四川省绵阳市2021-2022学年高三理科数学上学期第二次诊断性考试试题（Word版附解析）

绵阳市高中2019级第二次诊断性考试理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合,，则集合的元素个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】集合为点集，交集的元素个数等与函数与图象交点个数，作图可解.【详解】如图，函数与图象有两个交点，故集合有两个元素.故选：C2.二项式的展开式中，的系数为（）A.B.C.10D.15【答案】A【解析】【分析】首先求出二项式展开式的通项，再令求出，再代入计算可得；【详解】解：二项式展开式的通项为，令，解得，所以，故的系数为； 故选：A3.如图，茎叶图记录了甲、乙两个家庭连续9个月的月用电量（单位：度），根据茎叶图，下列说法正确的是（）A.甲家庭用电量的中位数为33B.乙家庭用电量的极差为46C.甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差D.甲家庭用电量的平均值高于乙家庭用电量的平均值【答案】C【解析】【分析】根据给定茎叶图，逐项分析计算，再判断作答.【详解】对于A，由茎叶图知，甲家庭用电量的中位数为32，A不正确；对于B，由茎叶图知，乙家庭用电量的极差56-11=45，B不正确；对于C，甲家庭用电量的平均数，乙家庭用电量的平均数，甲家庭用电量的方差，乙家庭用电量的方差，显然，即甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差，C正确；对于D，由C选项的计算知，甲家庭用电量的平均值低于乙家庭用电量的平均值，D不正确.故选：C 4.已知角的终边过点，则（）A.B.0C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数定义求出sinα和cosα，利用余弦的和角公式即可求.【详解】由题可知，∴.故选：B.5.已知双曲线（，）的焦距为4，两条渐近线互相垂直，则的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到a＝b，再根据，由即可求出答案．【详解】双曲线的渐近线方程为由两条渐近线互相垂直，则，所以又双曲线的焦距为4，则，解得 所以双曲线方程为：故选：B6.已知平面向量，不共线，，，，则（）A.，，三点共线B.，，三点共线C.，，三点共线D.，，三点共线【答案】D【解析】【分析】根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.【详解】平面向量，不共线，，，，对于A，，与不共线，A不正确；对于B，因，，则与不共线，B不正确；对于C，因，，则与不共线，C不正确；对于D，，即，又线段与有公共点，则，，三点共线，D正确.故选：D7.函数是定义域为的偶函数，当时，，若，则（）A.eB.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数是偶函数知f(－1)＝f(1)＝1，由此求出a的的值即可计算.【详解】由题可知f(－1)＝f(1)＝1，则，得a＝－1，∴，∴f(0)＝.故选：C. 8.已知直线与圆相交于，两点，若，则（）A.B.5C.3D.4【答案】B【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距、半径和弦长的关系列方程可求出的值【详解】圆的圆心，半径为（），则圆心到直线的距离为，因为，所以，解得，故选：B9.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办，为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下列联表：关注冰雪运动不关注冰雪运动合计男451055女252045合计7030100下列说法正确的是（）参考公式：，其中．附表：0.1000.0500.0100.001 2.7063.8416.63510.828A.有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”B.有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关”【答案】A【解析】【分析】根据给定数据及参考公式计算的观测值，再与临界值表比对判断作答.【详解】依题意，的观测值为，所以有99%以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”，A正确，B不正确；而犯错误的概率不超过1%，不能确定犯错误的概率不超过0.1%的情况，C，D不正确.故选：A10.已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依题意可得，再根据向量夹角的坐标表示得到不等式，再用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：因为平面向量与的夹角为，且，所以，即，所以，因为为整数，且，，所以共有种可能，又因为， ，所以或，①当时，由，即，所以或或或，满足题意；②当时，由，即，所以或，满足题意；故或或或或或共种情况符合题意，所以的概率为；故选：D11.已知函数，若不等式有且仅有2个整数解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】转化有且仅有2个整数解为有两个整数解，画出两个函数的图像，数形结合列出不等关系控制即得解【详解】由题意，有且仅有2个整数解即有两个整数解，即有两个整数解令（1）当时，即，有无数个整数解，不成立；（2）当时，如图所示，有无数个整数解，不成立； （3）当时，要保证有两个整数解如图所示，即，解得故选：A12.已知，分别为椭圆的左，右焦点，上存在两点A，使得梯形的高为（其中为半焦距），且，则的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据，可得，则为梯形的两条底边，作垂足为，则，从而可求得再结合建立a,b,c的关系即可得出答案.【详解】解：因为，所以，则为梯形的两条底边，作于点，则，因为梯形的高为，所以，在中，，则，即，设，则，在中由余弦定理，得，即，解得，同理，又，所以，即，所以.故选：D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设i是虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为______．【答案】-3【解析】【分析】根据给定等式结合复数的除法运算直接计算作答.【详解】因，则，于是得，所以复数的虚部为-3.故答案为：-314.现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有___________种.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】依题意分两种情况讨论，①选一名男志愿者与一名女志愿者，②选两名男志愿者，按照分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得；【详解】解：依题意分两种情况讨论，①选一名男志愿者与一名女志愿者，则有种选派方法；②选两名男志愿者，则有种选派方法；综上可得一共有种选派方法；故答案为：15.已知为抛物线上的两点，，若，则直线的方程 为_________.【答案】【解析】【分析】由于可得为中点，则，根据点差法即可求得直线的斜率，从而得方程．【详解】设又，因为，所以，又，则，得则直线的斜率为，故直线的方程为，化简为．联立，可得，直线与抛物线有两个交点，成立故答案为：．16.已知函数，下列关于函数的说法正确的序号有________.