浙江省杭州市六县九校联盟2022-2023学年高二数学下学期期中考试试卷（Word版附答案）

2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高二（下）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合ࢎ쬐ɸ쬐ࢍ灰櫌，ࢎ쬐ɸݔȁ쬐ȁ櫌，若()A.ࢎ쬐ɸ쬐ȁ櫌B.ࢎ쬐ɸ灰ȁ쬐ȁ櫌C.ࢎ쬐ɸȁ쬐ȁ櫌D.ࢎ쬐ɸݔȁ쬐ȁ櫌2.过点൏ݔ쬐：线直与且൏ݔെͶ灰平行的直线方程是()A.쬐ݕݔͶ쬐.D灰ݔݔ쬐.C灰ݔͶ쬐.B灰െͶݔ灰3.在等差数列ࢎ櫌中，若，则sin൏െͶ൏()A.B.C.灰D.4.若平面向量与的夹角为灰，൏ݔ灰൏，ɸɸ，则ɸͶɸ等于()A.B.C.െD.5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列条件可以推出൨的是()A.൨，，൨B.൨，，C.൨，，D.，൨，൨6.已知൏쬐൏是定义在上的奇函数，当쬐灰时，൏쬐൏쬐ݔ쬐，则൏쬐൏在上的表达式是()A.쬐൏쬐ݔ൏B.ɸ쬐ɸ൏쬐ݔ൏C.ɸ쬐ɸ൏쬐ݔ൏D.쬐൏ɸ쬐ɸݔ൏7.设公差不为灰的等差数列ࢎ櫌的前项和为，则有，ݔ，成等差数列类比上述性质，若公比不为的等比数列ࢎ櫌的前项积为，则有()A.，Ͷ，Ͷ，，൏൏成等比数列B.，，，，൏൏成等比数列C.，，，，൏൏成等比数列D.，ݔ，ݔ，，൏൏成等比数列 ൏쬐൏൏쬐൏8.已知函数，对쬐，쬐ݔ䁘，当쬐ࢍ쬐时，恒有쬐ࢍ쬐，则实数的取值范围为()A.൏ݔ.D൏Ͷݔ.C䁘ݔݔ൏.B䁘ݔݔͶ൏二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知函数൏쬐൏쬐的图象经过点൏ݔ൏，则()A.൏쬐൏的图象经过点൏ݔǡ൏B.൏쬐൏的图象关于轴对称C.൏쬐൏在൏灰ݔͶ൏上单调递减D.൏쬐൏在൏灰ݔͶ൏内的值域为൏灰ݔͶ൏10.在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有െ个小球，标号分别为，，，െ，乙盒中有个小球，标号分别为，，现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件“取到标号为的小球”，事件取到标号为的小球”，事件“两个小球标号都是奇数”，事件“两个小球标号之和大于ǡ”，则()A.事件与事件相互独立B.事件与事件互斥C.൏൏D.11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，以此类推设从上到下各层球数构成一个数列ࢎ櫌，则()A.െǡB.ͶݔͶC.灰െD.Ͷ12.已知函数൏쬐൏쬐൏쬐ݔ൏，若൏൏൏൏൏൏，其中ࢍࢍ，则()A.ȁȁB.ͶࢍC.ͶͶD.的取值范围为൏灰ݔെ൏第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知为虚数单位，复数ݔ，则ɸɸ______．14.若直线：쬐ݔݔͶ쬐：圆与灰Ͷݔെ灰相切，则实数． 15.在中，内角，，的对边分别为，，，且，െͶ，则݋______．쬐16.设椭圆：Ͷ൏ࢍࢍ灰൏的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且直线与쬐轴垂直，直线的斜率为ݔ，则椭圆的离心率为______．െ四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.൏本小题灰灰分൏为了加强对数学文化的学习，某校高二年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷൏满分灰灰分൏，并对整个高二年级的学生进行了测试现从这些学生的成绩中随机抽取了灰名学生的成绩൏单位：分൏，按照灰ݔ灰൏，灰ݔ灰൏，，ǡ灰ݔ灰灰䁘分成组，制成了如图所示的频率分布直方图൏假设每名学生的成绩均不低于灰分൏．