安徽省滁州市定远县民族中学2021-2022学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

2021-2022学年度第二学期高一期中考试数学试题第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1.已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则A.-6B.12C.6D.-12【答案】A【解析】【分析】以向量为基底，将用基底表示，结合向量数量积的运算律，即可求解.【详解】由在边上且，为的中点，，，.故选：A.【点睛】本题考查向量基本定理以及向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.2.已知，为平面向量，且，，则，夹角的余弦值等于（）A.B.－C.D.－【答案】C 【解析】【分析】先根据向量减法得，再根据向量夹角余弦值的坐标公式计算即可得答案.【详解】∵，∴．又，∴，∴．又，，∴．故选：C.3.在中，，，，则（）A.2B.C.D.1【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理即可求出的值．【详解】解：因，，，，故．故选：．【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题．4.在锐角中，角所对的边长分别为.若A.B.C.D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：考点：正弦定理解三角形5.设，则AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求得,再代入即可【详解】由题,,所以,故选:D【点睛】本题考查复数的加减法的代数运算,属于基础题6.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是　(　　)A.ABB.ADC.BCD.AC【答案】D【解析】【详解】因为A′B′与y′轴重合，B′C′与x′轴重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC为斜边，故AB<AD<AC，BC<AC. 故选D.7.已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于(　　)A.πB.πC.16πD.32π【答案】B【解析】【分析】作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，外接球的截面是圆为球的大圆是的外接圆，由图可得球的半径与圆锥的关系．【详解】如图，作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，的外接圆是球的大圆，设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π，故选B．【点睛】本题考查球的体积，关键是确定圆锥的外接球与圆锥之间的关系，即球半径与圆锥的高和底面半径之间的联系，而这个联系在其轴截面中正好体现．8.(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【答案】B【解析】【详解】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式9.已知向量，设的夹角为，则（）A.B.C.∥D.【答案】BD【解析】【分析】由已知条件求出的坐标，然后逐个分析判断即可.【详解】因为，所以，对于A，因为，所以，所以，所以A错误，对于B，因为，所以，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，所以与不共线，所以C错误，对于D，因为，的夹角为， 所以，因为，所以，所以D正确，故选：BD10.若为钝角三角形，且，，则边C的长度可以为（）A.2B.3C.D.4【答案】AD【解析】【分析】由条件，又，所以在中为钝角的可能为角或角,所以，或，解得答案.【详解】由三角形的边长能构成三角形，则有，又，所以在中为钝角的可能为角或角.则或所以或，解得：或所以选项A、D满足.故选：AD【点睛】本题考查余弦定理的应用，做题时要注意钝角这个条件，钝角可能的情况，属于中档题.11.（多选）圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】按圆的高分类讨论，求出底面半径后由体积公式计算．【详解】设圆柱底面半径为，若高是，则，，， 若高是，则，，．故选：AB．12.一个圆柱和一个圆锥底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为B.圆锥的侧面积为C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2【答案】CD【解析】【分析】依次判断每个选项：圆柱的侧面积为，A错误；圆锥的侧面积为，B错误；圆柱的侧面积为，C正确；计算体积之比为3：1：2，D正确，得到答案.【详解】依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为，∴A错误；圆锥的侧面积为，∴B错误；球面面积为，∵圆柱的侧面积为，∴C正确；，，，∴D正确.故选：CD.【点睛】本题考查了圆柱，圆锥，球的表面积，意在考查学生的计算能力.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数k的值为______． 【答案】##1.25【解析】【分析】由，结合数量积公式转化，即可求解值.【详解】因为，所以，即，又因为，是夹角为的两个单位向量，所以，所以.故答案为：14.若复数满足，则复数________________.【答案】【解析】【分析】由一定为实数,由题可知的虚部为,设,进而求解即可【详解】因为,所以的虚部为,设,则,解得,所以,故答案为:【点睛】本题考查相等复数,考查复数模的应用15.在中，，，D为BC中点，则AD最长为_________.【答案】3【解析】【分析】在和中，分别利用余弦定理，求得，再在中，利用余弦定理和基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，设，，则，在中，由余弦定理，可得， 即，①在中，由余弦定理，可得，即，②由①+②，可得，在中，由余弦定理，可得，即，解得，所以，即的最大值为.故答案：.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，以及利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟练应用余弦定理得到，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16.在中，，，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】由已知利用正弦定理可求的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理可求，，根据三角形的面积公式即可计算得解．【详解】，， 由正弦定理可得：，解得：，可得：本题正确结果：【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．三、解答题(共6小题，第17小题10分，其他小题各12分，共70分)17.在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为(Ⅰ)若，求实数的值(Ⅱ)若三点能构成三角形，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】【详解】试题分析：(Ⅰ)由，得，用坐标表示计算即可；(Ⅱ)若三点能构成三角形，则三点不共线与不平行，用坐标表示即可.试题解析：(Ⅰ)由题意有，由，得故解得(Ⅱ)若三点能构成三角形，则三点不共线. 则与不平行，故解得.18.已知复数.(1)当为何值时，复数是实数？(2)当为何值时，复数是纯虚数？【答案】(1)；(2)1.【解析】【分析】先求得,当其为实数时,虚部为0；当其为纯虚数时,实部为0,虚部不为0,进而求解即可【详解】(1)由题意,,若复数是实数,则,即.(2)由（1）,若复数是纯虚数,则,即【点睛】本题考查复数的分类,考查已知复数的类型求参数问题19.在中,a､b､c分别是角A､B､C的对边,且.(1)求角B的大小;(2)若,,求的周长.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用余弦定理及变形化简，可得角B的大小（2）利用余弦定理求解的值，即可求解的周长.【详解】(1)由余弦定理,得,, 将上式代入,整理得,,角B为的内角,..(2)将,,,代入,即,,,的周长为.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的周长，属于中档题.20.如图，D为直角△ABC斜边BC上一点，，（1）若，求角的大小；（2）若，且，求的长；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理、外角性质、三角形内角和定理即可得出； （2）设，则，，，于是，，，再利用余弦定理即可解出.【详解】（1）在中，根据正弦定理得：因为，所以，又因为，所以，所以，所以.（2）设，则，，，所以，，，在中，由余弦定理得：，即，解得：，即【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.21.已知在复平面内，为坐标原点，向量分别对应复数，且，，.(1)求实数的值；(2)求以为邻边的平行四边形的面积.【答案】(1)3；(2).【解析】【分析】 （1）,代入中,由相等复数求解即可；（2）由（1）可知,利用数量积求得的夹角,进而求解即可【详解】(1)∵,∴，解得(2)由(1)知,∴,∴,设向量的夹角为,∴,∴,∴【点睛】本题考查相等复数的应用,考查复数的几何意义,考查数量积的应用,考查运算能力22.由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活也逐步恢复正常．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上” 一样，也是中国的商机．某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，且米，．记．（1）当时，求；（2）请写出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值．【答案】（1）；（2），；当时，取得最大值.【解析】【分析】（1）在△中由正弦定理求得，即可由数量积的定义求得结果；（2）在△中由正弦定理用表示，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据三角函数的性质，即可求得取得最大值时对应的.【小问1详解】根据题意，在△中，，又，故由正弦定理可得：解得，， 故.即.【小问2详解】由题可知，在△中，，则由正弦定理，可得，故可得，故.即.当时，，此时取得最大值.