四川省凉山州2022届高三数学文科第二次诊断性检测试题（Word版附解析）

凉山州2022届高中毕业班第二次诊断性检测数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后，将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合，，则（）A.或B.CD.【答案】C【解析】【分析】根据集合补集的定义即可求解.【详解】解：因为，，所以，故选：C.2.i为虚数单位，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法和除法运算法则，运算即得解 【详解】由题意，故选：B3.已知平面向量与，若，，，则与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义和运算性质，结合平面向量模的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，所以，由，解得：，故选：C4.在独立性检测中，我们常用随机变量来判断“两个分类变量有关系”.越大关系越强；越小关系越弱.（附：，其中）下面有甲乙丙丁四组关于“秃顶与患心脏病的列联表”（单位：人）甲：患心脏病患其他病总计秃顶302050不秃顶50100150总计80120200乙：患心脏病患其他病总计秃顶255580 不秃顶2595120总计50150200丙：患心脏病患其他病总计秃顶8565150不秃顶351550总计12080200丁：患心脏病患其他病总计秃顶8832120不秃顶621880总计15050200最能说明秃顶与患心脏病有关的一组数据是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】A【解析】【分析】根据公式分别计算四组数据对应的值，然后比较大小即可得答案.【详解】解：由题意，，，，，因为，所以， 所以最能说明秃顶与患心脏病有关的一组数据是甲组，故选：A.5.已知双曲线，则下列说法正确的是（）A.离心率为2B.渐近线方程为C.焦距为D.焦点到渐近线的距离为【答案】A【解析】【分析】根据焦点在轴上的双曲线的简单几何性质即可求解.【详解】解：因为双曲线，所以，所以离心率；渐近线方程为，即；焦距为；焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为.故选：A.6.正项等比数列与正项等差数列，若，则与的关系是（）A.B.C.D.以上都不正确【答案】C【解析】【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质可将已知等式化为，由此可得结果.【详解】设等差数列公差为，则，又，， 均为正项数列，.故选：C7.抛物线C：，若直线l：与C交于A，B（左侧为A，右侧为B）两点，则抛物线C在点A处的切线的斜率为（）A.-3B.1C.3D.-1【答案】D【解析】【分析】利用解方程组法求出点A的坐标，结合导数的几何意义进行求解即可.【详解】直线l与抛物线C方程联立，得或，因为左侧为A，右侧为B，，所以，由，所以抛物线C在点A处的切线的斜率为，故选：D8.将函数的图象沿水平方向平移个单位后得到的图象关于直线对称（向左移动，向右移动），当最小时，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据图像的平移公式先求出平移后的解析式，再根据平移后的图像关于直线对称，结合正弦函数的图像性质可得答案.【详解】将函数的图象沿水平方向平移个单位后得到 即由题意的图像关于直线对称.所以，即当时，，此时最小故选：C9.如图所示，在空间直角坐标系中，三棱锥各个顶点坐标分别为，，，，则该三棱锥俯视图的面积为（）A.9B.8C.7D.6【答案】B【解析】【分析】根植俯视图的定义，结合三角形的面积公式进行求解即可.【详解】点在平面平面的射影的坐标为：，点在平面平面的射影的坐标为：，点在平面平面的射影的坐标为：，因此三棱锥的俯视图为：，根据空间两点间距离公式可得：，， ，因此是等腰三角形，底边上的高为：，所以的面积为：，故选：B10.定义在上的奇函数，满足，当时，则的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意求得函数是周期为4的函数，且图象关于对称，进而画出函数的图象，得到当时，求得的解，进而求得不等式的解集.【详解】由题意，函数满足，可得，所以函数是周期为4的函数，又由为上的奇函数，可得，所以，可得函数的图象关于对称，因为当时，可函数的图象，如图所示，当时，令，解得或，所以不等式的解集为.故选：C. 11.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为，则下列结论正确的是（）（参考数据：，）①②③2020年小王的年利润约为40000元④两年后，小王手中现款约达41万A.②③④B.②④C.①②④D.②③【答案】A【解析】【分析】由题可知，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为之间的递推关系为，，进而根据递推关系求出通项公式即可得答案.