四川省达州市2022届高三数学文科第二次诊断性测试试题（Word版附解析）

达州市普通高中2022届第二次诊断性测试数学试题（文科）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接利用集合的交集运算求解.【详解】∵集合，所以.故选：D.2.复数z满足，则（）A.1B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】首先化简复数，再求模.【详解】，.故选：C3.在中，所对的边分别为，，则（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据已知等式，结合余弦定理求得，由此可得结果.【详解】由得：，即，，.故选：B.4.过抛物线焦点F的直线与圆相切于点P，则（）A.3B.C.4D.【答案】C【解析】【分析】由题可得，圆心为，半径为3，然后利用切线长公式即得.【详解】由题可得，圆，即，圆心为，半径为3，所以.故选：C.5.四面体的每个顶点都在球的球面上，两两垂直，且，，，则球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据几何体特征可知球即为以为长、宽、高的长方体的外接球，根据长方体外接球半径为体对角线长一半可求得球的半径，由球的表面积公式可得结果.【详解】四面体的外接球即为以为长、宽、高的长方体的外接球，球的外接球半径，球的表面积. 故选：B.6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列为假命题的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】C【解析】【分析】根据线面平行、面面平行、线面垂直的相关命题依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，存在直线，使得；又，，，A正确；对于B，，存在直线，使得，又，，，B正确；对于C，若，，则或，C错误；对于D，，，，又，，D正确.故选：C7.年发现了指数与对数的互逆关系：当，时，等价于.若，，，则的值约为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用指对互化、对数的运算法则计算即可.【详解】由得：.故选：C.8.函数的部分图象大致为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用，即得.【详解】∵函数，，∴，故排除BD；又，故排除C.故选：A.9.已知离心率为的双曲线方程为，则其焦点到渐近线的距离为（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的方程及离心率可求得的值，进而可得焦点坐标和渐近线方程，从而根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：因为双曲线的离心率为，所以 ，所以，所以焦点坐标为，渐近线方程为，即，所以焦点到渐进线的距离为，故选：B.10.已知函数满足，且在上单调递增，当时，，则m的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，可得函数图象关于点中心对称，又函数在上单调递增，可得函数在上单调递增，从而有在上恒成立，分离参数转化最值问题即可求解.【详解】解：因为函数满足，所以函数图象关于点中心对称，又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，因为时，，所以在上单调递增，所以在上恒成立，即，易知在上单调递增，所以，所以， 所以m的取值范围为，故选：A.11.已知，，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】判断a、b正负，即可判断ab正负，根据范围即可判断与关系，利用作差法即可判断关系.【详解】∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，﹒故选：D.12.设，则下列说法正确的是（）A.值域B.在上单调递增C.在上单调递减D.【答案】B【解析】 【分析】化简函数的解析式为，对A：利用三角函数的有界性即可求值域；对B、C：利用函数单调性与导数的关系即可判断；对D：利用诱导公式化简即可判断.【详解】解：，对A：令，则，即，（其中），因为，即，解得或，所以值域为，故选项A错误；对B：，当时，，所以恒成立，所以函数在上单调递增，故选项B正确；对C：，存在唯一，使，且当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故选项C错误；对D：，故选项D错误.故选：B二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数的图象经过点，则______．【答案】9【解析】 【分析】根据题意设，进而待定系数得，再求函数值即可.【详解】解：设，则，解得，所以所以．故答案为：14.函数满足：①定义域为R，②，③.请写出满足上述条件的一个函数，___________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由题可得函数为定义在R上的奇函数，且为增函数，即得.【详解】∵函数定义域为R，关于原点对称，又，即，∴函数为奇函数，又，∴函数为增函数，又函数是定义在R上的奇函数，且为增函数，故函数可为.故答案为：（答案不唯一）.15.在中，为重心，，，则___________.【答案】【解析】【分析】设中点为，由重心性质知，利用数量积定义可求得，将所求量化为，由数量积的定义和运算律可求得结果.【详解】设中点为， 为的重心且，，，，，.故答案为：.16.函数的最小值为m，则直线与曲线的交点为___________个.【答案】2【解析】【分析】利用均值不等式可得的最小值，即的值，再分情况讨论去掉绝对值，最后联立直线方程求解即可得答案.【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以函数的最小值为，所以，所以曲线，即为， ①当时，曲线，即，联立直线方程，解得交点为和；②当时，曲线，即，联立直线方程可得无交点；③当时，曲线，即不存在，所以无交点；④当时，曲线，即，联立直线方程，可得无交点；综上，直线与曲线的交点为和，故答案为：2.