浙江省杭州师范大学附属中学2022-2023学年高二数学下学期期中考试试卷（Word版附答案）

2022-2023学年浙江省杭州师大附中高二（下）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。1.“”是“数列为等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知抛物线，则它的焦点坐标是()A.香䁥B.䁥香C.䁥香D.香䁥3.两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的䁞䁞䁞䁞方法，如香香香，则()A.B.C.D.4.香年月香日，神舟十四号字航员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们准备在天河核心舱合影留念假设人站成一排，要求神舟十四号三名航天员互不相邻，且神舟十五号三名航天员也互不相邻，则他们的不同站法共有种．()A.B.C.D.香䁥5.设函数，在上的导数存在，且ݔ，则当䁥ǡ时()A.B.ݔC.ǡǡD.ݔǡ6.若，䁥，，则实数，ǡ，的大小关系为()A.ݔݔǡ.Dݔݔǡ.Cݔǡݔ.Bǡݔݔ 7.三棱锥ܣ中，ܣ，平面ܣ平面ܣ，ܣ若三棱锥ܣ的外接球体积的取值范围是䁥，则ܣ的取值范围是()A.香䁥B.䁥C.䁥D.䁥8.过抛物线：的焦点作斜率分别为，的两条不同的直线，，且，与相交于点，ܣ，与相交于点，分别以ܣ、为直径的圆、圆䁥为圆心的公共弦记为，则点到直线的距离的最小值为()A.B.C.D.香香9.下列命题中正确的是()A.已知一组数据，，，䁥，香，，则这组数据的香这分位数是B.样本相关系数的绝对值越接近时，成对样本数据的线性相关程度越强C.已知随机变量～ܣ香䁥，则D.已知经验回归方程，则与具有负线性相关关系10.如图，在棱长为的正方体ܣܣ中，点，，分别为ܣ，ܣ，ܣܣ的中点，若点在线段上运动，则下列结论正确的为()A.与为共面直线B.平面平面C.三棱锥的体积为定值D.与平面ܣ所成角的正切值为11.已知双曲线：ݔǡ䁥香ݔ香的左、右焦点分别为，，过的直线交ǡ的右支于点，ܣ，若ܣܣܣ，则()A.ܣܣB.的渐近线方程为C.ܣD.与ܣ面积之比为： 12.已知数列的前项和为，且或的概率均为䁥䁥䁥䁥设能被整除的概率为，则()A.B.C.香D.当时，13.已知随机变量～䁥，且ݔ香，则______．14.展开式中的系数为______．15.期中考卷有䁥道单选题，小明对其中道题有思路，道题完全没思路有思路的题做对的概率是香，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为香，则小明从这䁥道题中随机抽取道做对的概率为______．16.若函数是函数的导函数，且满足香，，则不等式ݔ的解集为______17.为数列的前项和，已知ݔ香，t求的通项公式；Ⅱ设ǡ，求数列ǡ的前项和．18.已知函数．若香，求在䁥处的切线方程；若方程香有且仅有一个实数根，求实数的取值范围．19.杭师大附中三重门的樱花是师附校友心中最美的记忆每年樱花季，在樱花树下流连超香小时的称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”从调查结果中随机抽取香人进行分析，得到数据如表所示：樱花迷非樱花迷合计男香女合计香补全列联表，根据小概率值香香的独立性检验，能否认为是否为“樱花迷”与性别有关联？现从抽取的“樱花迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取人，然后从这人中随 机抽取人，记这人中男“樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望．ܽǡ附：参考公式：，其中ǡܽ．ǡܽǡܽ香香香香香香香香香香香香香䁥䁥香䁥䁥20.如图，三棱柱ܣܣ中，侧面为矩形，ܣ且ܣ，为ܣ的中点，ܣ．证明：平面ܣ；求平面ܣ与平面的夹角的余弦值．21.已知椭圆：ǡݔǡݔ香的左焦点为，上任意一点到的距离最大值和最小值之积为，离心率为．求的方程；若过点䁥香的直线交于，ܣ两点，且点关于轴的对称点落在直线ܣ上，求的值及ܣ面积的最大值．22.已知函数．讨论函数的单调性；若ݔ式等不，香，，点零的同不个两有香ݔ䁞恒成立，求实数䁞的取值范围． 答案和解析1.【答案】ܣ【解析】解：如果数列是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有，反之成立，不一定有数列是等差数列，所以“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件．