【详解】对于①选项，元，故①错误对于②选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故②正确；对于③选项，由得所以数列是首项为公比为1.2的等比数列， 所以，即所以2020年小王年利润为元，故③正确；对于④选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故④正确.故选：A.12.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由，可得，构造函数，利用函数的导数与单调性的关系，可得在上单调递增，进而可得，，从而即可得答案.【详解】解：因为，所以；令，，所以在上单调递增，因为，所以，即，所以，所以；同理，所以，即，也即，所以，所以.综上，， 故选：D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.平面区域，则的面积为___________.【答案】【解析】【分析】作出不等式组约束的平面区域，进而求解即可.【详解】解：如图，作出不等式组约束的平面区域（阴影部分），所以联立方程得，易得，所以的面积为故答案为：14.函数的极大值点为___________.【答案】【解析】【分析】利用导数可求得的单调性，根据单调性可得极大值点.【详解】由题意知：定义域为， ，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，是的极大值点.故答案为：.15.甲､乙､丙三人去图书馆借书，他们每人借的不是杂志就是小说（每人只能借其中一种）.（1）如果甲借的是杂志，那么乙借的就是小说.（2）甲或丙借的是杂志，但是不会两人都借杂志.（3）乙和丙不会两人都借小说.则同时满足上述三个条件的不同借书方案有___________种.【答案】【解析】【分析】采用假设法和排除法，分别假设甲借的是杂志和小说，根据条件依次判断即可.【详解】①假设甲借的是杂志，由（1）知：乙借的是小说；由（2）知：丙借的是小说；与（3）的结论矛盾，不合题意；②假设甲借的是小说，由（2）知：丙借的是杂志；则乙可借杂志，也可借小说，共种方案；综上所述：满足上述三个条件的不同借书方案有种.故答案为：.16.在中，，.则的取值范围为___________.（结果用区间表示）【答案】【解析】【分析】利用正弦定理角化边和三角形三边关系可知的范围，利用余弦定理表示出，将所求数量积化为关于的函数的形式，利用二次函数值域求解方法得到结果. 【详解】，则由正弦定理可得：，令，则又，，即；，，，，即取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的向量数量积问题，解题关键是能够将所求数量积表示为关于某一变量的函数的形式，利用函数值域的求解方法求得取值范围.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.中，角的对边分别是，.（1）求角；（2）若为边的中点，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，整理后可求得，由此可得；（2）由，利用余弦定理可得，结合（1）中，可得，利用基本不等式可求得最大值.【小问1详解】 由正弦定理可得：，，，，；【小问2详解】由（1）知：，即；在中，由余弦定理得：；在中，由余弦定理得：；，，，整理可得：；，即，（当且仅当时取等号），，即的最大值为.18.四川省凉山州各种特产、小吃尤其丰富，凉山州会理市羊肉粉早在清代中叶就名扬遐迩．凡来会理市品尝过会理市羊肉粉的人，无不交口称赞．尤其在冬季，吃一碗滚烫的羊肉粉，浑身暖和．羊肉粉的主要原料是羊肉和米粉制作有特殊的讲究，要选择山坡放养，体重在八九十斤左右的黑山羊宰杀，将羊头、羊腿、羊蹄、羊油、羊下水全部放进能装一、两百斤的大铁锅，掺上几里路运来优质山泉水，加上老姜、花椒、胡椒、白扣，等佐料，先要猛火烧开，用漏瓢捞出汤上面的泡沫，再用中火慢慢炖，时间达六、七个小时熬制呈乳白色米汤- 样的原汤；羊肉粉的米线，是用会理农村本地产的稻谷跟大米制作出来，韧性好，饭粒不生硬，入口柔和，口味有大米的天然芳香；米粉要经过特殊处理：将水烧开，放入米粉，烧开捞起，放入冷水里（不停换水，直至冷却）．会理市某羊肉粉店每天早晨处理好当天的米粉，以12元碗的价格售出，每碗获利5元，当天卖不出的米粉则每碗亏损2元，该店记录了30天的日需求量（单位：碗），整理如下表：日需求量8090100110频数51078（1）以样本估计总体，求该店采粉日需求量的平均数；（2）以30天记录的日需求量的频率为概率，该店每天准备100碗米粉，记该店每天获得的利润为Y（单位：元），写出Y的所有可能值，并估计Y低于450元的概率．【答案】（1）96；（2）可能取值为360，430，500，.【解析】【分析】（1）利用求平均数的公式即得；（2）分别求得日需求量碗，碗和100碗以上时的日利润和对应概率，即得.【小问1详解】该米粉店日需求量的平均数为：；【小问2详解】当日需求量为80碗时，该店每天获利当日需求量为90碗时，该店每天获利（元）；当日需求量为100碗以上时，该店每天获利（元）．