൏൏求频率分布直方图中쬐的值，并估计所抽取的灰名学生成绩的平均数；൏൏若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于灰分的学生中抽取人，再从这人中任意抽取人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在ݕ灰ݔ灰灰䁘的学生恰有人被抽到的概率．18.൏本小题灰分൏已知函数൏쬐൏쬐݋쬐Ͷ݋쬐．൏൏求函数൏쬐൏的最小正周期及其单调递增区间；൏൏当쬐ݔ，时䁘ݔݔ൏쬐൏灰恒成立，求的最大值．19.൏本小题灰分൏如图，在四棱锥ݔ中，൨平面，，且，，，，൨，为的中点． ൏൏求证：平面；൏൏求直线与平面所成角的正弦值．20.൏本小题灰分൏已知等差数列ࢎ櫌的前项和为，且，，数列ࢎ櫌满足，．൏൏求数列ࢎ櫌和ࢎ櫌的通项公式；൏൏设，数列ࢎ櫌的前项和为，证明：ȁ．െ21.൏本小题灰分൏쬐已知双曲线：ݔ൏过且，为率心离的൏灰ࢍݔ灰ࢍ൏ݔ൏．൏൏求双曲线的方程；൏൏若直线쬐Ͷ与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为ݔ，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．22.൏本小题灰分൏已知函数൏쬐൏쬐Ͷ쬐Ͷ쬐，．൏൏若，求函数在൏ݔ൏处的切线方程；൏൏若存在实数쬐，쬐，使，且，求൏쬐൏ݔ൏쬐൏的取值范围． 答案和解析1.【答案】【解析】【分析】根据交集的定义直接写出即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．【解答】解：ࢎ쬐ɸ쬐ࢍ灰櫌，ࢎ쬐ɸݔȁ쬐ȁ櫌，ࢎ쬐ɸ灰ȁ쬐ȁ櫌，故选：．2.【答案】【解析】解：设过点൏ݔ쬐是程方线直的行平灰Ͷെݔ쬐：线直与且൏ݔെͶ灰൏൏，将点的坐标代入直线的方程쬐ݕ得解，灰Ͷെݔ得灰Ͷെݔ，故所求直线方程为쬐ݔെͶݕ灰，即쬐ݔͶെ灰．故选：．设所求直线方程为쬐ݔെͶ灰，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得解．本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．3.【答案】【解析】解：根据题意，在等差数列ࢎ櫌中，若，则有，则．故选：．根据题意，由等差数列的性质可得，进而可得，计算可得答案．本题考查等差数列的性质以及应用，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题． 4.【答案】【解析】解：因为平面向量与的夹角为灰，൏ݔ灰൏，ɸɸ，所以ɸɸ，ɸɸɸɸ݋݋灰，所以ɸͶɸ൏Ͷ൏ͶെͶെെͶെͶെ．故选：．先求向量的数量积，然后利用向量的模的求解方法求解即可．本题主要考查向量数量积运算，向量模的运算性质，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于，൨，，൨，则与相交或平行，不符合题意；对于，൨，，，则与有可能相交但不垂直，不符合题意；对于，൨，，则൨，又由，必有൨，符合题意；对于，，൨，൨，则，不符合题意．故选：．根据题意，由平面与平面垂直的判定定理，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查平面与平面垂直的判断，涉及直线与平面的位置关系，属于基础题．6.【答案】【解析】解：设쬐灰，则ݔ쬐൏쬐൏，时灰쬐当，灰쬐ݔ쬐，൏ݔ쬐ݔ൏쬐൏，൏쬐൏ݔ쬐Ͷ쬐൏쬐ݔ൏ݔ൏쬐ݔ൏൏쬐ݔ쬐．