四川省凉山州2022届高三数学理科第二次诊断性检测试题（Word版附解析）

凉山州2022届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）一､选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合补集的定义即可求解.【详解】解：因为，，所以，故选：C.2.i为虚数单位，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘方和除法运算即可求解.【详解】解：，故选：B.3.的展开式中的系数是（）A.－20B.－5C.5D.20【答案】A【解析】【分析】写出二项式的通项公式，结合已知条件，即可容易求得结果. 【详解】由二项展开式的通项可得，第四项，故的系数为－20故选：A.【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式，属简单题.4.在独立性检测中，我们常用随机变量来判断“两个分类变量有关系”.越大关系越强；越小关系越弱.（附：，其中）下面有甲乙丙丁四组关于“秃顶与患心脏病的列联表”（单位：人）甲：患心脏病患其他病总计秃顶302050不秃顶50100150总计80120200乙：患心脏病患其他病总计秃顶255580不秃顶2595120总计50150200丙：患心脏病患其他病总计秃顶8565150不秃顶351550总计12080200丁： 患心脏病患其他病总计秃顶8832120不秃顶621880总计15050200最能说明秃顶与患心脏病有关的一组数据是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】A【解析】【分析】根据公式分别计算四组数据对应的值，然后比较大小即可得答案.【详解】解：由题意，，，，，因，所以，所以最能说明秃顶与患心脏病有关的一组数据是甲组，故选：A.5.已知双曲线，则下列说法正确的是（）A.离心率为2B.渐近线方程为C.焦距为D.焦点到渐近线的距离为【答案】A【解析】 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的简单几何性质即可求解.【详解】解：因为双曲线，所以，所以离心率；渐近线方程为，即；焦距为；焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为.故选：A.6.正项等比数列与正项等差数列，若，则与关系是（）A.B.C.D.以上都不正确【答案】C【解析】【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质可将已知等式化为，由此可得结果.【详解】设等差数列公差为，则，又，，均为正项数列，.故选：C7.抛物线，直线与交于（左侧为，右侧为）两点，若抛物线在点处的切线经过点，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直线与抛物线方程联立可求得点坐标，利用导数可求得抛物线在点处的切线斜 率，由切线斜率可构造方程求得.【详解】联立，解得：或，，由抛物线方程得：，，，，解得：.故选：D.8.将函数的图象沿水平方向平移个单位后得到的图象关于直线对称（向左移动，向右移动），当最小时，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据图像的平移公式先求出平移后的解析式，再根据平移后的图像关于直线对称，结合正弦函数的图像性质可得答案.【详解】将函数的图象沿水平方向平移个单位后得到即由题意的图像关于直线对称.所以，即 当时，，此时最小故选：C9.如图所示，在空间直角坐标系中，三棱锥各个顶点的坐标分别为，，，，则该三棱锥侧视图的面积为（）A.9B.8C.7D.6【答案】A【解析】【分析】由题意，画出三棱锥的侧视图，利用割补法即可求解侧视图的面积.【详解】解：由题意，该三棱锥侧视图为如图所示的四边形及对角线（实线）和（虚线），过作垂直于轴，过作垂直于轴，所以侧视图的面积为，故选：A.10.定义在上的奇函数，满足，当时，，则 的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知关系式可推导得到关于对称且周期为，作出图象，结合图象可得结果.【详解】由知：关于对称；又为奇函数，，则，即是以为周期的周期函数；由此可得图象如下图所示，当时，的解集为，又周期为，的解集为.故选：C.11.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为 ，则下列结论正确的是（）（参考数据：，）①②③2020年小王的年利润约为40000元④两年后，小王手中现款约达41万A.②③④B.②④C.①②④D.②③【答案】A【解析】【分析】由题可知，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为之间的递推关系为，，进而根据递推关系求出通项公式即可得答案.