所以，Y的可能取值为360，430，500所以，Y低于450元的概率为．19.如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是所在棱的中点． （1）求证：E，F，G，H四点共面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）证明：连接HE，，GF，证明出，即可证明E，F，G．H四点共面；（2）利用三棱锥等体积法即可证明.【小问1详解】（1）证明：连接HE，，GF∵在正方体中，GF分别是棱、BC的中点∴且∴四边形是平行四边形∴又在中，H，E分别是，AB的中点∴，∴ ∴E，F，G．H四点共面【小问2详解】在底面ABCD中，.又由点G到平面DEF的距离为2，所以.所以.20.如图，为椭圆上的三点，为椭圆的上顶点，与关于轴对称，椭圆的左焦点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点且与轴不重合的直线交椭圆于两点，为椭圆的右顶点，连接分别交直线于两点.试判断的交点是否为定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线与交点为定点. 【解析】【分析】（1）由对称性和椭圆定义可求得，结合焦点坐标即可求得椭圆方程；（2）当直线斜率不存在时，可求得直线与交点为；假设当斜率存在时，直线与交点为，可利用，表示出，从而得到；将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理验证知等式成立，从而假设成立.【小问1详解】与关于轴对称，，，解得：；椭圆的左焦点，，，椭圆的标准方程为：；【小问2详解】由（1）知：，，不妨设在轴上方；当直线斜率不存在时，，，直线，直线，，，，，直线，即；直线：，即，由得：，直线与交点为；若直线与交点为定点，则该定点必为；假设当直线斜率存在时，直线与交点为， 设，，直线：；直线：；令，则，，，，，，整理可得：，两式作和得：；，，设，由得：，，此时，满足题意；综上所述：直线与交点为定点.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，本题解题基本思路是在直接求解交点坐标非常困难的情况下，利用斜率不存在的情况首先确定所过定点坐标，进而验证在斜率存在时，两直线交点依然为该定点即可.21.设函数.（1）求的单调区间；（2），为的导函数，当时，，求整数的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2） 【解析】【分析】（1）求导后，分别在和两种情况下讨论单调性即可；（2）将不等式转化为，利用导数可求得在上单调递减，在上单调递增，其中，由此可求得，由的范围可求得结果.【小问1详解】由题意知：定义域为，；当时，，在上单调递增；当时，若，；若时，；在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】当时，，；由得：，即；令，则；令，则，在上单调递增，又，，，使得，此时，则当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，，，即，又，，整数的最大值为.【点睛】思路点睛：本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的基本思路是采用参变分离的方式，将问题转化为变量与函数最值的大小关系问题，从而利用导数求得函数的最值，进而得到变量的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的动点到曲线距离的取值范围.【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）利用参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标互化原则直接化简可得结果；（2）设曲线上的动点，利用点到直线距离公式表示出所求距离，结合正弦型三角函数值域的求解方法求得结果.【小问1详解】 由（为参数）得：，；即曲线的普通方程为：；由得：，，即曲线的直角坐标方程为：；【小问2详解】设曲线上的动点，则到直线的距离，，，，，，即曲线上的动点到曲线距离的取值范围为.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数.（1）解不等式的解集；（2）已知对任意恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由绝对值的定义分段打开绝对值进行讨论，得到答案. （2）先求出的最小值，根据题意可得，从而得出答案.【小问1详解】当时，即，解得，故此时当时，即，解得，故此时无解当时，即，解得，故此时综上所述不等式的解集为或【小问2详解】当时，，此时当时，有最小值3，当时，，此时当时，有最小值1，当时，，此时当时，有最小值1，综上所述，的最小值为1对任意恒成立，则，解得所以实数m的取值范围是