安徽省宿州市2022-2023学年高三数学下学期教学质量检测（一模）（Word版附解析）

宿州市2023届高三教学质量检测数学试题2023.2注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则的元素个数为（）A.0B.1C.2D.32.已知复数z满足，则（）A.B.C.D.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方.记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（）A.B.7阶幻方第4行第4列的数字为25C.8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260 D.9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为3965.函数的图象大致是（）A.B.C.D.6.设，若，则（）A.8B.9C.10D.117.已知A、B，C是双曲线上不同的三点，且，直线AC，BC的斜率分别为，（），若的最小值为1，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.28.已知，，，则（）A.B.C.D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知平面向量，，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则向量在上的投影向量为D.若，则向量与的夹角为锐角10.已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（） A.函数的最小正周期为B.函数图象的一条对称轴方程是C.函数在区间上单调递增D.将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象11.已知，，且，则下列不等关系成立的是（）A.B.C.D.12.棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱AD，，的中点，过点E，F，G的平面记为平面，则下列说法正确的是（）A.平面B.平面全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》C.平面截正方体外接球所得圆的面积为D.正方体的表面上与点E的距离为的点形成的曲线的长度为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数a的值为______.14.若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为_______.15.已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和______.16.已知函数（e为自然对数的底数），若在 上恒成立，则实数a的取值范围是______.四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.（本小题满分10分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）求的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为棱PC靠近点P的三等分点.（1）证明：平面PAB；（2）求DE与平面PBC所成的角的正弦值.19.（本小题满分12分）在数列中，，且.（1）令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，求.20.（本小题满分12分）宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为.（1）求n的值；（2）若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.21.（本小题满分12分）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆上异于左右顶点的动点，的周长为.（1）求椭圆C的标准方程； （2）过点M作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求的面积的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数（e为自然对数的底数），a，.（1）当时，讨论在上的单调性；（2）当时，若存在，使，求a的取值范围.宿州市2023届高三第一次质量检测数学参考答案一、选择题（单项选择）题号12345678答案CBADADAB二、选择题（多项选择）题号9101112答案ABABABCABD三、填空题13.514.（即可）15.16.四、解答题17.解：（Ⅰ）由正弦定理可得，即，由余弦定理的变形得，又，所以.（Ⅱ），由（Ⅰ）知，所以，从而， 所以，从而.即的取值范围为.18.（Ⅰ）证明：记F为棱PB靠近点P的三等分点，连接EF，AF.因为，且，又且，所以且，即四边形ADEF为平行四边形，所以，又因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB.（Ⅱ）解：在BC上取一点G，使得，所以，又，知四边形AGCD为矩形，从而，又底面ABCD，所以AG，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AG，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，从而，，，设平面PBC的法向量为，则，即，可取为平面PBC的一个法向量，则，设DE与平面PBC所成的角为，则，即DE与平面PBC所成的角的正弦值为. 19.解：（Ⅰ）由题意，又，所以，数列为以1为首项，4为公差的等差数列，所以.（Ⅱ）由已知当n为偶数时，所以.20.解：（Ⅰ）共有个机房，抽取2个机房有种方法，其中全是小机房有种方法，因此全是小机房的概率为，从而解得.（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3.，，，.则随机变量X的分布列为X0123P 则X的数学期望.21.解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c，由题意可得，解得，，所以，从而椭圆C的标准方程.（Ⅱ）设点，则以OM为直径的圆的方程为，又圆O：，两式相减得直线AB的方程为，设，，由，消去y整理后得，，，所以，又点O到直线PQ的距离，设的面积为S，则 ，其中，令，则，设，，则，所以在区间上单调递增，从而得，于是可得，即的面积的取值范围为.22.解：（Ⅰ）当时，，的定义域为，，当，即时，且不恒为0，所以在上单调递增；当时，方程有两不等正根，结合定义域由可得，由可得，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，方程有一负根和一正根， 结合定义域由可得，由可得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.综上可知：当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（Ⅱ）当时，，令，，则，即为，而在上单调递减，所以当时，.又，①当，即时，，符合题意；②当时，由（Ⅰ）知在上是增函数，恒有，故不存在，使；③当时，由于时，，所以，令，则， 所以在上是增函数，最大值为，又，所以，此时恒有，因此不存在，使.综上可知，.即a的取值范围为.另解：分离变量可得：，令，，则，易得当时，，且，从而，所以在单调递减，于是.