【详解】对于①选项，元，故①错误对于②选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故②正确；对于③选项，由得所以数列是首项为公比为1.2的等比数列，所以，即所以2020年小王的年利润为元，故③正确；对于④选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故④正确.故选：A.12.已知，，，则（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】由，可得，构造函数，利用函数的导数与单调性的关系，可得在上单调递增，进而可得，，从而即可得答案.【详解】解：因为，所以；令，，所以在上单调递增，因为，所以，即，所以，所以；同理，所以，即，也即，所以，所以.综上，，故选：D.二､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.平面区域，则的面积为___________.【答案】【解析】【分析】作出不等式组约束的平面区域，进而求解即可.【详解】解：如图，作出不等式组约束的平面区域（阴影部分）， 所以联立方程得，易得，所以的面积为故答案为：14.函数的极大值点为___________.【答案】【解析】【分析】利用导数可求得的单调性，根据单调性可得极大值点.【详解】由题意知：定义域为，，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，是的极大值点.故答案为：.15.甲､乙､丙三人去图书馆借书，他们每人借的不是杂志就是小说（每人只能借其中一种）. （1）如果甲借的是杂志，那么乙借的就是小说.（2）甲或丙借的是杂志，但是不会两人都借杂志.（3）乙和丙不会两人都借小说.则同时满足上述三个条件的不同借书方案有___________种.【答案】【解析】【分析】采用假设法和排除法，分别假设甲借的是杂志和小说，根据条件依次判断即可.【详解】①假设甲借的是杂志，由（1）知：乙借的是小说；由（2）知：丙借的是小说；与（3）的结论矛盾，不合题意；②假设甲借的是小说，由（2）知：丙借的是杂志；则乙可借杂志，也可借小说，共种方案；综上所述：满足上述三个条件的不同借书方案有种.故答案为：.16.在中，，.则的取值范围为___________.（结果用区间表示）【答案】【解析】【分析】利用正弦定理角化边和三角形三边关系可知的范围，利用余弦定理表示出，将所求数量积化为关于的函数的形式，利用二次函数值域求解方法得到结果.【详解】，则由正弦定理可得：，令，则又，，即；，，，，即的取值范围为. 故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的向量数量积问题，解题关键是能够将所求数量积表示为关于某一变量的函数的形式，利用函数值域的求解方法求得取值范围.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.中，角的对边分别是，.（1）求角；（2）若为边的中点，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，整理后可求得，由此可得；（2）由，利用余弦定理可得，结合（1）中，可得，利用基本不等式可求得最大值.【小问1详解】由正弦定理可得：，，，，；【小问2详解】由（1）知：，即； 在中，由余弦定理得：；在中，由余弦定理得：；，，，整理可得：；，即，（当且仅当时取等号），，即的最大值为.18.四川省凉山州各种特产､小吃尤其丰富，凉山州会理市羊肉粉早在清代中叶就名扬遐迩.凡来会理市品尝过会理市羊肉粉的人，无不交口称赞.尤其在冬季，吃一碗滚烫的羊肉粉，浑身暖和.羊肉粉的主要原料是羊肉和米粉.制作有特殊的讲究，要选择山坡放养，体重在八九十斤左右的黑山羊宰杀，将羊头､羊腿､羊蹄､羊油､羊下水全部放进能装一､两百斤的大铁锅，掺上几里路运来优质山泉水，加上老姜､花椒､胡椒､白扣，等佐料，先要猛火烧开，用漏瓢捞出汤上面的泡沫，再用中火慢慢炖，时间达六､七个小时熬制呈乳白色米汤一样的原汤；羊肉粉的米线，是用会理农村本地产的稻谷蹍大米制作出来，韧性好，饭粒不生硬，入口柔和，口味有大米的天然芳香；米粉要经过特殊处理：将水烧开，放入米粉，烧开捞起，放入冷水里（不停换水，直至冷却）.会理市某羊肉粉店每天早晨处理好当天的米粉，以元/碗的价格售出，每碗获利元，当天卖不出的米粉则每碗亏损元.该店记录了天的日需求量（单位：碗），整理如下表：日需求量频数（1）以样本估计总体，求该店米粉日需求量不少于碗的概率；（2）以天记录的日需求量的频率为概率，该店每天准备碗米粉，记该店连续天获得 的利润和为（单位：元），求的分布列.【答案】（1）；（2）分布列见解析.【解析】【分析】（1）利用频率频数总数即可得到结果；（2）分别求得日需求量不低于碗和碗时的日利润和对应概率，由此可确定所有可能取值和对应的概率，由此可得分布列.【小问1详解】由表格数据可知：天中该店米粉日需求量不少于碗的天数为天，所求概率；【小问2详解】当日需求量不低于碗时，日利润为元，对应概率为；当日需求量为碗时，日利润为元，对应概率为；则所有可能的取值为，，，，；；；；的分布列为：19.如图，在棱长为的正方体中，分别是所在棱的中点.