故选：ܣ．根据等差数列的性质，结合充分条件与必要条件的证明即可得出答案．本题主要考查了等差数列的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．2.【答案】【解析】解：抛物线化为，，抛物线开口向上，焦点在轴正半轴，焦点为香䁥，即香䁥．故选：．将抛物线化为标准方程，确定焦点位置，即可得出答案．本题考查抛物线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．3.【答案】ܣ䁞䁞䁞【解析】解：．故选：ܣ．利用洛必达法则直接求解即可．本题主要考查极限及其运算，属于基础题．4.【答案】【解析】解：由题知，不妨先将神舟十四号三名航天员全排为：，再将神舟十五号三名航天员插入到神舟十四号三名航天员中， 因为神舟十四号三名航天员互不相邻，故先将神舟十五号三名航天员中选出两名插到神舟十四号三名航天员中间空出的两个位置上，进行排列：，最后一位神舟十五号航天员在首和尾中选一个位置站下，共，故不同站法有：种．故选：．不相邻问题进行插空，先将神舟十四号三名航天员全排，再将神舟十五号三名航天员插入，由于神舟十四号三名航天员互不相邻，神舟十四号三名航天员之间有两个空需要有人插入，故将神舟十五号三名航天员中选出两名插到神舟十四号三名航天员中间即可满足，写出式子，计算结果即可．本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】【解析】解：对于ܣ，不妨设，，则，香，满足题意，若䁥ǡ，则ݔ，故A错误排除，若香䁥ǡ，则香，故B错误排除；对于，因为，在上的导函数存在，且ݔ，令，则ݔ香，所以在上单调递增，因为䁥ǡ，即ǡ，所以ǡ，由ǡ得ǡǡ，则ǡǡ，故C正确；由得，则ݔ，故D正确．故选：．对于ܣ，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递增，从而得以判断．本题考查导数的应用，构造新函数，借助单调性比较大小是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．6.【答案】ܣ 【解析】解：由已知可得，】，ǡ】䁥，䁥由可得，ln，所以lnln．ln设ln䁥ݔ䁥ln则，ݔ，因为ݔݔln，ݔݔ故，ݔ香，所以lnݔ即香ݔ香，所以在䁥上为增函数，又，ǡ，，又ݔǡݔ以所，ݔݔ．故选：ܣ．根据指数与对数式的互化以及换底公式，可得，ǡ䁥，ln，设ln䁥ݔ，利用导数判断函数的单调性，即可得出答案．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．7.【答案】【解析】解：取ܣ的中点，连接，，因为ܣ，则ܣ，平面ܣ平面ܣ，平面ܣ平面ܣܣ，平面ܣ，所以平面ܣ，且ܣ，则为ܣ的外接圆的圆心，所以ܣ的外接球的球心在直线上，连接，设ܣ香䁥，ܣ的外接球的半径为，则，解得，则】，ܣ，，】，因为，即】， 解得，cos可得，即】，cos注意到香䁥，则䁥，所以ܣ的取值范围是䁥．故选：．根据面面垂直的性质定理可得平面ܣ，根据外接球的性质可得，结合外接球体积的取值范围可得，进而结合外接球半径的取值范围，运算求解即可求解．cos本题考查球的体积以及三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．8.【答案】【解析】解：由题意得焦点香䁥，设直线：，联立，整理得香，设䁥，ܣ䁥，则䁥，由抛物线的定义得ܣ，由题知为，ܣ的中点，则䁥，䁥，圆的标准方程为ܣ，即香，同理可得圆的方程为香，香联立，香圆与圆的公共弦所在的直线的方程为香，由题知，，则直线的方程为香，点到直线的距离为：ܽ，香当时，取得最小值，故点到直线的距离的最小值为．香故选：．根据抛物线的性质以及已知条件求出圆、圆的标准方程，然后联立求出公共弦所在的直线， 最后利用点到直线的距离公式写出表达式，利用二次函数性质求最小值，即可得出答案．本题考查抛物线的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】ܣ【解析】解：对于选项，由香这，䁥所以第个和第个数的平均数为，故A正确；选项B样本相关系数的意义可知，样本相关系数的绝对值越接近时，成对样本数据的线性相关程度越强，故选项B正确对于选项，由～ܣ香䁥，则香，故C错误；对于选项，由香，可得与具有负线性相关关系，可知D正确．故选：ܣ．