四川省凉山州2023届高三数学（理）第一次诊断性检测试题（Word版附解析）

凉山州2023届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后，将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知复数满足，是的共轭复数，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化简等式得到，计算得到共轭复数，即可得到的值.【详解】解：由题意在中，∴∴故选：B.2.从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学的数学成绩，所得数据用茎叶图表示如下．由此可估计甲，乙两班同学的数学成绩情况，则下列结论正确的是（） A.甲班数学成绩的中位数比乙班大B.甲班数学成绩的平均值比乙班小C.甲乙两班数学成绩的极差相等D.甲班数学成绩的方差比乙班大【答案】A【解析】【分析】A选项，根据中位数的定义计算出甲乙两班的中位数，比较大小；B选项，根据平均数的定义计算出甲乙两班的平均数，比较出大小；C选项，根据极差的定义计算出甲乙两班的极差，两者不相等；D选项，由茎叶图分析可得到甲班数学成绩更集中在平均数的周围，故方差小.【详解】甲班的数学成绩中位数为，乙班的数学成绩中位数为，甲班数学成绩的中位数比乙班大，A正确；甲班的数学成绩的平均数为，乙班的数学成绩的平均数为，故甲班数学成绩的平均值比乙班大，B错误；甲班的数学成绩的极差为，乙班的数学成绩的极差为，故甲乙两班数学成绩的极差不相等，C错误；从茎叶图中可以看出甲班的成绩更加的集中在平均数71.4的附近，而乙班的成绩更分散，没有集中到平均数70.6的附近，故甲班数学成绩的方差比乙班小，D错误.故选：A3.设集合，，则子集个数为（）A.2B.4C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】首先根据对数的运算性质化简集合，从而得到，再求子集个数即可.【详解】，，所以，的子集个数为.故选：C4.设，向量，，且，则（）A.1B.C.D.2【答案】D【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示求，再由向量减法的坐标表示和模的坐标表示求.【详解】因为，，且，所以，所以，则，可得．故选：D．5.已知为抛物线焦点，过作垂直轴的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆交轴于，两点，若，则的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知圆是以焦点为圆心，为半径的圆，根据弦长公式即得.【详解】由题可知，由，可得，所以，所以以为直径的圆的半径是，圆心为， 所以，，解得，所以抛物线方程.故选：B.6.一元二次方程的两根满足，这个结论我们可以推广到一元三次方程中．设为函数的三个零点，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设（且）的三个实根分别为，依题意可得，再根据整式的乘法展开，再根据系数相等即可判断.【详解】设（且）的三个实根分别为，所以，所以，所以，所以，，，即，，，所以，所以函数中，， ，，故选：D7.我国古代数学家刘徽在其撰写的《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，今前表与后表三相直．从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合．从后表却行一百二十七步，亦与表末三合．问岛高及去表各几何．这一方法领先印度500多年，领先欧洲1300多年．其大意为：测量望海岛的高度及海岛离海岸的距离，在海岸边立两等高标杆，（，，共面，均垂直于地面），使目测点与，共线，目测点与，共线，测出，，，即可求出岛高和的距离（如图）．若，，，，则海岛的高（）A.18B.16C.12D.21【答案】A【解析】【分析】由题可得，，结合条件即得.【详解】由题可知，，所以，，又，，，，所以，，解得，.故选：A.8.如图，在棱长为的正方体中，是底面正方形的中心，点在上，点在上，若，则（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，，其中，，由求出的值，即可得解.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设点，，其中，，，，因为，则，解得，故.故选：D.9.定义，已知数列为等比数列，且，，则（）AB.C.4D. 【答案】C【解析】【分析】根据新定义及等比数列的性质运算即得.【详解】因为，所以，即，又为等比数列，，所以同号，，又，所以．故选：C.10.小明去参加法制知识答题比赛，比赛共有，，三道题且每个问题的回答结果相互独立．已知三道题的分值和小明答对每道题的概率如表：题分值：3分题分值：3分题分值：4分答对的概率记小明所得总分为（分），则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由概率乘法公式分别求出，由此可得结论.【详解】由已知，，所以，故选：A.11.已知函数，关于函数有如下四个 命题：①的最小正周期是；②若在处取得极值，则；③把的图象向右平行移动个单位长度，所得的图象关于坐标原点对称；④在区间上单调递减，则的最小值为．