安徽师范大学附属中学2022-2023学年高二数学下学期第一次测评试卷（Word版附解析）

安徽师范大学附属中学2022～2023学年第二学期高二年级第一次测评数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知等差数列中，，公差，则等于（）．A.B.C.24D.27【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】因为等差数列中，，公差，所以，故选：A2.已知函数，函数的单调递减区间为（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求导,令求解即可.【详解】令即，解得，所以函数的单调递减区间为.故选：A3.已知某物体在平面上作变速直线运动，且位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（）．A.米/秒B.米/秒C.米/秒D. 米/秒【答案】B【解析】【分析】根据导数的概念，直接对位移关于时间的函数求导，代入即可.【详解】由题得，当时，，故瞬时速度为米/秒，故选：B.4.已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式确定正确答案.【详解】设等比数列的首项为，公比为，A选项，时，，图象符合.B选项，时，，图象符合.C选项，时，，图象符合.D选项，由图可知，都是负数，所以，但图象显示时，或为正数，矛盾，所以D选项图象不符合.故选：D 5.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数极值点的定义，结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可.【详解】由，当时，函数单调递增，在时，该函数单调递减，当时，函数有最大值，且，且函数的对称轴为，所以当时，有两个不同的极值点，等价于直线与函数有两个不同的交点，所以，故选：B6.已知图象上有且只有三点到直线的距离为，则a的值为（）．A.3B.C.D.5【答案】B【解析】【分析】先求与直线平行的直线与图象相切的切点，再利用点线距离公 式即可求解.【详解】设与直线平行的直线与图象相切于点则点处的切线的斜率为，解得.则即.所以点到直线的距离,解得或,当时，直线与曲线相离，舍去.所以当时，的图像上有且只有三个点到直线的距离为.故选：B7.已知函数，若有三个不等零点，则实数a的取值范围是（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，将零点问题转化为函数图像交点问题，画出图像，通过图像即可得到结果.【详解】因为有三个不等零点，得函数与函数有三个交点，当时，，由可得，当时，则，即函数单调递减； 当时，则，即函数单调递增；所以当时，，且当时，;当时，，由可得，当时，则，即函数单调递增；当时，则，即函数单调递减；且当时，，当时，且，当时，，画出函数的图像，如图所示，通过图像可得，当时，两函数图像有三个交点，即有三个不等零点.故选:B8.已知等差数列满足，，则（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由条件变形，构造函数，结合函数的单调性，奇偶性可求得 ，然后利用等差数列的性质及求和公式求解即可.【详解】，即，，即，构造函数，，则在上单调递增，，即是奇函数，而，，得，故，即，因为为等差数列，所以.故选：D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数，下列说法正确的是（）．A.有两个极值点B.的极小值点为C.的极小值为D.的最大值为【答案】AC【解析】【分析】求出函数的导数，再利用导数求出函数的极值判断ABC，取特值判断D作答.【详解】函数的定义域为，求导得，由得：或，由得：， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，于是函数在处取极大值，在处取极小值对于A，函数有极大值点和极小值点为，A正确；对于B，函数有极小值点，B错误；对于C，函数有极小值，C正确；对于D，显然，D错误.故选：AC10.已知数列，满足，，为的前n项和，且，，则（）．A.数列为等差数列B.C.D.或时，取得最大值【答案】AB【解析】【分析】根据等差数列定义、结合等差数列的前n项和公式、通项公式逐一判断即可.【详解】由，所以数列为等差数列，因此选项A正确；设该等差数列的公差为，因为，，所以有，，因此选项B正确，选项C不正确；因为，所以或时，取得最大值，因此选项D不正确， 故选：AB11.观察图象，下列结论错误的有（）．A.若图中为图象，则在处取极小值B.若图中为图象，则有两个极值点C.若图中为图象，则在上单调递增D.若图中为图象，则的解集为【答案】ABD【解析】【分析】选项A：若图为图象，在左右单调性一致，不是极值；选项B：若图为图象，根据导数与0的大小判断单调性，判断极值.选项C:若图为图象,根据图像的正负判断的正负，判断单调性.选项D:若图为图象,根据图像的正负判断的正负,解出的解集.【详解】选项A：若图为图象，则在两边单调性一致，不是极值，故A错误；选项B：若图为图象，函数单调递减；函数单调递增；函数单调递减；函数单调递增；故函数有-2,0,2三个极值点，选项B错误；选项C:若图为图象，则时，单调性相反，即函数单调递增；函数单调递减；函数单调递增；当单调性一致，函数单调递增；故C正确； 选项D:若图为图象，，图像正负相反，时图像正负一致，的解集为，故D错误；故答案为：ABD.12.