选项由百分位数的定义计算即可；ܣ选项根据样本相关系数的意义判断即可；选项根据二项分布的期望公式计算；选项由回归直线的斜率正负判断线性相关关系．本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于中档题．10.【答案】ܣ 【解析】解：对于：连接，如图所示：，分别为ܣ，ܣ的中点，，在正方体ܣܣ中，，，，故A错误；对于ܣ：连接ܣ，点，分别为ܣ，ܣܣ的中点，ܣ，由选项A得，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面平面，故B正确；对于：由选项B得平面，点在线段上运动，点到平面的距离等于点到平面的距离，且为定值，又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确；对于：建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示： 则香䁥香䁥香，䁥香䁥香，ܣ䁥䁥香，䁥香䁥，香䁥䁥，香䁥䁥香，䁥䁥，䁥䁥，ܣ香䁥䁥，设平面ܣ的一个法向量为䁥䁥，香则，取，则，香，ܣ香平面ܣ的一个法向量为香䁥䁥，设与平面ܣ所成角为，cos，ݔ，】sin，，故D错误．cos故选：ܣ．根据棱柱的结构特征可得，即可判断；利用线面平行和面面平行的判定定理即可判断ܣ；由题意得点到平面的距离等于点到平面的距离，且为定值，即可判断；建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．本题考查棱柱的结构特征、直线与平面平面判定定理和面面平行判定定理，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】ܣ【解析】解：由ܣܣcosܣܣ，得cosܣ，又由ܣܣܣ，得ܣ，不妨设ܣ䁞䁥䁞，在ܣ中，由余弦定理得ܣܣܣcosܣ䁞，ܣ䁞，ܣܣ，即ܣܣ，故A正确； 在ܣ中，由双曲线定义得ܣܣ，ܣ䁞，在中，由双曲线定义得，䁞，ܣܣ䁥䁞䁞，䁞，ܣ，ܣ，在ܣ中，ܣܣ，即，ǡǡ香ǡ，，即，渐近线方程为，故B正确；ܣܣ，ܣ，则ܣ，故C正确；ܣܣܣ䁥ܣܣܣ，ܣܣ，与ܣ面积之比为：，故D错误，故选：ܣ．根据ܣܣܣ可得cosܣ，ܣ，利用余弦定理求出ܣ，即可判断，根据双曲线的定义结合ܣ的值可求出，，ܣ，ܣ，可确定，从而在直角三角形ܣ中可得，的齐次式，可求渐近线方程确定ܣ，根据直角三角形的面积公式可确定．本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】ܣ【解析】解：由题可知，被整除的余数有种情况，分别为香，，，能被整除的概率为，被整除的余数分别为，的概率为，香，，且香，为首项为，公比为的等比数列， ，即，，A错误；，B正确；香，C正确；香当，且为偶数时，ݔ，D错误．故选：ܣ．由已知可得，利用递推关系求出，逐项分析可得答案．本题考查等比数列的性质与概率的求法，是中档题．13.【答案】香【解析】解：香ݔ香．故答案为：香．由正态分布的对称性得出概率．本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．14.【答案】香【解析】【分析】本题考查了二项式定理的运用，属于基础题．关键是明确展开式得到的两种情况．分析展开式中的项的两种可能的来由，结合二项式定理求系数．【解答】解：当选择时，展开式选择的项为；当选择时，展开式选择为，香；所以展开式系数为故答案为香． 15.【答案】【解析】解：设事件表示“考生答对”，设事件ܣ表示“考生选到有思路的题”，则小胡从这䁥道题目中随机抽取道做对的概率为：ܣܣܣܣ䁥香香．䁥故答案为：．根据全概率公式求解即可．本题主要考查了全概率公式的应用，属于基础题．16.【答案】䁥【解析】解：，；可设ǡ，由香，；又，ǡǡǡ，即ǡǡ，ǡ香，香解得ǡ，，；，；又ݔ，䁥ݔ，即ݔ，解得ݔ，所求不等式的解集为䁥．故答案为：䁥．根据题意，设函数ǡ，由香得；再由，得方程组；由此求出的解析式，再解不等式ݔ即可． 本题考查了函数的导数应用问题，也考查了构造函数与转化思想的应用问题，是难题．17.【答案】解：t，，两式相减得：，，整理得：又ݔ香，，又，或舍，数列是以为首项、为公差的等差数列，；Ⅱ由t可知，ǡ，数列ǡ的前项和为：．【解析】t通过与作差可知，进而可知数列是以为首项、为公差的等差数列，计算即得结论；Ⅱ通过t可知，裂项可知ǡ，并项相加即得结论．本题考查数列的通项及前项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18.