其中真命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由题可得，根据余弦函数的图象和性质可判断①②，根据图象变换规律及三角函数的性质可判断③，根据函数的单调性可得，然后根据对勾函数的性质可判断④.【详解】因为，所以的最小正周期是，故①正确；若在处取得极值，则，即，又，故，故②错误；把的图象向右平行移动个单位长度，可得，因为，故函数为奇函数，图象关于坐标原点对称，故③正确；由，可得，又在区间上单调递减，则，即，根据对勾函数的性质可知，故④正确；所以真命题的个数为3. 故选：C.12.已知有两个零点，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】对于选项A，通过令，构建新函数，求导解出的单调性，再结合有两个不同零点即可得出与的大小关系；对于选项C，通过对求导得出单调性，再由对称定义得出关于对称，得出，且，即可判断；对于选项D，通过对零点的分析结合选项A中的证明，得出，结合选项C中的证明利用单调性得出即可判断；对于选项B，结合选项C，D中的证明，构造新函数，求导再构造得出的单调性即可由于单调性得出，即可证明比离远，再结合对称性得出，即可判断.【详解】对于选项A：令，则，即，令，则，则当时，当时， 则在时单调递增，在时单调递减，则，则当有两个不同零点时，，故选项A错误；对于选项B：，则，由基本不等式可得，则，则，则再定义域上单调递增，，则关于对称，令，则，，且由选项A得知，当时，解得的，即，由选项A中可知在时单调递增，在时单调递减，当有两个零点时，则，则，且，令，且， 则，令，则，即在上单调递减，，，，则，即在上单调递减，，即，，，，，，，在上单调递增，，即，则比离远，则，则，故选项B正确； 对于选项C：由选项B中可知，且，则，故选项C错误；对于选项D：由选项B中可知再定义域上单调递增，且，，则，则，则故选项D错误；故选：B【点睛】导函数中常见的解题转化方法：（1）利用导数研究含参函数的单调性，常转化不等式恒成立问题，需要注意分类讨论与数形结合思想的应用；（2）函数零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极值问题处理.难题通常需要多段求导或构造函数，这时需多注意函数前后联系.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合直线在轴上的截距，确定目标函数的最优解，代入即可求解. 【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线过点时在上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.故答案为：.14.展开式中的系数为__________．（用数字作答）．【答案】5【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式求解即可.【详解】因为的展开式通项为，所以，．故展开式中的系数为．故答案为：5.15.把正整数按如下规律排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，……，构成数列，则__________．【答案】13 【解析】【分析】根据正整数排列规律结合等差数列求和公式即得.【详解】由题可知正整数按1个1,2个2,3个3，……，进行排列，因为，当时，，所以.故答案为：13.16.如图，已知椭圆，．若由椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向椭圆引切线和，若两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率__________．【答案】【解析】【分析】设切线，，联立椭圆方程根据判别式为零结合条件可得，然后根据离心率公式即得.【详解】由题可知，，设切线，，由，可得， 所以，整理可得，由，可得，所以，整理可得，又两切线斜率之积等于，所以，即，所以，又，所以.故答案为：.三、解答题．（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤．共70分）17.2022年卡塔尔世界杯（英语：FIFAWorldCupQatar2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行，第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛．为了解某校学生对足球运动的兴趣，随机从该校学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对足球运动没兴趣的占女生人数的，男生有5人表示对足球运动没有兴趣．（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣没兴趣合计男60女合计（2）从样本中对足球没有兴趣的学生按性别分层抽样的方法抽出6名学生，记从这6人中随机抽取3人，抽到的男生人数为，求的分布列和期望，【答案】（1）填表见解析；有的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”（2）分布列见解析；期望为1【解析】【分析】（1）根据题中数据完成列联表，再结合公式求，分析理解；（2）根据分层求得抽取男生2人，女生4人，结合超几何分布求分布列和期望.