四川省成都市2021-2022学年高三理科数学第二次诊断性检测试题（Word版附解析）

成都市2019级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，则（）A.1+iB.1－iC.－1+iD.－1－i【答案】B【解析】【分析】利用复数运算求得正确答案.【详解】.故选：B2.设集合．若集合满足，则满足条件集合的个数为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据并集结果可列举出集合所有可能的情况，由此可得结果.【详解】，，集合所有可能的结果为：，，，，满足条件的集合共有个.故选：D.3.如图是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为的等边三角形，俯视图是直径为的圆．则该几何体的表面积为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由三视图可还原几何体为圆锥，利用圆锥表面积公式可求得结果.【详解】由三视图可知几何体是如下图所示的圆锥，其中圆锥的底面圆半径为，母线长为，几何体的表面积.故选：A.4.的展开式中的系数为（）A.B.160C.D.80【答案】A【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，令的指数为3，即可求出展开式中的系数.【详解】解：展开式的通项公式为，令时，得展开式中的系数为. 故选：A5.在区间（－2，4）内随机取一个数x，使得不等式成立的概率为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先求解指数不等式，然后结合几何概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】，，，所以不等式的解集为，所以所求概率为.故选：B6.设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据中点坐标公式可求得，利用抛物线焦点弦长公式可求得结果.【详解】设，，中点横坐标为，则，解得：；.故选：C.7.已知数列的前项和为．若，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】由可证得数列为等差数列，利用等差数列求和公式可得结果.【详解】由得：，数列是以为首项，为公差的等差数列，.故选：C.8.若曲线在点（1，2）处的切线与直线平行，则实数a的值为（）A.－4B.－3C.4D.3【答案】B【解析】【分析】利用切线的斜率列方程，化简求得的值.【详解】，所以.故选：B9.在等比数列中，已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合等比数列的通项公式、充分、必要条件的知识确定正确选项.【详解】依题意，；且；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A10.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位： ），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据对数运算法则可求得，由此可得结果.【详解】由题意得：，，，即当火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值为.故选：D.11.在四棱锥中，已知底面为矩形，底面，.若分别为的中点，经过三点的平面与侧棱相交于点.若四棱锥的顶点均在球的表面上，则球的半径为（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，设，进而根据四点共面得存在实数使得，进而得，即为棱的三等分点靠近点，再将问题转化为边长为的长方体的外接球半径即可.【详解】解：根据题意，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，所以，，， 设，则，因为经过三点的平面与侧棱相交于点，所以四点共面，所以存在实数使得，即，所以，解得，所以，即为棱的三等分点靠近点，四棱锥的顶点均在球的半径与边长为的长方体的外接球半径相同，因为边长为的长方体的外接球半径为，所以四棱锥的外接球的半径为故选：B 12.已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理边化角，可得，再次角化边可得关系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值，进而得的最大值，再求即可得答案.【详解】解：∵,∴，∴由正弦定理得：，即，，则， （当且仅当，即时取等号），的最小值为.∵，∴，∴的最大值为.故选：C.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.某区域有大型城市个，中型城市个，小型城市个．为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取个城市进行调查，则应抽取的大型城市的个数为______．【答案】【解析】【分析】确定抽样比后即可计算得到结果.【详解】，应抽取的大型城市个数为个.故答案为：.14.已知中，∠C＝90°，BC＝2，D为AC边上的动点，则______．【答案】【解析】【分析】利用向量的数量积运算求得.【详解】.故答案为： 15.定义在上的奇函数满足，且当时，.则函数的所有零点之和为___________.【答案】【解析】【分析】判断出的对称性、周期性，画出的图象，结合图象求得的所有零点之和.【详解】解：依题意，定义在R上的奇函数满足，，所以关于对称，，所以是周期为的周期函数.，所以关于点对称.由于函数关于原点对称，图象可以由图象向右平移个单位得到，所以函数关于对称，画出，的图象如下图所示， 由图可知，，有个公共点，所以的所有零点和为.故答案为：16.已知为双曲线的右焦点，经过作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为．若，则双曲线的离心率为______．【答案】【解析】【分析】设，与双曲线两渐近线联立可求得坐标，利用可构造齐次方程求得离心率.【详解】由题意可设：， 由得：，即；由得：，即；，，即，，即，，解得：，即双曲线的离心率为.故答案为：.