【答案】解：当香时，，，切线的斜率为，香，又在䁥处的切线方程为香，即．若方程香有且仅有一个实数根，即香有一根， 即䁥两个函数图像只有一个交点，，令ݔ，香ݔ得可，香ݔ或，在䁥和䁥上单调递增，令香，可得香，，在䁥上单调递减，的极大值为，极小值为，如图所示：由图可知当ݔ或时，，两个函数图像只有一个交点，故方程香有且仅有一个实数根，实数的取值范围为䁥䁥．【解析】对函数求导数，求出在点䁥处的斜率，最后求切线方程即可；方程香有且仅有一个实数根，等价于䁥只有一个交点，利用函数导数求出极值，再结合图像求出的取值范围即可．本题考查利用导数求函数的切线，利用导数研究函数的单调性与极值，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．19.【答案】解：列联表如下表所示：樱花迷非樱花迷合计男香女香合计香香香香香香，香香故根据小概率值香香的独立性检验，不能认为“樱花迷”与性别有关联． 由香：香：可得，抽取的人中男生为人，女生为人．则的所有可能取值为香，，，䁥䁥䁥又香．的分布列如下表：香䁥䁥香．【解析】补全列联表，计算卡方，进行独立性检验；由超几何分布概率公式计算的所有可能取值对应的概率，进而得出分布列和数学期望．本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．20.【答案】解：连接ܣ与ܣ交于点，连接，三棱柱ܣܣ为三棱柱，ܣܣ为平行四边形，点为ܣ的中点，又为ܣ的中点，则，又平面ܣ，平面ܣ，平面ܣ．ܣ，，ܣ，面ܣܣ，ܣ面ܣܣ，ܣ，ܣܣ，ܣ䁥ܣ䁥ܣܣ， ܣܣܣܣ，即ܣܣ，以为坐标原点，ܣ，ܣ，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，香䁥香䁥香，䁥䁥香，ܣ䁥香䁥香，ܣ香䁥䁥香，䁥䁥，䁥䁥，䁥䁥香䁥䁥香䁥，ܣܣ，ܣ，ܣ，ܣ面ܣ，则平面ܣ的一个法向量为䁥香䁥香，香香设平面的法向量为䁥䁥，则，即，香香令，，，䁥䁥，设平面ܣ与平面的夹角为，香香】，平面ܣ与平面的夹角的余弦值是．【解析】连接ܣ与ܣ交于点，连接，则，利用线面平行的判定定理即可证明；由已知条件得面ܣܣ，则ܣ，由ܣܣܣܣ得ܣܣ以为坐标原点，ܣ，ܣ，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由ܣ面ܣ得香平面ܣ的一个法向量为䁥香䁥香，设平面的法向量为䁥䁥，由，香求得䁥䁥，然后利用向量夹角公式求解即可．本题考查线面平行的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题． 21.【答案】解：由题意可得，香䁥香，䁥香，香香香ǡ，香香香又因为香，䁞，䁞，由已知可得，即ǡ，又，所以，则，解得，所以，所以椭圆的方程为；设䁥，ܣ䁥，又䁥香，因为ܣ，所以ܣ香，即香．设直线：䁞䁞香，䁞联立方程，得䁞䁞香，䁞䁞䁥䁞ݔ香，可得䁞，䁞由韦达定理，可得䁞，䁞，将䁞，䁞代入，可得䁞香，䁞䁞再将代入，可得，解得，䁞䁞所以直线的方程为䁞，且由可得，䁞ݔ䁞即，ݔ，由点䁥香到直线的距离ܽ，ܣ䁞䁞䁞䁞，䁞䁞䁥䁞所以ܣܣܽ䁞，䁞䁞䁞䁥䁥䁥令䁞䁥ݔ香，则ܣ，当且仅当时，即䁞，䁞等号成立，所以ܣ面积最大值为． 【解析】由已知香，根据香，可得䁞，䁞根据已知得到ǡ，，根据离心率值即可求出，的值；设䁥，ܣ䁥，由已知可得ܣ香，即香联立直线与椭圆方程，根据ݔ䁞，出求理定达韦据根䁞到得，香ݔ根据坐标表示出弦长䁥䁞ܣ以及点䁥香到直线的距离ܽ，即可得出ܣ䁞进而根据基本不等式，结合䁞的范围换元即可求出面积的最小值．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：函数，定义域为香䁥，，当香时，ݔ香恒成立，在香䁥上单调递增；当ݔ得解香，香得解香ݔ，时香ݔ，在香䁥上单调递增，在䁥上单调递减．有两个不同零点，香，香，由香，可得构造函数，ݔ香，所以为䁥上的增函数，且香香，即香有两个不等实根，香，则，令，香，由，可得，又，所以，则，，故，䁞而ݔ即，䁞ݔ为化转可，数对取边两ݔ䁞，设香，则䁞在香䁥上恒成立，，设，，ݔ香在香䁥上恒成立，在香䁥递增，香，香在香䁥上恒成立，得香在香䁥上恒成立， 䁞则在香䁥递减，所以的最小值接近极限值，设，则，䁞䁞，所以的最小值无限接近，即得䁞的取值范围为䁥䁥．【解析】通过分类讨论，利用导数求函数的单调区间；有两个不同零点，构造函数，则香有两个不等实根，令，设香，由的值域可得䁞的取值范围为䁥䁥．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．