吉林省长春市东北师范大学附属中学2022-2023学年高一数学下学期第四次大练习试题（Word版附解析）

2022-2023学年下学期高一年级（数学）学科大练习（四）考试时间：90分钟试卷满分：120分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.化简（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】运用向量加法、减法运算求解即可.【详解】故选：C.2.已知，是两个不共线的向量，，，且，则实数t的值为（）A.B.C.6D.2【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用共线向量定理及平面向量基本定理求解作答.【详解】，是两个不共线的向量，，，而，则存在实数，使得，即，因此，解得，所以实数t的值为.故选：A3.如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量运算的几何意义，结合条件逐项分析即得.【详解】因为四边形为平行四边形，对A，，正确；对B，，错误；对C，，正确；对D，，正确.故选：B.4.如图，在梯形ABCD中，，BC＝2AD，DE＝EC，设，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】取BC中点F，先征得四边形为平行四边形，再结合平面向量基本运算求解即可.【详解】取BC中点F，连接AF，如图所示，又因为，，所以且，所以四边形为平行四边形，所以.故选：D. 5.已知，，与的夹角为60°，则（）A.B.7C.3D.【答案】A【解析】【分析】运用平面向量数量积、模的运算公式求解即可.【详解】因为，所以.故选：A6.已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据与垂直得到（）·=0，再利用向量数量积的运算法则化简即得解.【详解】根据与垂直得到（）·=0，所以.故答案为D【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.7.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，点E在边CD上，且，则（）A.1B.2C.－1D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，运用向量数量积坐标公式计算即可.【详解】以A为原点，分别以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，设，则，，因为，所以，解得，所以，所以，，所以.故选：C.8.如图，在△ABC中，点O在边BC上，且OC＝2OB．过点O的直线分别交射线AB、射线AC于不同的两点M、N，若，，则2m＋n＝（）A.1B.2C.3D.－2【答案】C【解析】【分析】运用向量线性运算及三点共线结论即可求得结果.【详解】连接AO，如图所示， 因为，所以，又因为，，所以，又因为、、三点共线，所以，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题中正确的有（）A.平行向量就是共线向量B.相反向量就是方向相反的向量C.与同向，且，则D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件【答案】AD【解析】【分析】利用共线向量的定义可判断A选项；利用相反向量的定义可判断B选项；根据两个向量不能比较大小可判断C选项；利用向量相等的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，平行向量就是共线向量，A对；对于B选项，相反向量就是方向相反且长度相等的向量，B错；对于C选项，任何两个向量都不能比较大小，C错；对于D选项，“两个向量平行”“这两个向量相等”，另一方面，“两个向量平行”“这两个向量相等”，所以，两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，D对.故选：AD.10.对于任意的平面向量，，，下列说法错误的是（）A.若且，则B. C.若，且，则D.【答案】ACD【解析】【分析】取可判断A选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；利用平面向量垂直的数量积表示可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，若，且，则、不一定共线，A错；对于B选项，由平面向量数量积的运算性质可得，B对；对于C选项，若，且，则，所以，或，C错；对于D选项，设，，则表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以，与不一定相等，D错.故选：ACD.11.中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，、为正实数，则下列结论正确的是（）A.的最小值为B.的最大值为C.的最大值为D.的最小值为【答案】BD【解析】【分析】先证明结论：若、、三点共线，点为直线外一点，且，则，分析可得，利用基本不等式可判断各选项的正误.【详解】先证明结论：若、、三点共线，点为直线外一点，且，则.证明：因、、三点共线，可设，即，所以，，所以，. 、为正实数，，即，故，，且、、三点共线，，∴当且仅当，时取等号，，当且仅当，时取等号.故选：BD.12.直角三角形OAB中，，OA＝3，OB＝2，M为OB的中点，，且P为AM与BN的交点，设，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】运用平面向量基底表示向量，再结合平面向量数量积、模、夹角公式计算即可.【详解】如图所示，因为，M为OB的中点，所以，，，又因为，，，所以，对于A项，，故A项正确； 对于B项，因为，所以，故B项正确；对于C项，因为，，所以，故C项正确；对于D项，，故D项错误.故选：ABC.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13.若，，，则与的夹角大小为______．【答案】【解析】【分析】根据数量积的定义结合已知计算即可.【详解】解：因为，所以，又因，所以与的夹角为.故答案为：.14.已知，，向量在方向上的投影向量是（是与方向相同的单位向量），则______．【答案】12【解析】【分析】运用平面向量的投影向量及数量积公式计算即可. 【详解】由题意知，在方向上的投影向量为，所以，所以.故答案为：12.15.已知点O是△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则______．【答案】5【解析】【分析】运用向量加法法则可得，再结合三角形外心性质、平面向量数量积定义及运算求解即可.【详解】如图所示，取AB的中点E，连接OE，因为为△ABC的外心，则，所以，同理：，所以.故答案为：5.16.设，均为单位向量，对任意的实数t有恒成立，则的最小值为______．【答案】##0.5 【解析】【分析】根据已知条件求得的数量积，然后根据向量数量积的运算律，模长公式结合二次函数的性质即得.【详解】设的夹角为，因为，两边平方可得：，即对任意的恒成立，故可得：，即，则，故，因为，对，当且仅当时取得最小值，故的最小值为，故答案为：.三、解答题：本大题共4小题，每题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知是平面上两个不共线的向量且（1）若方向相反，求的值；（2）若三点共线，求的值.【答案】（1）2；（2）或【解析】【分析】（1）由得，再由向量相等可得答案；（2）由题意知，即，再由向量相等可得答案【详解】（1）由题意知，，则存在，使得，即，从而，得，或，又方向相反，则 （2）由题意知，，由三点共线得，，存，使得，即，从而，得或，所以或.18.如图，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，求【答案】（1）1（2）9【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算求，结合平面向量的基本定理求得，进而求得.（2）先求得，然后利用转化法求得.【小问1详解】因为，所以，所以，所以，故.【小问2详解】，， 为菱形，，所以，.19.已知，，.（1）求与的夹角；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由已知求出，再代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；（2）先求出与，同样代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；【小问1详解】由已知，得，因为，所以.又，所以cos，因为，所以.【小问2详解】因为，所以，因为，所以. 所以.20.如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．（1）求的取值范围；（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）由题意得，结合即可得解；（2）由，求解即可.【小问1详解】在直角三角形中，．∴，，，∵，∴．【小问2详解】 令，得或（舍）.∴存在实数，使得．