分的概率．【答案】（1）众数为75，估计值为（2）【解析】【分析】（1）根据表格提供数据求得众数，结合百分位数的求法求得受奖励的分数线的估计值.（2）利用列举法，结合古典概型的概率计算公式计算出所求的概率.【小问1详解】众数为75，竞赛成绩在分的人数为，竞赛成绩在的人数为，故受奖励分数线在之间，设受奖励分数线为，则，解得，故受奖励分数线的估计值为．【小问2详解】由（1）知，受奖励的15人中，分数在的人数为9，分数在的人数为6，利用分层抽样，可知分数在的抽取3人，分数在的抽取2人，设分数在的2人分别为，分数在的3人分别为，所有的可能情况有，，，，，，，，，，共10种，满足条件的情况有，，，，，共6种， 故所求的概率为18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为．（1）若，求边c；（2）若，求角C．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合余弦定理、三角形的面积公式求得，进而求得，利用正弦定理求得.（2）利用三角恒等变换求得，从而求得，进而求得.【小问1详解】由余弦定理：，故，由于，，，则.由正弦定理：，得.【小问2详解】由（1）知，故，故，则，故，因为，所以，所以，解得.19.如图，已知四棱锥中，平面平面，为正三角形，四边形是等腰梯形，，Q，M分别为棱，的中点， 的面积为．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明来证得平面.（2）利用锥体体积公式求得三棱锥的体积.【小问1详解】因为，所以，所以.所以为等边三角形，所以.又因为四边形为等腰梯形，所以，，所以，且，所以四边形为菱形.则.又因为，分别为棱，的中点，所以，所以,因为为正三角形，为棱的中点，所以,又因为平面平面，且平面平面，平面,所以平面，又因平面,所以，又因为平面，平面，, 所以平面.【小问2详解】由（1）知四边形是边长为2的菱形，四边形也为菱形，所以，因为与为等边三角形且边长为2，所以所以.20.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，M为E上一点，与x轴垂直，且．（1）求抛物线E的标准方程；（2）过F点的直线交抛物线E于A，B两点，点A，B在准线上的射影分别是，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据求得，由此求得抛物线的标准方程.（2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，从而计算出.【小问1详解】由题意，，由：，解得，，所以，抛物线的标准方程：【小问2详解】设，设直线的方程为：，联立：，整理得：，满足：， 得：，得：，于是：，综上，.21.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求整数a的最大值．【答案】（1）答案见解析（2）4【解析】【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）由恒成立分离常数，通过构造函数，结合导数求得的取值范围，从而求得整数的最大值.【小问1详解】①当时，恒成立，故在上恒增；②当时，当时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增，综上所述：当时，在上恒增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】 ，由于，，，，令，，由于，则，故单调递增，，，所以存在使得，即，当时，单调递减，当时，单调递增；那么，，故，由于为整数，则的最大值为4.【点睛】求解含参数不等式恒成立问题，可考虑分离常数法，然后通过构造函数，结合导数来求得参数的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，直线l的方程为：．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：．（1）求曲线C的直角坐标方程，以及直线恒过的定点的极坐标；（2）直线l与曲线C相交于M，N两点，若，试求直线l的直角坐标方程．【答案】（1）曲线C的直角坐标方程：，直线恒过的定点的极坐标为（2）或【解析】 【分析】（1）根据极坐标和直角坐标相互转化公式求得曲线C的直角坐标方程，以及直线恒过的定点的极坐标.（2）结合直线与圆相交所得弦长、点到直线的距离公式列方程，由此求得直线的直角坐标方程.【小问1详解】曲线的极坐标方程：，得：，由，得曲线的直角坐标方程：，即，由直线：，得：，设；解得：，所以，定点的极坐标为.【小问2详解】由（1）得，曲线：，圆心，半径，由，得圆心到直线的距离.当直线的斜率不存在时，，经检验满足题意；当直线的斜率存在时，设，即：.，直线的方程为:,所以，直线的方程：或.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数．（1）求不等式的解集M；（2）记的最小值为m，正实数a，b满足：，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先写成分段函数再求解； （2）利用基本不等式证明【小问1详解】由此解得：所以不等式的解集为【小问2详解】当且仅当时,即时取等号.证毕