即当쬐灰时，൏쬐൏ݔ쬐ݔ쬐．综上可得，൏쬐൏쬐൏ɸ쬐ɸݔ൏，故选：．根据题意求得当쬐灰时，൏쬐൏的解析式，综合可得൏쬐൏在上的表达式．本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于基础题．7.【答案】 【解析】解：公差不为灰的等差数列ࢎ櫌的前项和为，可类比为公比不为的等比数列ࢎ櫌的前项的积，然后从运算的角度考虑，应该是等差数列前项的和满足：ݔݔݔݔݔݔ൏൏成等差数列，类比为：等比数列前项的积满足：ݔݔݔݔ൏൏成等比数列．故选：．利用类比推理的方法，结合等差类比等比、和类比积、差类比商等，进行判断即可．本题考查类比推理的基本思想，以及等差、等比数列的性质等，属于基础题．8.【答案】൏쬐൏൏쬐൏【解析】解：对쬐，쬐ݔ䁘，当쬐ࢍ쬐时，恒有쬐ࢍ쬐，即쬐൏쬐൏ࢍ쬐൏쬐൏恒成立．令，쬐ݔ쬐，则，䁘ݔ䁘，쬐쬐则ݔ在得可，立成恒上䁘ݔ쬐在灰쬐ݔ䁘上恒成立，쬐쬐쬐쬐ݔ쬐쬐൏쬐ݔ൏令൏쬐൏，则൏쬐൏．쬐쬐쬐当쬐൏ݔ൏쬐当，减递调单൏쬐൏，灰ȁ൏쬐൏，时൏ݔ൏时，൏쬐൏ࢍ灰，൏쬐൏单调递增．൏쬐൏൏൏．实数的取值范围为൏ݔݔ䁘．故选：．쬐构造函数൏쬐൏쬐൏쬐൏，问题转化为൏쬐൏灰在ݔ在即，立成恒上䁘ݔ䁘上恒成立，令쬐쬐൏쬐൏，利用导数求最值，即可求得实数的取值范围．쬐本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】 【解析】解：函数൏쬐൏쬐的图象经过点൏ݔ，൏൏，൏ݔ，ݔ൏쬐൏쬐，쬐显然，当쬐时，൏쬐൏，故A错误；显然，൏쬐൏不是偶函数，故它的图象不关于轴对称，故B错误．在൏灰ݔͶ൏上，൏쬐൏是减函数，故C正确；쬐在൏灰ݔͶ൏内，൏쬐൏൏灰ݔͶ൏，故D正确，쬐故选：．由题意，利用幂函数的定义和性质，先求出函数的解析式，可得结论．本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．10.【答案】【解析】解：从甲盒、乙盒中分别随机抽取一个小球的样本空间为：ࢎݔെࢎ，櫌ݔെࢎ，櫌ݔെࢎ，櫌ݔࢎ，櫌ݔࢎ，櫌ݔࢎ，櫌ݔࢎ，櫌ݔࢎ，櫌ݔࢎ，櫌ݔࢎ，櫌ݔࢎ，櫌ݔ櫌，共种，事件包含的基本事件有：ࢎݔࢎ，櫌ݔࢎ，櫌ݔ櫌，൏൏，െെ事件包含的基本事件有：ࢎݔെࢎ，櫌ݔࢎ，櫌ݔࢎ，櫌ݔ櫌，൏൏，事件包含的基本事件有：ࢎݔ櫌，൏൏，൏൏൏൏൏൏，事件与事件相互独立，故A正确；事件和事件都有ࢎݔ櫌，事件和事件不是互斥事件，故B错误；事件包含的基本事件有：ࢎݔࢎ，櫌ݔࢎ，櫌ݔࢎ，櫌ݔ櫌，，故C正确；事件包含的基本事件有：ࢎݔെࢎ，櫌ݔെࢎ，櫌ݔ櫌，，，，故D正确．故选：．列举出样本空间，根据题意和古典概型求出对应事件的概率即可．本题考查互斥事件、相互独立事件、概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11.【答案】【解析】解：对于，，െͶെ灰，故A错误；对于，ݔͶ，൏൏ݔݔͶ，故B正确；对于，ݔݔ，，ݔ，ݔ，且，൏Ͷ൏上述各式相加得，ͶͶͶͶ，൏Ͷ൏൏Ͷ൏经检验：满足，，灰，故C错误；对于，由选项C可知൏ݔ൏，故D正确．൏Ͷ൏Ͷ故选：．根据题意，可知从第二层起，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即ݔݔ൏൏，即ݔͶ൏൏，利用等差数列的性质能求出结果．本题考查三角垛、等差数列的性质、简单的归纳推理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】【解析】解：因为൏쬐൏쬐൏쬐ݔ൏，所以，令൏쬐൏灰，解得쬐或쬐，当൏쬐൏ࢍ灰时，쬐ࢍ或쬐ȁ，所以൏쬐൏单调递增区间为൏ݔݔ൏和൏ݔͶ൏；当൏쬐൏ȁ灰时，ȁ쬐ȁ，所以൏쬐൏单调递减区间为൏ݔ൏，൏쬐൏的图象如右图所示，൏൏൏൏൏൏ሻ，则灰ȁሻȁെ，灰ȁȁȁȁȁȁെ，故A错误；又൏쬐൏ݔሻ൏쬐ݔ൏൏쬐ݔ൏൏쬐ݔ൏，所以，即，对照系数得ͶͶ，故选项C正确；，故选项D正确；因为ȁȁെ，所以ȁݔ൏Ͷ൏ȁെ，解得ȁͶȁ，故选项B正确．