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.为配合创建文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为.经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了个路口的车辆违章数据，根据这个路口的违章车次的数量绘制如下的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过次的路口设为“重点关注路口”（1）根据直方图估计这个路口的违章车次的平均数；（2）现从“重点关注路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在的概率.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；（2）根据频率分布直方图可计算得到违章车次在和的路口数，采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，利用古典概型概率公式可计算得到结果.【小问1详解】根据频率分布直方图可估计平均数为：.【小问2详解】由频率分布直方图可知：违章车次在的路口有个，记为；违章车次在的路口有个，记为；从“重点关注路口”中随机抽取两个路口，则有，，，，，，，，，，，，，，，共种情况；其中有且仅有一个违章车次在的情况有，，，，，，，，共种情况；所求概率.18.已知三棱柱的棱长均为，平面，为的中点.（1）证明：平面；（2）求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）记，根据正方形性质和等腰三角形三线合一性质可分别证得、，由线面垂直判定可证得结论；（2）取中点，利用线面垂直判定可证得平面，由棱锥和棱柱体积公式可分别求得和，作差即可得到所求多面体体积.【小问1详解】记，连接，三棱柱的棱长均为，平面，四边形和为全等的两个正方形，且为中点；，，，，，，又平面，，平面.【小问2详解】取中点，连接，为等边三角形，；平面，平面，，又，， 又平面，，平面，；又，多面体的体积.19.已知数列满足，，为的前n项和.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前100项和.【答案】（1）（2）5050【解析】【分析】（1）由等差数列的定义，可得数列是首项为1，公差为2的等差数列，从而根据等差数列的通项公式即可求解；（2）由（1）知，利用并项求和法及等差数列的求和公式即可求解.【小问1详解】解：因为，所以，又，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以；【小问2详解】解：由（1）知，因为，所以 .20.已知离心率为的椭圆的右顶点为.（1）求的标准方程；（2）过点作两条相互垂直直线，.若与的另一交点为，交抛物线于，两点，求面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）基本量的计算，易求（2）以直线的斜率为参数，通过联立方程解出点坐标，由抛物线的焦点弦长表示出，代点到直线的距离公式求出高，从而表示出的面积，换元求其最值【小问1详解】依题意，又，所以则所以的标准方程为【小问2详解】显然的斜率存在，设：则：由消去，整理得所以 所以所以即设，消去，整理得所以因为恰好为抛物线的焦点所以：即点到直线的距离所以设（）则设，则记，（）则 当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减所以即所以即21.已知.（1）当时，求曲线上的斜率为的切线方程；（2）当时，恒成立，求实数的范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可利用斜率求得切点坐标，由此可得切线方程；（2）令，将问题转化为当时，恒成立；①当时，由导数可证得单调递增，由可求得范围；②当时，利用零点存在定理可说明存在，并得到单调性，知，由此可解得的范围，根据可求得范围.【小问1详解】当时，，； 令，解得：，切点坐标为，所求切线方程为：，即；【小问2详解】令，则原问题转化为：当时，恒成立，即恒成立；，，则当时，，在上单调递增，；①当，即时，，在上单调递增，，解得：，；②当，即时，，当时，；，使得，即，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，解得：，即，又，，令，则，当时，，在上单调递减，，即；综上所述：实数的取值范围为.【点睛】思路点睛：本题重点考查了导数中的恒成立问题的求解，解题基本思路是通过构造函数的方式，将问题转化为 ，从而利用对含参函数单调性的讨论来确定最小值点，根据最小值得到不等式求得参数范围.22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.（1）写出曲线C与直线l的普通方程；（2）设当时l上的点为M﹐点N在曲线C上.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求线段中点P的轨迹的极坐标方程.【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）消去参数即得；（2）由题可得，设，，进而可得点P的轨迹方程为，再利用公式即得.【小问1详解】∵曲线C的参数方程为（为参数），∴曲线C的普通方程为，∵直线l的参数方程为（t为参数）∴直线l的普通方程为；【小问2详解】由题可知，设，， 则，即所以可得点P的轨迹方程为，即，∴，令，∴点P的轨迹的极坐标方程为.23.设函数.（1）求的最小值m；（2）设正数x，y，z满足，证明：.【答案】（1）6（2）见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得函数的最小值；（2）已知条件适当转化后，然后利用柯西不等式证明.【小问1详解】,当且仅当，即时取“等号”，所以的最小值为6；【小问2详解】由（1）知，，所以，所以，， 故原不等式成立.