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.某中学为研究课外阅读时长对语文成绩的影响，随机调查了50名学生某阶段每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟）及他们的语文成绩，得到如下的统计表：平均时长（单位：分钟）（0，20]（20，40]（40，60]（60，80]人数921155语文成绩优秀人数39103（1）估算该阶段这50名学生每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若从课外阅读平均时长在区间（60，80]的学生中随机选取3名进行研究，求所选3名学生中至少有2名语文成绩优秀的学生的概率． 【答案】（1）平均数为分钟（2）【解析】【分析】（1）根据平均数的求法，求得平均数.（2）利用列举法，结合古典概型的概率计算公式，计算出所求概率.【小问1详解】平均数为分钟.【小问2详解】区间（60，80]的学生有人，记为，其中为语文成绩优秀，从中任取人，基本事件有：，共种，其中至少有人语文成绩优秀的为：，共种，所以所选3名学生中至少有2名语文成绩优秀的学生的概率为.18.已知函数，其中，且．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得，根据可求得，进而得到；令，解不等式即可求得所求的单调递增区间；（2）由可求得，根据同角三角函数关系求得，根据 ，利用两角和差正弦公式可求得结果.【小问1详解】，，，解得：，又，，；令，解得：，的单调递增区间为；【小问2详解】由（1）知：，；当时，，，.19.如图，在三棱柱中，已知底面，，，，D为的中点，点F在棱上，且，E为线段上的动点. （1）证明：；（2）若直线与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由底面，结合，得到，再根据，D为的中点，得到,则平面，从而，然后由，得到，进而证明平面即可；（2）由（1）取的中点O，以O为原点，建立空间直角坐标系，设，由直线与所成角的余弦值为，求得x=2，再求得平面的一个法向量，由平面的一个法向量，然后由求解.【小问1详解】证明：在三棱柱中，底面，所以三棱柱是直三棱柱，则，因为， 所以，又因为，D为中点，所以,又，所以平面，则，易知，则，因为，三条，则，即，又，所以平面，所以；【小问2详解】由（1）取的中点O，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系：则，设，所以，，因为直线与所成角的余弦值为， 所以，解得x=2，则，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，易知是平面的一个法向量，则二面角的余弦值是.20.已知椭圆C：经过点，其右顶点为.（1）求椭圆C的方程；（2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ斜率之积为.求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，再结合，即可解出，从而得出椭圆C的方程； （2）依题可设，再将直线方程与椭圆方程联立，即可得到，然后结合，可找到的关系，从而可知直线PQ经过定点，于是△APQ面积等于，即可求出其最大值．【小问1详解】解：依题可得，，解得，所以椭圆C的方程为．【小问2详解】解：易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线不垂直于轴，故可设，，，由可得，，所以，，，而，即，化简可得，①，因为，所以，令可得，②，令可得，③，把②③代入①得，，化简得， 所以，或，所以直线或，因为直线不经过点，所以直线经过定点．设定点，所以，，因为，所以，设，所以，当且仅当即时取等号，即△APQ面积的最大值为．21.已知函数，其中.（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题知在上恒成立，进而在上恒成立，再求函数的最小值即可得答案. （2）先求得，利用换元法表示出，通过构造函数法，利用导数，结合来求得的取值范围.【小问1详解】解：因为，所以，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，故令，则在上恒成立，所以在上单调递增，故，所以，即的取值范围是.【小问2详解】解：，对函数，设上一点为，过点的切线方程为，将代入上式得，所以过的的切线方程为.所以，要使与有两个交点，则，此时有两个极值点，且.， 令，则，所以，所以，即所以，令，令，所以在上递增.因为，所以在上恒成立.所以在上恒成立.所以在上递增.，所以当时，，所以的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据题意，求函数过点的切线斜率，进而得，再结合极值点的定义得，进而换元，求出，再构造函数，研究函数的单调性得并结合得答案.22.在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，其中为常数且．（1）求直线的普通方程与曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，求的取值范围．【答案】（1）当时，直线；当时，直线；曲线；（2）.【解析】【分析】（1）分别在和两种情况下可得普通方程；根据极坐标与直角坐标互化方法可求得曲线的极坐标方程；（2）根据直线与圆相切时的值可求得与相交时的取值范围；将代入的极坐标方程，可得关于的一元二次方程，从而得到韦达定理的形式，利用的意义和三角函数值域的求解方法可求得结果.【小问1详解】当时，直线；当时，直线；由得：，曲线的极坐标方程为：；【小问2详解】当时，与圆相切；当时，若与圆相切，则，解得：， ；若与圆相交，则；将代入曲线的极坐标方程得：，设，，则为该方程的两根，，，，，，即取值范围为.23.已知函数，．（1）当时，求函数的最大值；（2）若对，关于的不等式恒成立，当时，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式可直接求得最大值；（2）利用绝对值三角不等式可得；利用基本不等式可求得，由 此可得，解不等式即可求得结果.【小问1详解】当时，（当且仅当，即时取等号），的最大值为【小问2详解】，；，，（当且仅当，即，时取等号），若恒成立，则，解得：，即的取值范围为.