【小问1详解】根据所给数据完成列联表：有兴趣没兴趣合计男55560女301040合计8515100所以有的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”. 【小问2详解】按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生4人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，则有：，，∴的分布列为：012故，即的期望为1.18.如图，在直三棱柱中，，，，，为的中点．（1）当时，求证：平面；（2）若，与平面所成的角为，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）首先取中点，连接，，为的中点，易证四边形为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定即可证明平面. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.【小问1详解】取中点，连接，，为的中点，如图所示：因为分别为和的中点，所以且，又当时，为的中点，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面．【小问2详解】因为，，，所以，即.又因为三棱柱为直三棱柱，所以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 所以，，，，，，，设平面的一个法向量，所以，令，得.又，所以，又，所以，所以的取值范围为．19.在锐角中，角A，，所对的边分别为．（1）求A；（2）若，求面积的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式及两角和的正弦公式变形，然后结合同角关系可得角； （2）由（1）及已知得角范围，利用正弦定理把表示为的三角函数，从而得出的范围，再由三角形面积公式得面积范围．【小问1详解】因为，由正弦定理得，即，所以，因为，所以，由得．【小问2详解】因为，由正弦定理得，由可得，所以，则，故，所以的面积．即面积的取值范围为．20.已知，分别是椭圆的上下顶点，，点在椭圆上，为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于轴上方两点，．若，试判断直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，说明理由．【答案】（1）； （2）是，直线过定点.【解析】分析】（1）由题可得，然后把点代入椭圆方程可得，即得；（2）设直线，联立椭圆方程，利用韦达定理法结合数量积的坐标表示可得，进而即得.【小问1详解】因为，所以，又点在图像上，所以，所以，所以椭圆的方程为；【小问2详解】由题可设直线：，、，，由，得，则，，又，即，所以，即， ，解得，又，即，所以，，所以直线过定点．21.已知函数．（1）是的导函数，求的最小值；（2）已知，证明：；（3）若恒成立，求的取值范围．【答案】（1）0（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）求出的表达式，求导，通过讨论的单调性，即可求出的最小值；（2）通过（1）中的取值范围得出，即可证明不等式；（3）分离参数，构造函数，通过（1）中的结论，可得出的取值范围，即可求得的取值范围.【小问1详解】由题意，在中，所以，，在中，，，令，解得， 又时，，时，，∴，即的最小值为0．【小问2详解】在中，，可知，当且仅当时等号成立，∴时，，即，∴.∴不等式成立．【小问3详解】由题意及（1）（2）得，.当时，恒成立，∴不等式恒成立，令，则命题等价于，∵，∴.∴，当，即时能取等号，∴，即.∴的取值范围为．【点睛】本题考查导数的求导，二次求导，以及求参数，具有较强的综合性. 请考生在第22、23两题中选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]．22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（2）是曲线上的点，求到距离的最大值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数公式和极坐标公式，代入参数方程即可得到直线的直角坐标方程与曲线的普通方程（2）根据是曲线上的点设出点的坐标，写出点到直线的距离的表达式，求出取值范围，即可得到到距离的最大值.【小问1详解】由题意在中，，将代入上式得：，即直线的直角坐标方程为：，曲线的参数方程为（为参数），∴，且， 则曲线的普通方程为：．【小问2详解】由题意及（1）得，在中，是曲线上的点，设，则点到直线的距离．∵，∴，∴，∴到距离的最大值为.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意分类讨论去绝对值解不等式；（2）根据绝对值三角不等式求的最小值，再结合恒成立问题解不等式即得.【小问1详解】 由于，当时，，解得，此时；当时，，解得，此时；当时，，解得，此时．综上：的解集为；【小问2详解】，当且仅当时等号成立，，即，解得，的取值范围是．