故选：．对൏쬐൏求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再设൏൏൏൏ ൏൏ሻ，由图象可得知，，的取值范围，从而可判断；又根据൏쬐൏ݔሻ൏쬐ݔ൏൏쬐ݔ൏൏쬐ݔ൏，对照系数可得ͶͶ的值，可得得取值范围，从而可判断，；结合和即可判断．本题考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数性质的综合应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：复数ݔ，则ɸɸͶ൏ݔ൏．故答案为：．根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．本题主要考查复数模公式，属于基础题．14.【答案】或ݔ【解析】解：由圆：쬐Ͷݔ൏Ͷ쬐得，灰െݔݔ൏，圆心为൏灰ݔ൏，半径为，直线：쬐ݔͶ灰与圆相切，圆心൏灰ݔ൏到直线쬐ݔͶ灰的距离，即ɸݔɸ，或ݔ，故答案为：或ݔ．由直线：쬐ݔ쬐线直到൏ݔ灰൏心圆得可，切相，൏ݔ൏Ͷ쬐圆与灰ͶݔͶ灰的距离，可求．本题主要考查了直线与圆的位置关系：相切关系的应用，解题的关键是利用圆心到直线的距离，解答本题也可联立方程进行求解，属中档题．15.【答案】െ【解析】解：由正弦定理边角关系得：，又െͶ，所以，由余弦定理得． 故答案为：．െ根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：因为直线与쬐轴垂直，将쬐ݔ代入椭圆的方程可得Ͷ，解得，因为直线的斜率为ݔݔ൏点知易，ݔ൏，െ因为点൏ݔ灰൏，所以，所以，即Ͷݔ灰，等式ͶݔͶ得可以除时同边两灰ݔ灰，因为灰ȁȁ，解得．故答案为：．求出点的坐标，根据可得出关于、的齐次等式，可得出关于的二次方程，根据൏灰ݔ൏可求得的值．本题主要考查椭圆的性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．17【.答案】解：，这灰名学生的平均成绩为：灰Ͷ灰Ͷ灰Ͷݕ灰Ͷǡ灰െ；൏൏后三组中的人数分别为，灰，，由分层抽样可得，这三组中所抽取的人数分别为，，，所以成绩在ݕ灰ݔ灰灰䁘的学生恰有人被抽到的概率为：．【解析】൏൏利用频率之和为，列式求解쬐即可，利用平均数的计算公式求解即可；൏൏先利用分层抽样，求出后三组中所抽取的人数，然后由古典概型的概率公式求解即可．本题考查了频率分布直方图的应用，古典概型概率公式的应用，频率分布直方图中平均数的求解方法，掌握频率分布直方图中频率的求解方法，掌握频率、频数、样本容量之间的关系，考查了 逻辑推理能力和计算能力，属于基础题．18.【答案】解：൏൏൏쬐൏쬐Ͷ݋쬐൏쬐Ͷ൏，故函数൏쬐൏的最小正周期，由ݔ得ͶͶ쬐ݔ쬐Ͷ൏൏，函数൏쬐൏的单调递增区间为ݔ䁘Ͷݔݔ；，，，由ݔ൏쬐൏灰恒成立，得，即灰，故的最大值为灰．【解析】൏൏根据三角形的恒等变换得到൏쬐൏൏쬐Ͷ൏，代入正弦函数的周期和单调区间公式即可求解；൏൏根据题意得到൏쬐൏灰ݔ䁘，利用恒成立知识得到，即可求解．本题考查了三角函数的恒等变换和恒成立问题，属于中档题．19.【答案】证明：൏൏取中点为，连接，，如图所示，因为，分别是，的中点，所以且，又因为且，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；解：൏൏取中点为，以为空间直角坐标系原点，为쬐轴，为轴，为轴，建 立空间直角坐标系，如图所示，则൏灰ݔݔ൏，൏灰ݔݔݔ൏，൏灰ݔݔ灰൏，൏ݔ灰ݔ灰൏，൏灰ݔ灰ݔ灰൏，设平面的法向量为൏쬐ݔݔ൏，因为൏灰ݔ灰ݔ൏，൏ݔݔݔ灰൏，ݔͶ灰쬐灰所以，令，解得，쬐灰即൏灰ݔݔ൏，又因为，所以直线与平面所成角的正弦值为ɸcosȁ，．