①函数在上单调递增；②是函数的周期；③函数的值域为；④函数在内有4个零点.【答案】①③④【解析】【分析】①化简解析式，求出范围，根据正弦函数的单调性即可判断； ②根据奇偶性举特例验证f(x＋2π)与f(x)关系即可；③分类讨论求出f(x)解析式，研究在x≥0时的周期性，再求出值域即可；④根据值域和单调性讨论即可.【详解】∵函数，定义域为R，，∴为偶函数.当时，，，，此时正弦函数为增函数，故①正确；∵，∴，而，∴不是函数的周期，故②错误；当或，k∈Z时，，此时，当，k∈Z时，， 此时，故时，是函数一个周期，故考虑时，函数的值域，当时，，，此时单调递增，当时，，，此时单调递减，；当时，，，此时，综上可知，，故③正确；由③知，时，，且函数单调递增，故存在一个零点，当时，，且函数单调递减，故存在一个零点，其他区域无零点，故当时，函数有2个零点，∵函数偶函数，∴函数在内有4个零点.故④正确；故答案为：①③④. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题:共60分17.已知数列为公差大于0的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】设数列的公差为，，根据，且，，成等比数列求出，从而可求出数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，再利用裂项相消法可求出数列的前项和为，从而可得出答案.【小问1详解】解：设数列的公差为，，因为，，成等比数列，，所以，即，解得或（舍去），所以；【小问2详解】解：，所以， 又，即，所以.18.某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号.该商场对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格:配置甲乙丙丁频数25401520（1）每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元，根据以上100名消费者的购机情况，求该商场销售一部该款手机的平均利润；（2）该商场某天共销售了4部该款手机，每销售一部该款手机的型号相互独立，其中甲配置型号手机售出的数量为，将样本频率视为概率，求的概率分布列及期望.【答案】（1）475（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据给定频数表直接计算平均数作答.（2）由题意，服从二项分布，即，根据二项分布的概率公式和期望公式即得解【小问1详解】依题意，，所以该商场销售一部手机的平均利润为475元.【小问2详解】该商场每销售一部手机，该手机为甲配置型号手机的概率为，由题意，甲配置型号手机售出的数量为服从二项分布，即，则所有可能取值为，，故的分布列为： 由二项分布的期望公式：.19.在中，角的对边分别为，其中，且.（1）求角的大小；（2）求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，再由正弦定理得到，即可得到，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式得到，再根据求出的取值范围，即可得解；【小问1详解】解：因为，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因为，所以；【小问2详解】解：因为、，由余弦定理，即，即当且仅当时取等号，所以，所以 ，所以，所以，所以，即三角形的周长的取值范围为20.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若曲线在上任意一点处切线的倾斜角均为钝角，求实数的取值范围.【答案】（1）在处取极小值且极小值为.（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的极值.（1）曲线在上任意一点处切线的倾斜角均为钝角即为对任意的恒成立，参变分离后可求参数的取值范围.【小问1详解】当时，，故，当时，；时，，故在处取极小值且极小值为.【小问2详解】，因为曲线在上任意一点处切线的倾斜角均为钝角，故对任意的恒成立，即对任意的恒成立.当时，，此时，当时，即对任意恒成立， 设，则，故在上为增函数，故，故即.当时，即对任意恒成立，同理有在上为增函数，故，故即，综上，有.【点睛】思路点睛：含参数的不等式的恒成立问题，可以通过对原函数的分类讨论求出参数的取值范围，也可以通过参变分离后结合导数求出新函数的值域或范围，从而得到参数的取值范围.21.已知椭圆的右焦点为，点A，分别为右顶点和上顶点，点为坐标原点，，的面积为，其中为的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点异于坐标轴的直线与交于，两点，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）为定值【解析】 【分析】（1）根据，的面积为，求得，即可得出答案；（2）设点，则点，根据在椭圆上，可得，设直线的方程为，则直线的方程为，分别联立，求得三点的坐标，从而可得出结论.【小问1详解】解：因为，所以，又，联立可得，所以椭圆的方程为；【小问2详解】解：设点，则点，由题意得，因为在椭圆上，所以，则，所以，即，设直线的方程为，则直线的方程为，联立消得， 由在椭圆上，所以，所以，所以，联立消得，由点在圆上，所以，所以，同理：，所以，所以，即为定值.【点睛】本题考查了椭圆几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了定值问题，考查了数据分析能力和数学运算能力，运算量比较大，有一定的难度.（一）选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分.[选修44:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的方程是．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若点的坐标为，直线与曲线交于，两点，求的值． 【答案】（1）曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为（2）【解析】【分析】（1）直接消去参数，可得到曲线的普通方程，先化简，然后利用极坐标与直角坐标的关系可得到直线的直角坐标方程；（2）由（1）可得直线的倾斜角，设出直线的参数方程，代入到曲线C的直角坐标方程，可得关于t的一元二次方程，设点A，B对应的参数分别为，根据韦达定理，可得表达式，结合t的几何意义，即可得答案.【小问1详解】由可得将上式分别平方，然后相加可得由可得即，则【小问2详解】由（1）可知直线的斜率为，则其倾斜角为，且点在直线上，所以直线的参数方程为：，即（为参数）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，整理得设点A，B对应的参数分别为，则 则[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数．（1）当时，求函数的定义域；（2）设函数的定义域为，当时，，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)将代入，列出不等式，再解含绝对值符号的不等式作答.(2)利用给定条件去掉绝对值符号，转化成恒成立不等式，分离参数构造函数推理作答.【小问1详解】当时，，依题意，，当时，不等式化为：，解得，则有，当时，不等式化为：，解得，则有；当时，不等式化为：，解得，则有，综上得：或，所以函数的定义域为.【小问2详解】因当时，，则对，成立，此时，，，则， 于是得，成立，而函数在上单调递减，当时，，从而得，解得，又，则，所以实数的取值范围是.