已知函数，下列结论正确的有（）．A.是奇函数B.在上单调递增C.无极大值D.的最小值为【答案】BC【解析】【分析】对于A，判断是否互为相反数即可;对于B，根据导函数在这个区间的正负即可;对于C，根据函数的单调性判断有无极大值即可;对于D，根据函数的单调性可知，在处，取最小值，代入即可.【详解】对于A，，A错误；对于B，，当时，，且为增函数，所以在上，单调递减；在上，单调递增；且，故B正确；对于C，由单调区间可知，无极大值，C正确； 对于D，由单调区间可知，，故D错误；故选：BC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为，整理得，故答案为：14.已知数列为等比数列，且，设等差数列的前n项和为，若，则__________．【答案】【解析】【分析】根据等比数列性质可得，然后结合等差数列的前项和公式，即可得到结果.【详解】因为数列为等比数列，且，所以，解得或（舍）即，又因为数列为等差数列，则. 故答案为:.15.已知数列通项公式为，则该数列前n项和取最小值时的n为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，将数列的通项公式分离常数，然后根据的正负性，得到取最小值时的n.【详解】因为，可得，即时，；且数列单调递减当时，，所以取最小值时的值为.故答案:16.已知，若对于任意的，不等式恒成立，则a的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】根据不等式的结构特征，构造新函数，利用导数的性质判断函数的单调性，利用单调性进行求解即可.【详解】由，因为，所以， 因为，，所以，构造新函数，，因为，所以函数单调递增，所以由，即，设当时，单调递减，当时，单调递增，所以，因此有，故答案为：【点睛】关键点睛：根据不等式的结构特征构造新函数，利用导数的性质是解题的关键.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列前n项和，满足．（1）求出，；（2）求数列的通项公式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，分别令，然后代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由与的关系，即可得到结果.【小问1详解】 因为，令，可得，令，可得，解得.【小问2详解】因为，则当时，，且由（1）知，所以18.求下列函数的导数：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】按照导数运算法则和复合函数的求导法则求导即可；【小问1详解】【小问2详解】 19.已知数列通项公式为，数列通项公式为，求满足下列条件的数列的前n项和．（1）（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差和等比数列的求和公式，分组求和即可;（2）利用错位相减法即可得到.【小问1详解】且，【小问2详解】；，；两式相减,得 20.已知函数．（1）求的极值；（2）若，求在上的最大值．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据极值的定义，讨论和0的大小关系即可;（2）讨论在不同范围上，在上的单调性以及端点值的大小即可.【小问1详解】；当时，,在上单调递增，无极值；当时，,在上，，单调递减，在上，，单调递增，有极小值；综上：当时，无极值；当时，有极小值【小问2详解】由（1）知，时，在上，单调递减，在上，单调递增.所以，当时，；当时，，，若，则，Ⅰ：当时，，；Ⅱ：当时，，； 当时，；综上得：21.已知等比数列的公比为4，且，，成等差数列，又数列满足，，且数列的前n项和为．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意，恒成立，求m的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式结合等差中项运算求解，即可得结果；（2）根据（1）利用裂项相消法可得，换元，可得原题意等价于对任意，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数运算求解.【小问1详解】若，，成等差数列，则，即，解得，故.【小问2详解】当时，由（1）可得：，故 ，∵，即，令，即，可得，故原题意等价于对任意，恒成立，∵的对称轴为，注意到数列递减数列，且，故当时，取到最大值，则，故m的最小值.22.已知函数．（1）若为定义域上的增函数，求a的取值范围；（2）令，设函数，且，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由为定义域上的增函数可得恒成立，可转化为，故求的最大值即可求得答案；（2）由可得，令求得的值域，从而得到，解不等式即可. 【小问1详解】的定义域为，由为定义域上的增函数可得恒成立.则由得，令，所以当时，单调递增；当时，单调递减；故,则有解得.故a的取值范围为【小问2详解】由有有即即.令由可得当时，单调递增；当时，单调递减；则，即，解得或(负值舍去)，故. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．