【解析】൏൏根据线面平行的判定即可证明线面平行．൏൏取中点为，以为空间直角坐标系原点，为쬐轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和的坐标，利用向量法即可求得直线与平面所成角的正弦值．本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求直线与平面的夹角，属于中档题．20.【答案】൏൏解：由题意，设等差数列ࢎ櫌的公差为，则，整理，得，解得， ，，对于数列ࢎ櫌：当时，，当时，由，可得，两式相减，可得，当时，െ也满足上式，Ͷ，．൏൏证明：由൏൏可得，൏Ͷ൏，则൏ݔ൏Ͷ൏ݔ൏ͶͶ൏ݔ൏Ͷ൏ݔ൏Ͷ൏ݔ൏Ͷ൏ݔ൏െെݔͶͶ൏ݔͶݔͶͶݔͶݔͶݔͶݔ൏െെݔͶͶ൏Ͷݔݔ൏ͶͶͶݔ，െ൏Ͷ൏൏Ͷ൏，--ͶͶݔ൏Ͷ൏൏Ͷ൏൏Ͷ൏൏Ͷ൏，数列ࢎ櫌是单调递增数列，当时，，当时，， ，故不等式ȁ对任意恒成立．െ【解析】൏൏先设等差数列ࢎ櫌的公差为，再根据题干已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出数列ࢎ櫌的通项公式，对于数列ࢎ櫌：先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可计算出数列ࢎ櫌的通项公式；൏൏先根据第൏൏题的结果计算出数列ࢎ櫌的通项公式，再运用裂项相消法计算出前项和的表达式，然后将前项和的表达式构造成一个数列，运用作差法分析出数列ࢎ櫌的单调性，再结合数列极限的知识与不等式的性质即可证明题干中不等式成立．本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了方程思想，整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，构造法，数列极限，不等式的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．21.【答案】解：൏൏根据题意可得，解得，，所以双曲线的方程为쬐ݔ．൏൏证明：设൏쬐ݔ쬐൏，൏ݔ൏，联立，得൏ݔ൏쬐Ͷ쬐ͶͶ灰，ݔ൏ݕͶ൏ࢍ灰，Ͷ，쬐쬐ݔ，所以 ，所以，所以直线的方程为൏쬐Ͷ൏，恒过定点൏ݔݔ灰൏．【解析】൏൏根据题意可得，解得，，即可得出答案．൏൏设൏쬐ݔ쬐൏，൏ݔ൏，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理得쬐Ͷ쬐，쬐쬐，再化简，得，即可得出答案．本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：൏൏若，则，，所以൏쬐൏在൏ݔ൏处的切线斜率为൏൏െ，又൏൏，所以函数൏쬐൏在൏ݔ쬐െ即，൏ݔ쬐൏െݔ为程方线切的处൏ݔ．൏൏因为൏쬐൏쬐Ͷ쬐Ͷ쬐，所以，因为存在实数쬐，쬐，使，且，所以存在实数쬐，쬐，使쬐ͶͶ쬐Ͷ쬐ͶͶ쬐灰，且，即，，设，ሻ记൏ሻ൏ݔͶͶሻ，ሻ，所以൏ሻ൏在൏ݔ൏上单调递减， 所以，即，所以൏쬐൏ݔ൏쬐൏取值范围是．【解析】൏൏若，则，求导得൏쬐൏，由导数的几何意义可得൏쬐൏在൏ݔ൏处的切线斜率为൏൏െ，又൏൏，由点斜式，即可得出答案．൏൏根据题意可得，由存在实数쬐，쬐，使，且，进而可得，，计算，设，记ሻ൏ሻ൏ݔͶͶሻ，求出൏ሻ൏的值域，即可得出答案．ሻ本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．