设平面与平面相交于直线. （1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用平行四边形和三角形中位线性质可证得；延长至点且，取中点，利用三角形中位线性质可知，可知即交线，由此可得结论；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】连接，分别为中点，四边形为平行四边形，，分别为中点，，，延长至点且，连接，取中点，连接， 分别为中点，，，四边形为平行四边形，四点共面，又四点共面，平面平面，即直线即为直线，；【小问2详解】以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设平面的法向量， ，令，解得：，，；设平面的法向量，，令，解得：，，；，由图形可知：二面角即二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.20.如图，为椭圆上的三点，为椭圆的上顶点，与关于轴对称，椭圆的左焦点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点且与轴不重合的直线交椭圆于两点，为椭圆的右顶点，连接分别交直线于两点.试判断的交点是否为定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线与交点为定点.【解析】【分析】（1）由对称性和椭圆定义可求得，结合焦点坐标即可求得椭圆方程； （2）当直线斜率不存在时，可求得直线与交点为；假设当斜率存在时，直线与交点为，可利用，表示出，从而得到；将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理验证知等式成立，从而假设成立.小问1详解】与关于轴对称，，，解得：；椭圆的左焦点，，，椭圆的标准方程为：；【小问2详解】由（1）知：，，不妨设在轴上方；当直线斜率不存在时，，，直线，直线，，，，，直线，即；直线：，即，由得：，直线与交点为；若直线与交点为定点，则该定点必为；假设当直线斜率存在时，直线与交点为，设，， 直线：；直线：；令，则，，，，，，整理可得：，两式作和得：；，，设，由得：，，此时，满足题意；综上所述：直线与交点为定点.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，本题解题基本思路是在直接求解交点坐标非常困难的情况下，利用斜率不存在的情况首先确定所过定点坐标，进而验证在斜率存在时，两直线交点依然为该定点即可.21.设函数.（1）求的单调区间；（2），为的导函数，当时，，求整数的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求导后，分别在和两种情况下讨论单调性即可； （2）将不等式转化为，利用导数可求得在上单调递减，在上单调递增，其中，由此可求得，由的范围可求得结果.【小问1详解】由题意知：定义域为，；当时，，在上单调递增；当时，若，；若时，；在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】当时，，；由得：，即；令，则；令，则，在上单调递增，又，，，使得，此时，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增， ，，即，又，，整数的最大值为.【点睛】思路点睛：本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的基本思路是采用参变分离的方式，将问题转化为变量与函数最值的大小关系问题，从而利用导数求得函数的最值，进而得到变量的取值范围.22.平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的动点到曲线距离的取值范围.【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）利用参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标互化原则直接化简可得结果；（2）设曲线上的动点，利用点到直线距离公式表示出所求距离，结合正弦型三角函数值域的求解方法求得结果.【小问1详解】由（为参数）得：，；即曲线的普通方程为：； 由得：，，即曲线的直角坐标方程为：；【小问2详解】设曲线上的动点，则到直线的距离，，，，，，即曲线上的动点到曲线距离的取值范围为.23.已知函数.（1）解不等式的解集；（2）已知对任意恒成立，求实数m取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由绝对值的定义分段打开绝对值进行讨论，得到答案.（2）先求出的最小值，根据题意可得，从而得出答案.【小问1详解】当时，即，解得，故此时 当时，即，解得，故此时无解当时，即，解得，故此时综上所述不等式的解集为或【小问2详解】当时，，此时当时，有最小值3，当时，，此时当时，有最小值1，当时，，此时当时，有最小值1，综上所述，的最小值为1对任意恒成立，则，解得所以实数m的取值范围是