云南省曲靖市一中2022-2023学年高三数学下学期教学质量检测试题（四）（Word版附解析）

曲靖一中2023届高三教学质量监测卷（四）数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考试时间：120分钟；满分：150分．第I卷（选择题，共60分）一、单选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合，则（    ）A．B．C．D．2．已知复数满足，若为纯虚数，则（    ）A．B．1C．D．23．已知平行四边形中，点为的中点，，（），若，则（　　）A．1B．2C．D．4．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为，酒杯的容积为，则其内壁表面积为（    ）A．B．C．D．5．为了配合社区核酸检测，某医院共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与社区志愿服务.已知6名志愿者将会被分为2组派往2个不同的社区，且2名女志愿者不单独成组.若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为（    ）A．32B．48C．40D．566．已知函数．若对于任意实数x，都有，则的最小值为（    ）． A．2B．C．5D．87．已知，，，则（    ）A．B．C．D．8．已知三棱锥的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为，若该三棱锥的外接球O的半径为，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（    ）A．B．C．D．一、多选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．如图，在棱长为的正方体中，下列结论成立的是（    ）A．若点是平面的中心，则点到直线的距离为.B．二面角的正切值为.C．直线与平面所成的角为.D．若是平面的中心，点是平面的中心，则面.10．已知函数，则下列选项正确的有（    ）A．函数极小值为1B．函数在上单调递增C．当时，函数的最大值为D．当时，方程恰有3个不等实根11．已知为坐标原点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点，则（    ）A．的准线方程为B．若，则C．若，则的中点到轴的距离为4D． 12．已知定义R上的函数满足，又的图象关于点对称，且，则（    ）A．函数的周期为12B．C．关于点对称D．关于点对称第II卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．的展开式中的常数项为__________．14．写出一个与直线和都相切的圆的方程______.（答案不唯一）15．，若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______16．已知椭圆，圆，直线与圆相切于第一象限的点A，与椭圆C交于两点，与轴正半轴交于点．若，则直线的方程是__________．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》）17．已知数列是各项均为正整数的等比数列，且成等差数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，设数列的前项和为，求证：．18．在锐角中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．（Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若，求周长的取值范围．19．已知在四棱锥P—ABCD中，，，E为CD中点.（Ⅰ）平面PCD与平面PAE能垂直吗？请说明理由.（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥的体积.20．数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5．年份代码x12345市场规模y3.984.565.045.866.36参考数据：，，，其中．参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．（Ⅰ）由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）；（Ⅱ）已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若，求X的分布列与期望． 21．已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点.（Ⅰ）求双曲线的标准方程.（Ⅱ）若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.22．已知函数.（Ⅰ）试比较与1的大小；（Ⅱ）求证：.曲靖一中2023届高三教学质量监测卷（四）数学参考答案一、二、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DCBDBCBDABDACABDABD1．D【详解】由，可得，则；由，可得，则；所以，故选：D．2．C【详解】因为为纯虚数，所以设， 则由，得，即，所以，解得.故选：C.3．B【详解】解：依题意设，则，即，所以，故；故选：B．4．D【详解】由题意可知，酒杯是由圆柱和半球的组合体，所以酒杯内壁表面积是圆柱的侧面积与半球的表面积之和，因为球的半径为，所以半球的表面积为，半球的体积为，设圆柱体的高为，则体积为，又酒杯的容积为所以，解得：，因为球的半径为，酒杯圆柱部分高为，所以圆柱的侧面积为，所以酒杯内壁表面积为.故选：D.5．B【详解】分两种情况讨论：分为3，3的两组时，2名女志愿者不单独成组，有 种分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法；分为2，4的两组时，有种分组方法，其中有1种两名女志愿者单独成组的情况，则有14种符合条件的分组方法，再对应到两个社区参加志愿工作，有种情况，此时共有种分配方法，故共有种分配方法.故选：B.6．