吉林省长春市东北师范大学附属中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

东北师大附中2022-2023学年下学期期中考试高二年级数学试卷注意事项：1．答题前，考生须将自己的班级、姓名、学号填写在答题卡指定的位置上．2．选择题的每小题选出答案后，涂在答题卡指定的位置上．3．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．本卷分第I（选择愿）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试用时120分钟．第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1.某运动物体的位移与时间满足，则它在时的瞬时速度等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的物理含义，对求导，即可求得答案.【详解】由可得，故，即物体在时瞬时速度等于，故选：B2.已知等差数列中，，，则为（）A.20B.30C.45D.50【答案】A【解析】【分析】根据等差中项性质即可求得答案.【详解】由题意等差数列中，有，故选：A 3.曲线在点处的切线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求导，由导数求解斜率，由点斜式即可求解.【详解】由得，所以处的切线斜率为，所以在点处的切线方程为，故选：D4.某班开展一次小组探究活动，需要从3个男生和2个女生中选取2个人作为代表发言，则不同选法的种数是（）A.6B.8C.10D.20【答案】C【解析】【分析】根据组合的含义以及组合数的计算，可得答案.【详解】由题意知从3个男生和2个女生中选取2个人作为代表发言，则不同选法的种数是,故选：C5.下列函数中，在上为增函数的是（）A.B.CD.【答案】C【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数研究函数的单调性，即可判断.【详解】对于A：，则，则在定义域上单调递减，故A错误；对于B：，则，所以当时，当时， 即函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；对于C：，则，当时，所以函数在上单调递增，故C正确；对于D：，则，当时，当时，即函数上单调递减，在上单调递增，故D错误；故选：C6.若数列的前项和为，且满足，，则（）A.61B.253C.1021D.4092【答案】B【解析】【分析】通过给出的关系式求出数列的通项公式，即可求出的值.【详解】由题意，，在数列中，前项和为，，，∴，即，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴即，∴，故选：B.7.函数的图象大致为（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】利用定义域可排除AB，用导数讨论函数在上的单调性可排除D.【详解】易知函数的定义域为，在x<0时，f（x)>0,故AB错误；当时，，所以所以函数在上单调递增，故D错误.故选：C8.函数的定义城为，，对任意，，则的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件构造函数，由的单调性可得的解集.【详解】令，则，因为，所以，所以在上单调递减.又因为，所以即的解集为.故选：D.二、多选题：本题共4小愿，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知数列的首项，且满足，下列结论中正确的是（）A.数列是等比数列B.数列是等比数列C.D.数列的前6项的和为120 【答案】BCD【解析】【分析】计算数列前三项可判断A；利用，构造等比数列，可判断B，C；结合C的结果以及等比数列前n项和公式可判断D.【详解】由题意数列的首项，且满足，则，则，故数列不是等比数列，A错误；由得，，否则与矛盾，则，则数列是等比数列，B正确；由B分析知数列是等比数列，首项为，公比为，则，C正确；数列的前6项的和为，D正确，故选：BCD10.已知等比数列的前项和为，下列选项中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】CD【解析】【分析】根据等比数列通项公式、前项和公式，对选项逐一分析，由此判断出正确选项.【详解】对于A：若，，则，故A错误；对于B：若，又，所以与同号，当，时，当时，，若，时，，所以，故B错误； 对于C：因为，，所以，故C正确；对于D：若，即，则，，当时，当时，由于，，所以，故D正确；故选：CD11.已知函数，下列结论中正确的是（）A.是奇函数B.在上单调递增C.在上单调递减D.的最大值为【答案】AB【解析】【分析】根据奇函数定义判断A选项，根据函数的导函数正负判断单调性可以判断B,C选项，再根据最值判断D选项.【详解】,是奇函数,A选项正确;,,单调递增,B选项正确;单调递减,C选项错误;,D选项错误.故选:AB.12.已知函数，下列结论中正确的是（） A.B.方程的实数根为0，，C.是的极小值点D.方程有四个实数根【答案】ABD【解析】【分析】直接化简可判断A；求导，将的实数根问题转化为的图象交点问题可判断B；利用的图象判断符号，从而可得的单调性，可判断C；根据极值和单调性作出的图象，结合图象可判断方程解得个数，判断D.【详解】因为，所以，A正确；令，即，作函数的图象如图，由图可知有3个交点，，故B正确；由图可知，或时，，所以，单调递增，当或时，，所以，单调递减，所以在处有极大值，C错误；因为， 结合单调性可得的草图如图，所以由可得或解得或，因为，所以存在，使得即存在连个解所以有四个实数根，D正确.故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．13.在的展开式中，含项的系数是________．【答案】【解析】【分析】根据题意，得到其通项公式，即可得到结果.