四川省绵阳市2021-2022学年高三文科数学上学期第二次诊断性考试试题（Word版附解析）

绵阳市高中2019级第二次诊断性考试文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则的元素个数为（）A.0B.1C.2D.4【答案】C【解析】【分析】先分析的含义，由此确定出所表示集合中的元素个数.【详解】因为集合表示元素为函数图象上的点，所以表示两个函数图象交点坐标，令，所以或，所以交点坐标为，所以，故选：C．【点睛】本题考查交集的求法、交集定义等基础知识、基本运算求解能力，是基础题．2.下列函数既是奇函数又是增函数的是（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件利用奇偶性定义判断排除，再利用函数单调性判断作答.【详解】指数函数，对数函数都是非奇非偶函数，即选项B，C都不正确；正弦函数是R上的奇函数，但在定义域R上不单调，选项A不正确；幂函数是R上的奇函数，且在R上单调递增，选项D正确.故选：D3.已知角的终边过点，则（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件利用三角函数定义求出，，再代入计算作答.【详解】因角的终边过点，则，因此，，，所以.故选：A4.已知双曲线（，）的焦距为4，两条渐近线互相垂直，则的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到a＝b，再根据，由即可求出答案．【详解】双曲线的渐近线方程为由两条渐近线互相垂直，则，所以又双曲线焦距为4，则，解得 所以双曲线的方程为：故选：B5.如图，茎叶图记录了甲、乙两个家庭连续9个月的月用电量（单位：度），根据茎叶图，下列说法正确的是（）A.甲家庭用电量的中位数为33B.乙家庭用电量的极差为46C.甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差D.甲家庭用电量的平均值高于乙家庭用电量的平均值【答案】C【解析】【分析】根据给定茎叶图，逐项分析计算，再判断作答.【详解】对于A，由茎叶图知，甲家庭用电量的中位数为32，A不正确；对于B，由茎叶图知，乙家庭用电量的极差56-11=45，B不正确；对于C，甲家庭用电量的平均数，乙家庭用电量的平均数，甲家庭用电量的方差，乙家庭用电量的方差，显然，即甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差，C正确；对于D，由C选项的计算知，甲家庭用电量的平均值低于乙家庭用电量的平均值， D不正确.故选：C6.过点，且与原点距离最大的直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意确定当直线垂直于点与原点的连线时，满足条件，由此求出答案.【详解】原点设为O，直线OP的斜率为，当过点的直线垂直于点与原点O的连线时，该直线与原点距离最大，此时直线方程,即，故选：B.7.已知平面向量，不共线，，，，则（）A.，，三点共线B.，，三点共线C.，，三点共线D.，，三点共线【答案】D【解析】【分析】根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.【详解】平面向量，不共线，，，，对于A，，与不共线，A不正确；对于B，因，，则与不共线，B不正确；对于C，因，，则与不共线，C不正确；对于D，，即，又线段与有公共点，则，，三点共线，D正确.故选：D 8.已知直线与圆相交于，两点，若，则（）A.B.5C.3D.4【答案】B【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距、半径和弦长的关系列方程可求出的值【详解】圆的圆心，半径为（），则圆心到直线的距离为，因为，所以，解得，故选：B9.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办，为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下列联表：关注冰雪运动不关注冰雪运动合计男451055女252045合计7030100下列说法正确的是（）参考公式：，其中．附表：0.1000.0500.0100.001 2.7063.8416.63510.828A.有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”B.有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关”【答案】A【解析】【分析】根据给定数据及参考公式计算的观测值，再与临界值表比对判断作答.【详解】依题意，的观测值为，所以有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”，A正确，B不正确；而犯错误的概率不超过1%，不能确定犯错误的概率不超过0.1%的情况，C，D不正确.故选：A10.已知是定义在R上偶函数，且在上单调递减，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性及单调性即可得出答案.【详解】解：因为是定义在R上的偶函数，所以，又，且在上单调递减，所以，即.故选：C.11.若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出，分，，，分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.【详解】，若时，当时，；当时，；则在上单调递减；在上单调递增.所以当时，取得极小值，与条件不符合,故不满足题意.当时，由可得或；由可得所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得极大值，满足条件.当时，由可得或；由可得所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得极小值，不满足条件.当时，在上恒成立，即在上单调递增.此时无极值.综上所述：满足条件故选：A12.已知，分别为椭圆的左，右焦点，上存在两点A，使得梯形的高为（其中为半焦距），且，则的离心率为（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据，可得，则为梯形的两条底边，作垂足为，则，从而可求得再结合建立a,b,c的关系即可得出答案.【详解】解：因为，所以，则为梯形的两条底边，作于点，则，因为梯形的高为，所以，在中，，则，即，设，则，在中由余弦定理，得，即，解得，同理，又，所以，即，所以.故选：D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设i是虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为______．【答案】-3【解析】【分析】根据给定等式结合复数的除法运算直接计算作答.【详解】因，则，于是得，所以复数的虚部为-3.故答案为：-314.函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先计算的值，再计算的值，可得答案.【详解】由题意可得，故，故答案为：15.已知，为抛物线上的两点，，若，则直线的方程为______．【答案】 【解析】【分析】由于可得为中点，则，根据点差法即可求得直线的斜率，从而得方程．