C【详解】函数，由可知函数图像的一个对称中心为，所以有，解得，由，当时，有最小值5.故选：C全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》7．B【详解】∵，，∴∵，，∴综上，．故选：B．8．D【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形的直角边长为，三棱锥的体积解得：的外接圆半径为球心到底面的距离为，又顶点P到底面ABC的距离为4， 顶点的轨迹是一个截面圆的圆周当球心在底面和截面圆之间时，球心到该截面圆的距离为，截面圆的半径为，顶点P的轨迹长度为；当球心在底面和截面圆同一侧时，球心到该截面圆的距离为，故不成立．综上所述，顶点P的轨迹的总长度为．故选：D．9．ABD【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，对于A，，，，，点到直线的距离，A正确；对于B，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；轴平面，平面的一个法向量， ，，，由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的正切值为，B正确；对于C，平面，平面，，又，，平面，平面，平面的一个法向量为，又，，即直线与平面所成的角为，C错误；对于D，平面的法向量，，，即，面，D正确.故选：ABD.10．AC【详解】对于AB：，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为，的极小值为，故A正确，B错误；对于C：由函数单调性知，在上单调递增，在上单调递减，在上递增，且，，故函数的最大值为，故C正确； 对于D：当时，，时，，且的极大值为，的极小值为，由上述分析可知，的图象为：由图象可得当或时，有1个实数根，当或时，有2个实数根，当时，有3个实数根，故D错误.故选：AC.11．ABD【详解】因为点在抛物线上，所以解得，所以抛物线方程为，所以准线方程为，所以A正确;由抛物线的定义得由,所以.所以B正确;设，联立整理得，由韦达定理得，所以，解得，，所以C错误;,由抛物线定义知 ，所以,当且仅当时取得等号，所以D正确.故选:ABD.12．ABD【详解】由，令，得，所以，关于直线对称.由于的图象关于点对称，所以的图象关于对称，所以是奇函数.所以，所以的周期为，A选项正确.，B选项正确.结合上述分析可知，关于点（）对称，所以关于点（）对称，所以关于点（）对称，所以关于点（）对称，令，得关于点对称，D选项正确，C选项错误.故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、-4514、（答案不唯一）15、16、13．【详解】展开式通项公式为，，，，， 所以所求常数项为，故答案为：．14．（答案不唯一）【详解】因为，所以直线和关于直线，对称，所以与直线和都相切的圆的圆心在直线或直线上（除原点外），设圆心，则半径，所以圆的方程为（答案不唯一）.故答案为：.15．【详解】因为，则，有已知条件可得：，使得，即，当，所以.故答案为：.16．     【详解】由题意可知直线有斜率，设直线的方程为：联立直线和圆的方程：，所以可知，故联立直线和椭圆的方程： 设，则设中点为,由可知：,即是的中点，在直线方程中，令由中点坐标公式可知：，，故，直线方程为故答案为四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．【详解】（Ⅰ）设数列的公比为，因为成等差数列，所以，又，所以，因为，所以所以或，又数列各项均为正整数，所以，所以．…………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，所以，所以，所以 ．所以．…………………………………………（5分）18．【详解】（1）选条件①：因为，所以，即，又因为为锐角三角形，所以，所以，所以.选条件②：因为，所以所以，又因为，所以，所以，所以，选条件③：由正弦定理可得即，又因为，所以，因为，所以.…………………………………………（6分）（2），，则即，即周长的取值范围为.…………………………………………（12分）19．（1）平面PCD与平面PAE能垂直，理由如下：如下图，连接， 在△中，故，即，所以△为等腰三角形，又E为CD中点，故，因为，且，面，所以面，由面，故面面.…………………………………………（6分）（2）由，则，由，则，又，且面，则面，而面，所以，结合，，且面，所以面，面，故，，又，即，故两两垂直，所以可构建如下图示的空间直角坐标系，则，令且，故，而，若为面的法向量，则，令，则，显然面的一个法向量为，因为直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以，，即，所以，即，又，即，故，则底面为直角梯形，故的体积为.…………………………………………（12分） 20．（1）设，则，因为，，，所以．把代入，得．即关于的回归方程为；…………………………………………（6分）（2）由题意知，，，由得，所以，的取值依次为0，1，2，3，4，，，，，，所以X的分布列为X01234P.…………………………………………（12分）21．【详解】（1）两条渐近线的夹角为，渐近线的斜率或，即或；当时，由得：，，双曲线的方程为：； 当时，方程无解；综上所述：双曲线的方程为：.…………………………………………（4分）（2）由题意得：，假设存在定点满足题意，则恒成立；方法一：①当直线斜率存在时，设，，，由得：，，，，，，整理可得：，由得：；当时，恒成立；②当直线斜率不存在时，，则，，当时，，，成立；综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.方法二：①当直线斜率为时，，则，，，，，，解得：；②当直线斜率不为时，设，，， 由得：，，，，；当，即时，成立；综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.…………………………………………（12分）22.(1)的定义域为，令，则，所以在为增函数，当时，，即，当时，，即，当时，，即，…………………………………………（5分）（2）由（1）可得：当时，，即：，将代入可得：，整理可得：，则有：， ，…，，将以上个式子两边分别相加，可得：，即证：…………………………………………（12分）