【详解】由题意可得，其通项公式为，令，则，所以含项的系数是.故答案为:14.已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为________． 【答案】##0.125【解析】【分析】设公比,首项为，列出方程求得，即可求得答案.【详解】由题意数列为等比数列，设公比为,首项为,故，即,解得，则，故，故答案为：15.若，设表示的整数部分，表示的小数部分，如，．已知数列的各项都为正数，，且，则________．【答案】##【解析】【分析】根据，表示的含义，即可代入求解，通过规律即可归纳求解.【详解】由得，，，依次类推知，所以，故答案为：16.已知函数，对任意的，且，恒有，则实数的取值范围是_________． 【答案】【解析】【分析】不等式变形为，将问题转化为在区间上单调递增，进而转化为问题，然后参变分离转化为求函数最值问题可得.【详解】对任意的，且，恒有，等价于对任意的，且，恒有，等价于在区间上单调递增，等价于，即在区间上恒成立，记，则，易知，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，所以，即.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共56分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17.已知等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）由等差数列的性质计算即可求解公差，进而可求通项，（2）由裂项相消即可求解.【小问1详解】由，可得公差，所以【小问2详解】，所以18.已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求的极值．【答案】（1）（2）极大值，极小值【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案；（2）利用导数求得极值点，代入计算，即可求得答案.【小问1详解】由题意可得,则，，则切线方程为，即.【小问2详解】令或，当时，，当时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故在处取得极大值，在处取得极小值19.如图，已知六面体ABCDPE的面ABCD为梯形，，，，，棱平面ABCD，，，，F为PD的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）；【解析】【小问1详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则所以设平面法向量为，则，令，解得，故，又，又平面,所以平面.【小问2详解】 由(1)得设平面的法向量为，则，令，解得，故，设平面的法向量为，则，令，解得，故，所以，又二面角为钝角，故二面角的大小为.20.已知各项均为正数的数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）证明：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；（2）若，设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见详解，（2）【解析】【分析】（1）首先通过求出，再利用得到，进而证明为以为首项，以2为公比的等比数列，从而得到其通项公式． （2）通过和得到，然后利用错位相减法化简可得．【小问1详解】由题可得，当时，，当时，，整理得，即∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，∴【小问2详解】由题意可得：所以，则有由错位相减得所以21.椭圆：的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程：（2）若直线与椭圆交于异于点A的两点M，N，且，求面积的最大值．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）利用椭圆过点代入，求出，根据离心率的公式，求出，结合的关系式，从而求出椭圆的方程.（2）分类讨论直线斜率直线存在与否的情况，联立方程，利用韦达定理及向量数量积的公式，弦长公式和点到直线的距离公式，求出面积，利用求函数最值的方法，即可求出面积的最大值．【小问1详解】因为椭圆：过点，把代入椭圆方程得，所以，又因为椭圆：的离心率为，所以，则，所以椭圆的方程为.【小问2详解】设点直线的距离为，，因为，所以，因为，所以，①当直线斜率不存在时，设直线为：，代入可得，即，，，代入可得，化简得，解得或，直线：与椭圆交于异于点A，则（舍去），所以，,点直线：的距离， 所以.②当直线斜率存在时，设直线为：，联立可得，则，，；因为，即，又，所以，所以，即，解得或，当时，直线过点A（不合题意，舍去），当时，符合题意.因为；点直线：的距离； 所以；因为，即，所以，因为，令，则，所以，因为，所以，，即.综上①②面积的最大值为．【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是：一是考虑斜率存在与否，分类讨论；二是利用韦达定理结合点线距表示出面积表达式.22.已知函数．（1），恒成立，求实数的取值范围．（2）若存在两个不等正实数，，，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）分类讨论解决恒成立问题，恒成立及反例否定解题；（2）根据题意，化简变形已知，构造新函数，利用导数再应用零点存在定理求解即可.【小问1详解】，定义域为，则，当单调递增,,故恒成立.当当时，单调递增；当时，单调递减，,不合题意舍；当单调递减；,不合题意舍.所以，.【小问2详解】设，由得，则，，又，，设，则，令，则，且，由题意可知，函数在区间上有零点，函数在上有一个实根，，解得.当单调递增，，当单调递减，，应用零点存在定理综上，实数的取值范围为.