【详解】设，又，因为，所以，又，则，得则直线的斜率为，故直线的方程为，化简为．故答案为：．16.已知函数，若关于的方程在上有三个不同的实根，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】结合函数的奇偶性，化简后画出函数在上的图象，数形结合求出实数的取值范围.【详解】当时，，故为偶函数，当时，，画出在上的图象如图所示， 要想保证方程在上有三个不同的实根，则，故答案为：三、解答题：共70分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知数列为公差大于0的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列通项公式；（2）设，数列的前项和为，若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】设数列的公差为，，根据，且，，成等比数列求出，从而可求出数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，再利用裂项相消法可求出数列的前项和为，从而可得出答案.【小问1详解】 解：设数列的公差为，，因为，，成等比数列，，所以，即，解得或（舍去），所以；【小问2详解】解：，所以，又，即，所以.18.某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号．该店对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格：配置甲乙丙丁频数25401520每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元．（1）根据以上100名消费者的购机情况，计算该商场销售一部手机的平均利润；（2）某位消费者随机购买了2部不同配置型号的该款手机，且购买的该款手机的四种型号是等可能的，求商场通过这两部手机获得的利润不低于1000元的概率．【答案】（1）475元；（2）.【解析】【分析】(1)根据给定频数表直接计算平均数作答. (2)求出两部手机中有一款甲手机的事件的概率即可作答.【小问1详解】依题意，，所以该商场销售一部手机的平均利润为475元.【小问2详解】消费者随机购买了2部不同配置型号的该款手机，且购买的该款手机的四种型号是等可能的，所有不同结果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6个结果，从这两部手机获得的利润不低于1000元的事件有：甲乙，甲丙，甲丁，共3个结果，所以商场通过这两部手机获得的利润不低于1000元的概率.19.在中，内角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，再结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用正弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【小问1详解】解：，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，故.【小问2详解】 解：由正弦定理，故，故.20.已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）递增区间是，递减区间是；（2）或.【解析】【分析】(1)把代入，求出函数的导数，解小于0或大于0的不等式作答.(2)利用函数零点的意义分离参数，构造函数，转化成直线与函数有一个公共点求解作答.【小问1详解】当时，的定义域为，求导得，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数的递增区间是，递减区间是.【小问2详解】函数的定义域为，则，令，，求导得：，由得，当时，，当时，，因此，在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，且，恒成立，函数的图象如图，函数有一个零点，当且仅当直线与函数的图象只有一个公共点，观察图象知，当或时，直线与函数的图象只有一个公共点，所以实数的取值范围是：或.【点睛】思路点睛：研究函数零点的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.21.已知椭圆的右焦点为，点A，分别为右顶点和上顶点，点为坐标原点，，的面积为，其中为的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点异于坐标轴的直线与交于，两点，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）为定值 【解析】【分析】（1）根据，面积为，求得，即可得出答案；（2）设点，则点，根据在椭圆上，可得，设直线的方程为，则直线的方程为，分别联立，求得三点的坐标，从而可得出结论.【小问1详解】解：因为，所以，又，联立可得，所以椭圆的方程为；【小问2详解】解：设点，则点，由题意得，因为在椭圆上，所以，则，所以，即，设直线的方程为，则直线的方程为， 联立消得，由在椭圆上，所以，所以，所以，联立消得，由点在圆上，所以，所以，同理：，所以，所以，即为定值.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了定值问题，考查了数据分析能力和数学运算能力，运算量比较大，有一定的难度.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的方程是．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）若点的坐标为，直线与曲线交于，两点，求的值．【答案】（1）曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为（2）【解析】【分析】（1）直接消去参数，可得到曲线的普通方程，先化简，然后利用极坐标与直角坐标的关系可得到直线的直角坐标方程；（2）由（1）可得直线的倾斜角，设出直线的参数方程，代入到曲线C的直角坐标方程，可得关于t的一元二次方程，设点A，B对应的参数分别为，根据韦达定理，可得表达式，结合t的几何意义，即可得答案.【小问1详解】由可得将上式分别平方，然后相加可得由可得即，则【小问2详解】由（1）可知直线的斜率为，则其倾斜角为，且点在直线上，所以直线的参数方程为：，即（为参数）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，整理得 设点A，B对应的参数分别为，则则23.已知函数．（1）当时，求函数的定义域；（2）设函数的定义域为，当时，，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)将代入，列出不等式，再解含绝对值符号的不等式作答.(2)利用给定条件去掉绝对值符号，转化成恒成立的不等式，分离参数构造函数推理作答.【小问1详解】当时，，依题意，，当时，不等式化为：，解得，则有，当时，不等式化为：，解得，则有；当时，不等式化为：，解得，则有，综上得：或，所以函数的定义域为.【小问2详解】因当时，，则对，成立，此时，，，则， 于是得，成立，而函数在上单调递减，当时，，从而得，解得，又，则，所以实数的取值范围是.